AIME数学比赛准备

这美国邀请赛数学考试（AIME）是美国数学比赛。本页面概述了比赛详细信息和主题，提供相关的Wiki和测验，用于培训准备和练习。

美国邀请赛数学考试（AIME）是15个问题，3小时考试，每年两次给药。邀请在AMC 10或AMC 12考试的学生参加AIME，并且对AIME的高分可以导致美利坚合众国数学奥林匹克（USAMO）的资格。

AIME的每个答案都是0到999的整数。没有允许计算器。

这些是气动所涵盖的基本主题，通常出现在前5个问题中。如果你是令人遗憾的是，这是一个很棒的地方，如果你是令人遗憾的是！

$\ mander \ textbf {algebra}$

章节	Wiki.	测验
算术进展
几何进步
vieta的惯例
对数函数
多项式分解

$\ mander \ textbf {geometry}$

章节	Wiki.	测验
四边形
体积
圆形属性
三角形区域
三角函数

$\ mander \ textbf {组合（计数和概率）}$

章节	Wiki.	测验
包容性和排斥原则
杀戮
置换
组合
离散概率

$\ mander \ textbf {数字理论}$

章节	Wiki.	测验
数字基础
递归简介
GCD / LCM.
Prime分解和除数

这些是令人作呕的中间主题，它通常出现在中间的5个问题中。如果您已经熟悉了解决动漫上的前几个问题，这是磨练您的技能的好地方。

$\ mander \ textbf {algebra}$

章节	Wiki.	测验
完成广场
剩余因子定理
部分分数
地板和天花板功能
理性根定理

$\ mander \ textbf {geometry}$

章节	Wiki.	测验
铭刻和外接的数字
解决三角形
三角识别
切线和割线线
Polyhedra

$\ mander \ textbf {组合（计数和概率）}$

章节	Wiki.	测验
二项式定理
鸽子原则
有条件的概率
分配到垃圾箱里
矩形栅格步行

$\ mander \ textbf {数字理论}$

章节	Wiki.	测验
斐波纳契号
二次循环方程式
线性衍生线方程
模块化算术

这些是AIME涵盖的高级主题，通常出现在过去的5个问题中。如果您正在拍摄完美的分数，这是一个很好的学习解决agime上最困难的问题！

$\ mander \ textbf {algebra}$

章节	Wiki.	测验
复数
团结的根源
对称多项式
经典的不等式应用程序
多项式插值

$\ mander \ textbf {geometry}$

章节	Wiki.	测验
三角中心
应用类似的三角形
三角式方程
总和和差异三角形公式
高级三角形和圆圈

$\ mander \ textbf {组合（计数和概率）}$

章节	Wiki.	测验
几何概率
期望值
解决问题策略
生成功能
组合游戏

$\ mander \ textbf {数字理论}$

章节	Wiki.	测验
线性复发关系
欧拉的定理
一般蒸瓜内方程
基本应用程序

在“标准学校课程”中没有出现许多伎俩。为了说明，这里是2007年的示例问题：

2007 AIME 1，问题＃14

让 $m$是等式最大的真实解决方案

$\ frac {3} {x-3} + \ frac {5} {x-5} + \ frac {17} {x-17} + \ frac {19} {x-19} = x ^ 2 - 11x -4。$

有积极的整数 $一种，$ $B，$和 $C$这样 $m = a + \ sqrt {b + \ sqrt {c}}。$找 $A + B + C.$

请注意，这是在“硬”集中，但此问题完全可以解决常规代数，甚至遵循想要隔离的标准逻辑 $X$通过写下这个问题

$\ text {（某种事故多项式）} = 0。$

但是，具体技巧是不寻常的;找到他们需要练习。这个使得巧妙地使用重新排列那代换， 和对称。

我们顺便说到可以找到 $x = 0.$是一个解决方案：

$-1 + -1 + -1 + -1 = -4，$

所以，如果我们发现所有其他解决方案都是负的， $0.$是我们的答案。 $\大（$但是，我们在竞争环境中基本上保证了鉴于设置 $m = a + \ sqrt {b + \ sqrt {c}}$将有一个积极的根。 $\大）$

常数倾向于是摆脱的最简单的条目之一;他们可以用替换（如你稍后会看到的）转换，或者它们可以“播放到”代数的其他一些部分。虽然没有多少可能 $-4$在等号的右侧，左侧有一些潜力吗？让我们来看看：

$\ begin {对齐} \ frac {3} {x-3} + \ frac {5} {x-5} + \ frac {17} {x-17} + \ frac {19} {x-19}＆=x ^ 2 - 11x - 4 \\\\ \ frac {3} {x-3} + \ frac {5} {x-5} + \ frac {17} {x-17} + \ frac {19} {x-19} + 4＆= x ^ 2 - 11x。\结束{对齐}$

有四个术语才能与4一起去，所以如果这样做可能会发生什么重新排列并将4拆分给每个条款给出1个术语？我们有

$\ begin {对齐} \ frac {3} {x-3} + 1 + \ frac {5} {x-5} + 1 + \ frac {17} {x-17} + \ frac {19} {x-19} + 1＆= x ^ 2 - 11x \\\\ \ frac {3 + x-3} {x-3} + \ frac {5 + x-5} {x-5} + \ frac {17.+X-17}{x-17} + \frac{19+x-19}{x-19} &= x^2 - 11x \\\\ \frac{x}{x-3} + \frac{x}{x-5} + \frac{x}{x-17} + \frac{x}{x-19} &= x^2 - 11x. \end{aligned}$

这是一个相当普遍的竞争技巧：写作 $\ text {（部分分数）} + 1，$ $\ text {（部分分数）} -1，$或者 $1 - \文本{（一些分数）}$可以产生有用的结果。

由于我们正在寻找非零根源，我们可以安全地划分平等标志的两侧 $X：$

$\ frac {1} {x-3} + \ frac {1} {x-5} + \ frac {1} {x-17} + \ frac {1} {x-19} = x - 11。$

不幸的是，在右侧的右侧操纵现在没有帮助，所以让我们看看左侧的术语。有一个明确的对称正在进行的模式： $-3$和 $-5$两个分开，和 $-17$和 $-19$是两个分开。对称性并不完全以对我们有用的形式写成，但我们可以使用代换帮助提出它。

让 $q = x - 11。$注意 $-11$中途之间 $-3$和 $-19$也 $-5$和 $-17;$我们专门挑选了这个号码来暴露对称性。它还（通过“巧合”）恰好匹配等号的右侧：

$\ begin {对齐} x - 3 = x - 11 + 8＆= q + 8 \\ x - 5 = x - 11 + 6＆= q + 6 \\ x - 17 = x - 11 - 6＆= q -6 \\ x - 19 = x - 11 - 8＆= q - 8. \结束{对齐}$

将这些插入原始方程式 $（$包括右侧的 $x -11），$

$\ frac {1} {q + 8} + \ frac {1} {q + 6} + \ frac {1} {q-6} + \ frac {1} {q - 8} = q.$

人们很容易注意到的+匹配8 / -8和+ 6 / -6。让我们做一些重新排列并结合这些术语：

$\ begin {对齐} \ frac {1} {q + 8} + \ frac {1} {q-8} + \ frac {1} {q + 6} + \ frac {1} {q -6}＆=q \\ \ frac {q-8} {（q + 8）（q-8）} + \ frac {q + 8} {（q + 8）（q-8）} + \ frac {q-6}{（q + 6）（q-6）} + \ frac {q + 6} {（q + 6）（q-6）}＆= q \\ \ frac {2q} {q ^ 2-64} +\ frac {2q} {q ^ 2-36}＆= q. \ \ neg {对齐}$

不要忘记那个 $x = 11.$是原始问题的解决方案，除以 $问：$在双方：

$\ frac {2} {q ^ 2-64} + \ frac {2} {q ^ 2-36} = 1。$

我们可以使平方术语更易于使用其他替代;让我们使用 $r = q ^ 2：$

$\ FRAC {2} {R-64} + \ FRAC {2} {R-36} = 1。$

然后在等号的一侧获取所有条款：

$\ begin {对齐} 2（R-36）+ 2（R-64）＆= 1（R-64）（R-36）\\ 2R-72 + 2R-128＆= R ^ 2 - 100r + 2304 \\ 0＆= r ^ 2 - 104r + 2504. \结束{对齐}$

在此处应用二次公式（并且只担心较大的根）得到了 $r = 52 + \ sqrt {200}。$记住这一点 $r = q ^ 2$（再次担心较大的根）， $q = \ sqrt {52 + \ sqrt {200}}。$最后，记住这一点 $q = x -11，$

$x = 11 + \ sqrt {52 + \ sqrt {200}}。$

几乎完成了！问题询问 $A + B + C.$在根中 $m = a + \ sqrt {b + \ sqrt {c}}，$所以我们想要的答案是 $11 + 52 + 200 = 263。$

让我们总结使用的内容：

• 重新排列以移动 $-4$术语，这导致了相同标志的左手的每个术语来获得 $X$在分子中。

• 除了 $X$出去。

• 使用替代 $q = x - 11$揭示允许术语更容易组合的对称性。

• 使用另一种替代 $r = q ^ 2$避免在必要的情况下处理平方术语。

• 做标准代数涉及二次 $AX ^ 2 + Bx + C = 0$然后使用二次公式。

• 替换为最大的真实解决方案 $X 。$

注意整个整体解决方案可能是恐吓，每一步都是一块普通代数。一旦你开始更容易地发现这些种作的技巧，你可以解决最难的气氛问题！