线性递归关系
有关……
- 概率年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="chevron">>年代p一个n>
线性递归关系一个>
一个<年代trong>线性递归关系年代trong>一个方程是将一个序列或多维数组中的一个项与以前使用的项联系起来的吗<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/recursion/" class="wiki_link" title="递归" target="_blank">递归一个>.这个词的用法
一个<年代trong>线性递归关系年代trong>是一个方程来定义<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">th年代p一个n>年代p一个n>序列中的项<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> k年代p一个n>年代p一个n>序列中的前一项。递归关系为:
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n>年代p一个n>
其中每个<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>是常数系数。
定义
一个<年代trong>递归关系的解年代trong>给出的值是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>在这方面<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>,并且不需要任何先前项的值。
求解递归关系:<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>
序列中的每一项都可以用前一项来计算。第一项,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>,为已知。
下一项可以用关系式计算:<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>
x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">9年代p一个n>年代p一个n>
这个过程在后续项中重复:
<年代p一个ncl一个年代s="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">7年代p一个n>年代p一个n>
x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">4年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n>年代p一个n>
在这一点上,人们可能会注意到一种模式。这些是3的幂。
因此,解决方案是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>对于所有正整数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>.
几何级数(或组合,正如我们将看到的)通常是递归的解。现在,我们有一个递归式<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n>年代p一个n>还有一个解决方案<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.
代入,得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>自<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n>年代p一个n>0年代p一个n>年代p一个n>,我们可以除以<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n>年代p一个n>:年代p一个n>年代p一个n> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>把项移过来,得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>哪个是in的多项式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n>年代p一个n>,所以解满足递归式仅当<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n>年代p一个n>是这个多项式的根。这个多项式叫做<年代trong>特征多项式年代trong>递归式。
此外,请注意,如果两个几何级数满足递归式,它们的和也满足递归式。那么,求解递归式的方法如下:
- 求特征多项式。
找到根源<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>特征多项式的。 假设没有多重根,封闭形式的表达式将如下所示<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>对于某个常数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>的年代。 方法的初始值可用于查找<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>的年代。
让我们举个例子:
序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>定义为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>对所有<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>.找到一个封闭形式的表达式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.
通过令递归式中的最低下标项为,可以找到特征多项式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>,并替换所有<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>的年代<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n>年代p一个n>.在这种情况下,<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>⟹年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">⟹年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>因式分解特征多项式,得到根<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> −年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 6年代p一个n>年代p一个n>.因此,闭形式表达式如下所示<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>插入<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> 1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>插入<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> 3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>求解,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">7年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">7年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>,封闭式表达式为<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">7年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">7年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>这可以通过代入递归式来验证。<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
问题:
1.自己编一个递归式,然后解出来!
<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/discussions/thread/recurrence-relations-part-2/">点击这里了解更多有关此主题的信息一个>.感谢阅读!
在维基中<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="线性递归关系," target="_blank">线性递归关系,一个><年代trong>线性递归年代trong>定义并描述了在特征多项式的根为1的情况下求解递归式的方法。本维基将向您介绍当其特征多项式有重根时求解线性递归的方法。也就是说,当某些根的多样性高于1时。
重复的根
带重根的线性递归是这种形式的线性递归<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>所有的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n>年代p一个n>的是常数,其特征多项式为,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>可能有重根,即多重度大于1的根。我们将解释该方法是如何在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="线性递归关系" target="_blank">线性递归关系一个>也可以通过修改来求解其它线性递归关系。在解释一般方法之前,让我们考虑一个例子。
只有一个重根的递归关系年代trong>
序列定义为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>对所有<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>.求的封闭形式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
该递归关系的特征多项式为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>通过因式分解这个多项式,使它为零,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>所以它唯一的根是2,它的倍数是2。如在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="线性递归关系" target="_blank">线性递归关系一个>,序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> α年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是其中一个解。因为递归式的阶,也等于特征多项式的次,是2,我们需要得到另一个独立解。在这种情况下,另一个解可以通过将给定解乘以<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>所以另一个解可以是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> β年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>我们可以验证一下<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> β年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>也是通过直接计算得到的解。实际上,代入递归式的右边,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> 4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">β年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">β年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">β年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>封闭式解可以表示为a<一个target="_blank" rel="nofollow" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_combination">线性组合一个>两个解的。这意味着通解可以写成<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>正如我们在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="线性递归关系," target="_blank">线性递归关系,一个>我们可以用给定的初值<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>当<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>找到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>使<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>分别在前面的方程中,我们得到了这些方程<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>用代换法,我们得到了这个<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.所以得到的公式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
在求解带重根的线性递归式的过程中,如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
r年代p一个n>年代p一个n>特征多项式的根具有多重性吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>然后我们需要考虑顺序<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>
n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>
n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>
⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n>年代p一个n>
n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>作为递归式解的封闭形式的一部分。现在我们可以解释一般的方法。
解重根线性递归式的一般方法
求特征多项式(次<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> k年代p一个n>年代p一个n>).
求特征多项式的所有根<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">米年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">k年代p一个n>年代p一个n>与多样性<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">米年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>分别。
解的闭形式表达式可以表示为该形式的所有序列的线性组合<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">j年代p一个n>年代p一个n>r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">j年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">l年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">米年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
的初值求出线性组合系数的常数。
下面是一个用a求解递归式的例子<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">理查德·道金斯年代p一个n>年代p一个n>度特征多项式和一重根:
一个序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>定义为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>和递归关系<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>求的封闭形式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
所给递归关系的特征多项式为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>所以它只有一个根,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>有多重性。至此,我们已经完成了上述通用方法的第1步和第2步。根据步骤3,的封闭形式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>将<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>现在,剩下要做的是第四步。
我们会发现<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>使用初始值。使<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>分别在公式中<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>得到上述方程<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>求解由这三个方程组成的方程组,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">8年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>的封闭形式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
下面是一个用a求解递归式的例子<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">理查德·道金斯年代p一个n>年代p一个n>有两个根的次特征多项式,其中一个根的多重数为2。
一个序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>定义为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>和递归关系<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>求的封闭形式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
所给递归关系的特征多项式为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>所以它只有两个根,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>有多重性2,和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n>年代p一个n>多重性为1。然后是封闭形式的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>看起来就像<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>用这个表达式和给定的初值,我们可以得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>.的确,让我们去做<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>分别在公式中得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>然后我们得到方程<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">9年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>求解由这三个方程组成的方程组,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>的封闭形式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>]年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
解带复根的线性递归
我们还将在这里解释在给定线性递归的特征多项式的某些根是复非实数的情况下如何进行。让我们用一个例子来说明这一点。
一个序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>定义为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>和递归关系<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>求的封闭形式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
所给递归式的特征多项式为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n>年代p一个n>因为这个方程的解是<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">±年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord sqrt">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n>年代p一个n> =年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">±年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">反正切年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n>年代p一个n> (见欧拉公式<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-formula">在这里一个>).递归解可以表示为的线性组合<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>因为年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">我年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>因此<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>因为年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
现在使用它<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>得到以下两个方程:<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>因为年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 因为年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">/年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">4年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n>年代p一个n> /年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>通过解这个方程组,我们得到了这个<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">5年代p一个n>年代p一个n> 2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>因此,数列的封闭形式为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">5年代p一个n>年代p一个n> 2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">反正切年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n>年代p一个n> .年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">□年代p一个n>年代p一个n>
我们可以将前一个例子中使用的程序推广到任何二阶线性递归,其特征多项式有两个复共轭根。假设我们要解线性递归式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">问年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>对于任何自然数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>这个递归式的特征多项式是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">问年代p一个n>年代p一个n>让我们假设<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> p年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">问年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>特征多项式有两个复共轭解<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>当然,我们可能会使用序列<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>生成递归式的所有可能解。但这些是复值序列。为了得到实值解,考虑由公式定义的序列会更方便<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>而且年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>这两个数列也可以写成三角形式。的确,让我们假设一下<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ρ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n> 而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> θ年代p一个n>年代p一个n>一个角度是这样的吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n> b年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 因为年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n> 一个年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>然后使用<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/de-moivres-theorem/">德莫弗斯定理一个>,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ρ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>因为年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> d年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ρ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>现在可以证明任何实值序列是给定递归的解可以表示为的线性组合<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> d年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>也就是说,任何这样的序列都可以表示为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>ρ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>因为年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">c年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>ρ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
求给定封闭形式序列的递归关系
我们可以得到一个序列的递归关系<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">0年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>当它的封闭形式以线性组合形式给出时<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">j年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> j年代p一个n>年代p一个n>是非负整数,和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>是任何实数或复数。对于任何这样的数字<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>我们用<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> j年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>的最大值<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> j年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">j年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>是上面提到的线性组合中的一项,那么<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>是多重性的根源吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> j年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n>给定线性递归式的特征多项式。因此,从序列的封闭形式可以得到递归关系的特征多项式的所有根及其多重性,从而可以找到特征多项式,从而找到递归关系。
下面是一个例子,我们必须找到递归给定的封闭形式:
求这个数列的递归式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
根据我们上面的评论,数字-3和2分别是所需递归的特征多项式的根,其多重度为2和3。那么多项式可以是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> (年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>展开,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">7年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>因此,相应的递归式为<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">3.年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">4年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">7年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">5年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">0年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>9年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>
对于给定的数值<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> k年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">9年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>的确,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">⋯年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>找到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ⌊年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>⌋年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
澄清年代trong>:<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> e年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mrel mtight">→年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">∞年代p一个n>年代p一个n>lim年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">n年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>≈年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">7年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">8年代p一个n>年代p一个n>.
x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>因为年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault sizing reset-size6 size7" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>
对于给定的序列,我们知道<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord sizing reset-size6 size7">9年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">8年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord sizing reset-size6 size7">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">7年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mtight">4年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
如果<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">B年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> B年代p一个n>年代p一个n>互素都是正整数,发现了吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">B年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
参见第1部分。
找到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">5年代p一个n>年代p一个n>如果是实数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">满足方程<年代p一个ncl一个年代年代="katex-display"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">4年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">y年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">4年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">7年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">.年代p一个n>年代p一个n>
x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">n年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">罪年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault sizing reset-size6 size7" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">因为年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault sizing reset-size6 size7" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>
找到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">7年代p一个n>年代p一个n>如果数字<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> b年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> θ年代p一个n>年代p一个n>满足以下方程:<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
灵感。
一个多项式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>有学位<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 8年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 我年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">2年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">3.年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">4年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">5年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">6年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">7年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mpunct">,年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">8年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
找到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> f年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mopen">(年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">9年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mclose">)年代p一个n><年代p一个ncl一个年代s="mord">.年代p一个n>年代p一个n>