丢番图方程-模算术考虑

这是一种有用的技巧丢番图方程就是减模 $n$为了一些精心挑选的人模量 $n$．这通常是证明解不存在的一种方法:如果没有解mod $n$对于一些 $n$，那么这些整数没有解。偶尔，根据解决方案mod缩小可能的解决方案范围也是有用的 $n$，但要找到一个完整的解集，当集合非空时，几乎总是需要更高级的技术。

用正整数解这个方程

$x ^ 2 + y ^ 2 4 x + 1 = 4。$

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对两边取模4，得到

$X ^2+1\等于0 \pmod 4。$

然而, $X ^2\equiv 0,1 \pmod 4$,所以

$X ^2+1\等于1,2 \pmod 4。$

因此，因为左边不能被4整除，所以方程没有正整数解。 $_ \广场$

一旦选择了合适的模量，验证没有解通常是一个简单的计算。所以解决这类问题的主要困难在于决定使用哪种模量。

一个经常有用的指导原则(在介绍性示例中使用)是选择使多项式系数消失的模。这通常可以简化方程，并有助于消除变量。

资料来源:国际海事组织1982年，问题4

表明, $x ^ 3-3xy ^ 2 + y ^ 3 = 2891$没有整数解 $(x, y)$．

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看起来模 $7$．方程变成了 $X ^3-3xy^2+y^3 \equiv 0 \pmod{7}$．

如果 $X \equiv 0 \pmod{7}$,然后 $Y \equiv 0 \pmod{7}$，但这是不可能的，因为 $7^3 \nmid 2891$．现在假设 $X \not\equiv 0 \pmod{7}$．让 $U \equiv \frac yx \pmod{7}$．除以 $x ^ 3$给了

$1-3u^2+u^3 \等于0 \pmod{7}$

很容易证明这个没有解。 $_ \广场$

对于未知数中的多项式丢番图方程，一个好的选择是奇素数 $p$关键指数的除法 $p - 1$．这是因为

$文本\ frac1 {\ {gcd} (k, p - 1)}$

非零元素mod $p$是 $k ^ \文本{th}$权力国防部 $p$(详见维基百科原始的根(详情)，最有帮助和限制性的条件来自于 $p$这个分数是最小的，当分母是 $k$．

表明, $X ^5+113y^5 = 137$没有整数解。

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看起来模 $11$： $x ^ 5$而且 $y ^ 5$在 $\ {1 0 1 \}$,所以 $X ^5+113y^5 \等于X ^5+3y^5$是在 $\{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4 \}$国防部 $11$．但 $5 .同位语从句$．所以没有解 $11$，因此没有解决方案。 $_ \广场$

注意看mod $113$或国防部 $137$这里没有用，因为每个数都是这两个质数的五次方模。

当指数是质数时，另一种常见的选择 $p$是一种力量 $p$．如上所述，仅 $\压裂1便士$相对素数的整数 $p$是 $p {th} ^ \文本$权力国防部 $p ^ k$．

例如，如果指数是 $2$或 $4$的模，是有效的 $8$而且 $16$，分别为 $X ^2 \equiv 1$国防部 $8$为奇数 $x$, $X ^4 \等于0,1$国防部 $16$对于任何 $x$．(这些选择也可以扩展为2的更高次幂的指数。)

资料来源:USAMO 1979年，问题1

求所有整数的非负解

$N_1 ^4 + n_2^4 + \cdots +n_{14}^4 = 1599。$

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看起来模 $16$．然后 $N_i ^4 \等于0$或 $1$所以左边是进去的 $\ {0 1 2 \ ldots 14 \}$国防部 $16$，但右边是 $15$国防部 $16$．所以没有解。 $_ \广场$

的三个立方体问题是当代相当多研究的课题:为哪些价值观 $n$求整数解

$x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = n$

存在吗?显示为 $N = 32$没有解决办法。 $（$是否有解决方案的问题 $N = 33$最近被安德鲁·布克解决了。 $）$

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看起来模 $9$．数据集 $1, 0, 1$，所以它们的和是 $\{-3，-2，-1,0,1,2,3 \}$．等于的任何数 $\下午4$国防部 $9$不能写成三个整数立方体的和。和 $32 \equiv -4$国防部 $9$． $_ \广场$

猜想是任何 $N \not\equiv \pm$国防部 $9$有很多解决方案 $n$还没有找到解决方案的地方。截至撰写本文时， $42$是100以下唯一没有解的自然数。

有时也有解 $n$，但只是变量所在的“琐碎”部分 $0$．所以 $n$除以所有变量。有时保理 $n$Out会导致矛盾，有时它会导致一个更简单的方程。

要了解更多示例，请参阅wiki上无限的血统．

本节讨论具有这种形式的项的方程 $^ n$,在那里 $一个$是一个给定的正整数。解这类方程的标准方法是处理方程直到， $A ^n=\text{几个表达式的乘积}，$是获得。特别是，如果 $一个$是质数，那么我们可以用算术基本定理乘积中的每个因子都是这个质数的幂。即使 $一个$是复合的，它往往归结为个案后的考虑最大公约数．我们给出下面的例子来说明这种技术:

解出 $(p, n, x)$用素数丢番图方程 $p$和正整数 $x,护士:$

$p ^ n + 1 = x ^ 2。$

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注意，我们通过加衬底得到了平方差 $1$在两边:

$p ^ n = x ^ 2 = (x - 1) (x + 1)。$

从前面的讨论中，我们知道每个因子都是的幂 $p$：

$\{对齐}开始x - 1 = p ^ \ \ x + 1 & ^ = p b \{对齐}结束$

在哪里 $a、b$非负整数满足吗 $a + b = n$．请注意, $x + 1 > x - 1 \意味着b > a$．

两个方程相减得到 $p ^ bp ^ = 2。$

• 如果 $通用电气\ 1$,然后 $p$左边是除数，所以 $p | 2 \意味着p = 2$．同时, $1 \勒$否则 $4 | 2$．因此 $一个= 1$我们有 $2^b-2^1=2\表示2^b=4\表示b=2$，给出了解 $(2、3、3)$．

• 如果 $一个= 0$,然后 $P ^b=3\表示P =3, b=1$，给出了解 $(3、1、2)$．

总之, $(2、3、3)$而且 $(3、1、2)$是方程的唯一解。 $_ \广场$

求解一类相当简单的幂方程的形式是

$一个^取向^ y = 1,$

在哪里 $a、b$都是正整数。我们假设 $a、b$是相对素数的 $x, y$是积极的。对于那些熟悉的人Zsigmondy定理，很容易看出，方程有有限个解。实际上，如果我们把方程写成 $^ x - 1 = b ^ y$，那么我们就知道存在 $N$这样对所有人来说 $x通用电气\ N$， $一个^ x - 1$有不能除的素数吗 $b$．

虽然这个重定理给了我们一个解的上界，但更基本和实用的方法是使用模算术。一般的方法是基于这样一个事实:如果是的除数 $b$总是把 $一个^ x - 1$，那么一个固定的数字也必须总是除 $x$．这是的性质元素的阶数:如果 $A ^x\等于1\pmod m$而且 $m = 1$,然后 $\ \{奥德}_m文本(a)大| x$．一方面，我们明白这一点 $文本\{奥德}_m (a)$是偶数，这意味着 $x$是偶数，让位于平方之差。另一方面，我们知道 $^{{奥德}\文本_m (a)} 1$有不能除的素数吗 $b$．自 $^{{奥德}\文本_m (a)} 1 \大| ^ x - 1 = b ^ y$我们知道，当这种情况发生时，没有解决方案。如果这两种情况都不发生，则选择“更大的” $b$．我们在下面的例子中说明这一点。

解决 $11 ^ x = 2 ^ y-1$在正整数中。

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从 $2^y\equiv 1 \pmod {11}$，我们有 $\text {ord}_{11}(a)=10\表示10\大|y$．由此可见 $2 ^{10} 1 \大| 2 ^ y-1 = 11 ^ x$这是不可能的，因为 $2^{10}-1=11\cdot 3\cdot 31$．因此这个方程没有解。 $_ \广场$

找到所有整数 $n,米$这样

$| | ^ n - 3 ^ 2米= 1。$

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我们首先把零情况排除掉: $(n, m) = (1,0)$．现在假设 $n,米$都是正整数。

绝对值意味着我们有两种情况:

案例1： $2 ^ n - 3 ^ m = 1 \意味着2 ^ ^ n - 1 = 3 m$
考虑到模 $3.$给了我们 $2 | n$．然而，这个结果还不够强烈 $2 ^ 2 = 3$不包含除 $3.$．我们现在该怎么办?好吧, $m = 1$产生解决方案 $(2, 1)$．现在我们假设 $m \通用电气2$考虑模数 $3 ^ 2$．这给了我们 $6 | n$我们可以停在这里，因为 $7 | 2 ^ 6 - 1$．因此没有解决的办法 $m \通用电气2$．

注意从 $2 | n$我们可以使用不同的平方差来进行，所以自己试试上面的答案。

案例2： $3 ^ m - 2 ^ n = 1$
这种情况的解决方法与情况1类似。然而，在这里，我们不能得出其中之一 $m, n$偶数，也就是说平方之差不存在。我将把这个案例留给感兴趣的读者作为练习。 $_ \广场$

如果我们的方程是

$A ^x-b^y=n ~\text {with}~ n>1?$

那么，在一般情况下，我们不能应用上述方法，因为使用顺序需要 $n$是 $1$．在这些情况下，选择正确的模量通常会帮助我们获得关于 $x, y$．在求解这些方程时，首先要对方程尝试不同的模量。

求所有正整数 $m, n$满足

$| ^ 12 m-5 ^ n | = 7。$

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案例1： $5 ^ n-12 ^ m = 7$．在模 $4$这就变成了 $1\equiv 3\pmod 4$，所以这种情况没有解。

案例2： $12 ^ m-5 ^ n = 7$．在模 $6$这就变成了 $(-1)^n\equiv -1\pmod$,所以 $n$是奇数。请注意, $m = n = 1$是一个解，取模 $5$而且 $4$没用的。相反，我们可以假设 $m \通用电气2$现在我们可以用模进行分析 $8$：

$5^n\equiv 1\pmod 8 \表示2|n。$

这与 $n$很奇怪，我们之前发现的。所以 $m = n = 1$是我们唯一的解。 $_ \广场$

求所有正整数 $(m, n)$满足

$3 ^ m-7 ^ n = 2。$

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通过观察，我们可以看到 $(2, 1)$满足这个，但不是 $(1,1)$．我们现在要证明没有解 $m > 2$而且 $n > 1$．假设相反:

$\开始{对齐}3 m - 7 ^ n ^ & = 2 \ \ 3 m - 9 & = 7 ^ n ^ 9 - 7 \ \ \大(3 ^ {m - 2} 1 \大)& = 7 \大(7 ^ {n} 1 \大)。结束\{对齐}$

自 ${gcd} \文本(7、9)= 1$，它必须遵循 $9 \mid 7^{n-1}-1$．的乘法顺序 $7 \ pmod {9}$是 $3.$,所以 $3 \mid n-1$．这句话意味着 $19 \mid 7^3-1 \mid 7^{n-1}-1$．

从这里，利用事实 ${gcd} \文本(9日19)= 1$，它必须遵循 $19 \mid 3^{m-2}-1$．的乘法顺序 $3 \ pmod {19}$是 $18$,所以 $18 \mid n-1$．这个表述给了我们 $37 \mid 3^{{18}-1 \mid 3^{m-2}-1$．

从前面开始，使用 ${gcd} \文本(7,37)= 1$，它必须遵循 $37 \mid 7^{n-1}-1$．的乘法顺序 $7 \ pmod {37}$是 $9$,所以 $9 \mid n-1$．由此，我们得出结论 $27 \mid 7^9-1 \mid 7^{n-1}-1$．

然而，这意味着 $27 \mid 3^2 (3^{m-2}-1) \表示3 \mid 3^{m-2}-1$，这是不可能的 $m > 2$．因此，丢番图方程不存在进一步的解。

因此，唯一令人满意的解是 $(2, 1)。\ _ \广场$

试着自己证明以下问题:

求丢番图方程的所有正整数解

$5 ^ 3 ^ y = 2。$

求出方程的所有正整数解

$3 x y = 5 + 4 ^ ^ ^ z。$

提示:证明一下 $x = y = 2$是唯一的解。