最大公约数gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba最大的普通除数（GCD）gydF4y2Ba，也称为gydF4y2Ba最大的共同因素gydF4y2Ba，两个数中能同时除两个数的最大数。例如，20和15的最大公因数是5，因为5能除20和15，再大的数也没有这个性质。这个概念很容易扩展到两个以上数字的集合:一组数字的GCD是它们各自除以的最大数字。gydF4y2Ba

GCD被用于各种各样的应用gydF4y2Ba数论gydF4y2Ba，特别是在gydF4y2Ba模运算gydF4y2Ba这样的加密算法gydF4y2BaRSAgydF4y2Ba．它也用于更简单的应用程序，例如gydF4y2Ba简化分数gydF4y2Ba．这使得GCD成为数论中一个相当基本的概念gydF4y2Ba算法gydF4y2Ba已被发现有效地计算它。gydF4y2Ba

GCD传统上被记作gydF4y2Ba $\ text {gcd}（a，b）gydF4y2Ba$，或者当上下文清楚时，简单地gydF4y2Ba $(a, b)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

只需简单地列出几个数字的GCD可以计算gydF4y2Ba因素gydF4y2Ba每个数字并确定最大的常见情况。虽然在实践中，这是非常低效的，但对于特别小案例，它是手工的。可以使用因子对方法分开该过程：一旦确定一个因子gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$的数量gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$，商品gydF4y2Ba $\ frac {n} {a}gydF4y2Ba$必然是一个因素。例如，由于2是24倍，gydF4y2Ba $\压裂{24}{2}= 12gydF4y2Ba$也是一个因素。gydF4y2Ba

求的最大公约数gydF4y2Ba $30,36，gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $24.gydF4y2Ba$

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每个数字的除数是给出的gydF4y2Ba

$\begin{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \\ 36: &1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \\ 24: &1, 2, 4, 6, 12, 24 \end{aligned}gydF4y2Ba$

出现在每个列表上的最大数字是gydF4y2Ba $6，gydF4y2Ba$这是最大公约数:gydF4y2Ba

$\ GCD（30,36,24）= 6. \ _ \ SquaregydF4y2Ba$

当数字很大时，因素列表可能是对上述方法非常困难的。一个更有效的方法是首先计算gydF4y2Ba素质分解gydF4y2Ba每个数字中的每个数字。得到的GCD是每个分解中出现的素材的产物，对因子中的最小指数。这令人困惑，所以让我们看看一个例子：gydF4y2Ba

计算gydF4y2Ba $\ GCD（4200,3780,3528）gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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我们有gydF4y2Ba

$\ begin {对齐} 4200＆= 2 ^ 3 \ cdot 3 ^ {\ phantom 1} \ cdot 5 ^ 2 \ cdot 7 \\ 3780＆= 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 3 \ cdot 5 ^ {\ phantom 1}\ CDOT 7 \\ 3528＆= 2 ^ 3 \ cdot 3 ^ 2 \ \ phantom {\ cdot 5 ^ 0} \ cdot 7 ^ 2。\结束{对齐}gydF4y2Ba$

因为2出现在每一个因数分解中，它也会出现在GCD中。在分解时取最小的幂，在这个例子中是2。所以GCD将包含gydF4y2Ba $2 ^ 2gydF4y2Ba$在其分解。继续沿着这些线，我们得到GCD为gydF4y2Ba

$2 ^ 2 \ cdot 3 \ cdot 7 = 84. \ _ \ squaregydF4y2Ba$

在正式符号中，如果是素质的因素gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba

$a = p_1 ^ {\ alpha_1} p_2 ^ {\ alpha_2} \ ldots p_k ^ {\ alpha_k}，\ quad b = p_1 ^ {\ beta_1} p_2 ^ {\ beta_2} \ ldots p_k ^ {\ beta_k}，gydF4y2Ba$

那里gydF4y2Ba $p_igydF4y2Ba$是独特的素质和gydF4y2Ba $\ alpha_igydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\ beta_igydF4y2Ba$是非负整数，然后gydF4y2Ba

$\肾小球囊性肾病(a, b) = p_1 ^ {\ min (\ alpha_1 \ beta_1)} p_2 ^ {\ min (\ alpha_2 \ beta_2)} \ ldots p_k ^ {\ min (_k, \ \ beta_k)}。gydF4y2Ba$

一个类似的公式适用于求几个整数的GCD，方法是为每个质数取最小的指数。gydF4y2Ba

虽然这一点gydF4y2Ba素质分解gydF4y2Ba方法通常是用手做的最实用，偶尔确定原始分解是gydF4y2Ba非常困难的gydF4y2Ba，在这种情况下，就需要另一种方法。一般来说，在这些情况下，gydF4y2Ba算法gydF4y2Ba是在下一节中使用的。gydF4y2Ba

由于使用大量难以用手使用，因此有许多算法用于将问题简化到可管理的级别。由于GCD有属性gydF4y2Ba

$\ text {gcd}（a，b，c）= \ text {gcd}（\ text {gcd}（a，b），c）gydF4y2Ba$

GCD可以“一次计算两个”，例如，如果我们想求20、28、24的GCD，我们可以先求gydF4y2Ba $20.gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $28gydF4y2Ba$(即4)，然后是4和24(也是4)的GCD。因此，几乎所有算法都关注于确定两个数字的GCD的最简单情况。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba欧几里得算法gydF4y2Ba是基于以下关键观察:如果gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$分gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$分gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$也分gydF4y2Ba $A - B.gydF4y2Ba$例如,(通过gydF4y2Ba模运算gydF4y2Ba）.这意味着GCDgydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$与GCD相同gydF4y2Ba $A - B.gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$，这是进步，因为这使得数字变小。gydF4y2Ba

因此，我们可以重复这个过程，形成一个算法:gydF4y2Ba

1. 如果gydF4y2Ba $a = bgydF4y2Ba$，停止 - GCDgydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$当然,gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$．否则，请转步骤2。gydF4y2Ba
2. 如果gydF4y2Ba $A> B.gydF4y2Ba$， 代替gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $A - B.gydF4y2Ba$，然后回到第1步。gydF4y2Ba
3. 如果gydF4y2Ba $B> A.gydF4y2Ba$， 代替gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $(b - a)gydF4y2Ba$，然后回到第1步。gydF4y2Ba

确定84和132的最大公因数。gydF4y2Ba

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我们遵循我们的算法:gydF4y2Ba

1. $一个gydF4y2Ba$是84,gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是132。自gydF4y2Ba $B> A.gydF4y2Ba$,我们替换gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $B - a = 132 - 84 = 48gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
2. $一个gydF4y2Ba$是84,gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是48.gydF4y2Ba $A> B.gydF4y2Ba$,我们替换gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $A - b = 84 - 48 = 36gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
3. $一个gydF4y2Ba$是36岁gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是48.gydF4y2Ba $B> A.gydF4y2Ba$,我们替换gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $b - a = 12gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
4. $一个gydF4y2Ba$是36岁gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是12。自gydF4y2Ba $A> B.gydF4y2Ba$,我们替换gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $A - b = 24gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
5. $一个gydF4y2Ba$是24岁gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是12。自gydF4y2Ba $A> B.gydF4y2Ba$,我们替换gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $A - b = 12gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
6. $一个gydF4y2Ba$是12,gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是12。自gydF4y2Ba $a = bgydF4y2Ba$，GCD是12。gydF4y2Ba

由于数字在每个点变小，因此该算法最终将完成并产生GCD。在实践中，如主的描述，这可以更有效gydF4y2Bawiki页面gydF4y2Ba例如，你可能已经注意到，一旦我们读到36和12，我们可以“跳过”gydF4y2Ba $= 24gydF4y2Ba$步。欧几里德算法用手尤其有用，因为一旦数量足够低，通过检查将变得“显而易见”（例如，您可能已经注意到了gydF4y2Ba $A = 36, b = 12gydF4y2Ba$总的来说，GCD为12gydF4y2Ba $36 = 12 \ CDOT 3gydF4y2Ba$）.gydF4y2Ba

另外还有一个稍微复杂一点的算法gydF4y2BaStein的算法gydF4y2Ba，这是基于同样的观察，但另外检查gydF4y2Ba奇偶校验gydF4y2Ba两个数字：gydF4y2Ba

1. 如果gydF4y2Ba $a = bgydF4y2Ba$，停止 - GCDgydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$当然,gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$．否则，请转步骤2。gydF4y2Ba
2. 如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$两者都是偶数吗gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $\压裂{一}{2}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $\ frac {b} {2}gydF4y2Ba$，并递增柜台。gydF4y2Ba
3. 如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$甚至和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是奇数,取代gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $\压裂{一}{2}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
4. 如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是奇怪的gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是偶数,取代gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $\ frac {b} {2}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
5. 如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$既是奇数，替换gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $A - B.gydF4y2Ba$(就像上面的欧几里得算法)。gydF4y2Ba

这是，对于计算机来说，某种程度上更有效率，因为乘2除法的使用非常快gydF4y2Ba二进制数gydF4y2Ba．手工携手合作也有些自然;基本上，如果您在欧几里德算法的任何时候注意到“明显”的常见因素（这里，“明显”普通因子是2，但也可以是其他人使用gydF4y2Ba可分性规则gydF4y2Ba）.gydF4y2Ba

GCD用于许多简单和复杂的应用程序。实际上，您可能已经隐式地计算了gcd，而没有在何时识别它gydF4y2Ba简化分数gydF4y2Ba：减少分数是将分子和分母除以其GCD的问题。gydF4y2Ba

是什么gydF4y2Ba $\压裂{246}{642}gydF4y2Ba$在最低的条件吗?gydF4y2Ba

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用上述任何一种方法，我们计算的最大公约数gydF4y2Ba $246gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $642.gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $6.gydF4y2Ba$划分顶部和底部gydF4y2Ba $6gydF4y2Ba$得到gydF4y2Ba $\ frac {41} {107}gydF4y2Ba$．这个分数确实是最低项(正如我们所期望的)，因为它是唯一能同时除以两个数的正整数gydF4y2Ba $41gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $107.gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $1.gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

整数对，例如gydF4y2Ba $41gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $107年,gydF4y2Ba$谁的GCD是gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$被称为gydF4y2Ba相对素质gydF4y2Ba，并且有很多有用的原因，例如gydF4y2BaBezout的身份gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

GCD也用于gydF4y2Ba扩展欧几里德算法gydF4y2Ba来计算gydF4y2Ba模块化反转gydF4y2Ba，这在加密方案中具有极端重要性gydF4y2BaRSAgydF4y2Ba．当考虑到gydF4y2Ba元素的顺序gydF4y2Ba，特别是在gydF4y2Ba拉格朗日定理gydF4y2Ba特别是适用于gydF4y2Ba模运算gydF4y2Ba．这使它成为一个共同主题gydF4y2Ba竞争和奥林斯德gydF4y2Ba．gydF4y2Ba