欧拉定理

欧拉定理是一种概括费马小定理处理整数的幂模正整数。它出现在初等数论的应用中，包括的理论基础RSA密码系统。

让 $n$是正整数，让 $一个$是一个相对素数的整数 $n。$然后

$A ^{\phi(n)} \等于1 \pmod n，$

在哪里 $\φ(n)$是欧拉totient函数，用于统计正整数的个数 $\ n$哪些是相对主要的 $n。$

假设 $一个$相对来说 $10.$自 $\φ(10)= 4,$欧拉定理是这样说的 $A ^4 \equiv 1 \pmod{10}，$即的个位数 $^ 4$总是 $1.$详见维基求幂的最后一位对于类似的问题。

这里有两个证明:一个使用直接参数，涉及所有元素相乘，另一个使用群理论．

使用剩余类证明:

考虑要素 $R_1, r_2, ldots, r_{\phi(n)}$的 $({\ mathbb Z} / n) ^ *,$是素数的整数的同余类 $n。$为 $a\in ({\mathbb Z}/n)^*，$结论就是乘以 $一个$是这个集合的一个排列;这就是集合 $\{ar_1, ar_2， \ldots, ar_{\phi(n)} \}$= $({\ mathbb Z} / n) ^ *。$这个结论是正确的，因为乘以 $一个$一个函数来自有限集吗 $({\ mathbb Z} / n) ^ *$对自身有一个逆，也就是乘以 $\ fr1a \pmod;$

例如，让 $n = 9$而且 $= 2。$然后 $({\mathbb Z}/n)^* = \{1,2,4,5,7,8\}。$乘法的 $2$把这个集合变成 $\{2、4、8、1、5、7 \}。$它对集合中的元素进行了排列。
$\大($乘法的 $5 = \frac12 \pmod$是这个排列的倒数。 $\大)$

现在，考虑所有元素的乘积 $({\ mathbb Z} / n) ^ *。$一方面，确实如此 $r_1r_2 \ cdots r_{\φ(n)}。$另一方面，它是 $(ar_1) (ar_2) (\ cdots) (ar_{\φ(n)})。$所以这两个乘积是同余的 $n$：

$\开始{对齐}r_1r_2 \ cdots r_{\φ(n)} & \枚(ar_1) (ar_2) (\ cdots) (ar_{\φ(n)}) \ \ r_1r_2 \ cdots r_{\φ(n)} & \枚^{\φ(n)} r_1r_2 \ cdots r_{\φ(n)} \ \ 1 & \枚^{\φ(n)},结束\{对齐}$

在哪里取消 $r_i$因为它们都有乘法逆 $\ pmod n。$ $_ \广场$

证明使用拉格朗日定理：

元素 $({\ mathbb Z} / n)$用a的乘法逆集团在乘法下，表示 $({\ mathbb Z} / n) ^ *$．这个小组有 $\φ(n)$元素。幂的子组由…的幂组成的子组 $一个$有 $d$元素, $d$是乘法指令的 $一个$ $\大($因为子群中的元素是 $1一个^ 2,\ ldots ^ {d 1} \大)。$

根据拉格朗日定理， $d | \φ(n),$说 $dk = \φ(n)$对于某个整数 $k。$自 $^ d \枚1 \ pmod {n},$

$A ^{\phi(n)} \等同A ^{dk} \等同左(A ^d \右)^k \等同1^k \等同1 \pmod{n}。\ _ \广场$

证明如果 $n$是奇数吗 $n$分 $2 ^ {(n - 1) !} 1$．

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声明是明确的 $n = 1,$所以假设 $n > 1。$根据欧拉定理， $2^{\phi(n)} \等于1 \pmod n$．自 $\ (n) \le n-1$，我们有 $(n - 1) != \phi(n) \cdot k$对于某个整数 $k$．所以

$2 ^ {(n - 1) !｝\equiv 2^{\phi(n) \cdot k} \equiv \left(2^{\phi(n)}\right)^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod n.\ _\square$

让 $A_1 = 3$而且 $A_n = 3^{a_{n-1}}$为 $N \ge 2;$求的最后两位数字 $现代{2016}。$

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请注意, $3 . k \equiv$国防部 $4$对所有 $k。$现在的目标是计算 $现代{2016}\ pmod{25}。$自 $A_ {2016} = 3^{A_ {2015}}，$计算就足够了 $现代{2015}$国防部 $\phi(25) = 20。$同样地，我们想要 $现代{2014}$国防部 $\φ(20)= 8,$ $现代{2013}$国防部 $\φ(8)= 4,$而且 $现代{2012}$国防部 $\φ(4)= 2。$但是所有的 $a_k$是奇数，所以 $A_ {2012} \equiv 1 \pmod 2;$我们往回走，

$\begin{aligned} a_{2013} \equiv 3^1 &\equiv 3 \pmod 4 \\ a_{2014} \equiv 3^3 &\equiv 3 \pmod 8 \\ a_{2015} \equiv 3^3 &\equiv 7 \pmod{20} \\ a_{2016} \equiv 3^7 &\equiv 12 \pmod{25}。结束\{对齐}$

所以 $A_ {2016} \equiv 3 \pmod 4$而且 $A_ {2016} \equiv 12 \pmod{25}，$所以通过中国剩余定理它与唯一的元素mod是一致的 $One hundred.$这是 $87$通过检查。 $_ \广场$