三角形的面积
有许多不同的公式可以用来计算<年代trong>三角形的面积。
基本公式
这是最常用的公式,可能是你见过的第一个公式。
对于一个有底的三角形<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和高度<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,面积<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是由
请注意,这恰好是具有相同底和高的矩形面积的一半。它的证明很简单,所以不需要太多的解释。对此的一个逻辑推理是,你可以通过降低一个高度来做出两个三角形,这两个三角形的每一半都围绕其斜边的中点旋转180度,从而形成两个矩形。因此,很明显,三角形的面积是它们各自矩形面积的一半,而矩形的总面积是<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
下面这个三角形的面积是多少?
因为三角形的底是5,高是8,所以面积是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
要记住底和高是垂直的。这里有更多的例子。
下图中三角形的面积是多少?
如图所示,底数为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 高度是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 因此,面积为
在下面的图中,这两条线<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是平行的。如果的面积<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是6,它们之间的距离是多少<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
图中显示的是底数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 这是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 因为线<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是平行的,它们之间的距离是三角形的高吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 因此我们有<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 注意,即使我们选择一个不同的点<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 该区域仍将保持不变。<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
所以你认为三角形的面积很简单<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。其实还有很多方法可以求出三角形的面积。
使用正弦法则
考虑下面这个带角的三角形<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 对应的对边<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> :<年代p一个ncl一个年代年代="image-caption center">然后是三角形的面积<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是
在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 这个三角形的圆的半径是多少<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
我们要证明面积等于<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。其他等式也可以类似地证明。
通过绘制高度<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 三角形的顶点<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 对于对边,我们知道三角形的面积是
现在,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,这意味着<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 因此,
通过绘制高度<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 从其他两个顶点,我们可以类似地显示
为了得到最后一个等式,回想一下<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/extended-sine-rule/" class="wiki_link" title="扩展正弦法则" target="_blank">扩展正弦法则给了我们<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,因此我们得到
对于三角形<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,假设我们有两条边的长度<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
如果的面积<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 的值是多少<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
由上式,三角形的面积为
三角形<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 有边长<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和角度<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。求的面积<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。
利用正弦定律,我们有
因为内角和等于<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。现在,用公式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,我们得到
海伦的公式
赫伦公式说面积是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 三角形是半周长吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。稍微重排一下就会得到
在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是面积。<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
三角形<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是否所有的边长都是整数,在一个半径的圆内<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 它有边长<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。三角形的面积是多少?
我们知道三角形的周长等于<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,在那里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是面积。我们已经在上面证明过了,因为这是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。
代入给定的值,得到
半周长是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 根据Heron的公式<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 就变成了
代入的值<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 收益率
一些打击收益<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 把我们的值代入方程,得到
这个的证明有点棘手,所以我尽量让它简单。
从任意一个三角形开始<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 与基础<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。从角度降低高度<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 到另一边<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 把它命名为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。让这两段边<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 这样就有两个直角三角形<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 与国<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是它们各自的斜边。因此,这个三角形的面积是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。
自<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,那么<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。现在,记住这一点,让我们换个角度。
根据勾股定理,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。回到原来的方程,加上<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 两边都得到
把上面的勾股定理代入<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 隔离<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 给了<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
现在,因为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,我们可以代入的值<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 获得
代入第一个方程<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,我们得到
替换<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,我们得到
鞋带公式
给定三角形顶点的坐标,三角形的面积等于
(如果按顺时针顺序给出,符号为正,如果按逆时针顺序给出,符号为负。)
展开后,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
如果三角形是三维的,那么面积就变成
或者,它就是的绝对值
给定三角形顶点的坐标为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。求三角形的面积<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。
我们有
三角形<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 存在于二维笛卡尔平面上,并且在点上有两个顶点<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。点<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 存在于抛物线上<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 这样<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> -点坐标<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 满足<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。求出三角形的最大可能面积<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。
我们先代入给定条件:<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
替换<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 膨胀,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
使用<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,最大值出现在<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。
然而,由于这是一个绝对值方程而且两个根都在<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,我们必须检查哪个值<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 使函数最大化。因此,经过一番摸索,我们发现<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 生成三角形面积的最大值<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 这是<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
这里有几个很好的证明,用向量叉乘,行列式和微积分。然而,由于这是一个关于几何的wiki,我将发布最简单的几何证明。不幸的是,尽管这是最简单的,但也是最丑陋的。
为简单起见,请注明<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。
这样我们就有了坐标<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。(我知道这是不合适的,但相信我,它会变得丑陋。)我们的公式是<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
接下来,根据距离公式,我们有:
从<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 来<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,令它等于<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
从<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 来<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,令它等于<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
从<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 来<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,令它等于<年代p一个ncl一个年代年代="katex">根据Heron公式,我们得到<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
在我们的给定条件下进行大规模扩张之后<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,我们得到
哪些可以被分解
请注意,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 因此,两边平方根后,得到
计算区域
解决问题-基础
现在您已经学习了所有可能的公式,让我们看一些例子。
如果一个三角形的两条边长分别是10和11,这个三角形的最大可能面积是多少?
因为三角形面积的公式是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 与<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,最大面积出现在<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。所以面积是<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
注意,当三角形是直角三角形时,面积是最大的。
解决问题-中级
确定一个边长为三角形的面积<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。
设边长记为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 与边长相对的角<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 被<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。根据余弦法则,我们有<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。解<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 收益率<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 或<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。注意我们只取正的平方根因为三角形中任何角的正弦值都是非负的。
因此,面积是
注意,我们也可以用Heron公式求出三角形的面积:<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
求三角形的所有可能面积<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 长度的边<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和一个<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 角。
如果面积的和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 最小三角形是<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是整数和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是自由的,输入你的答案为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 。
- 这是特雷弗十人组的一部分。
- 有用的辉煌wiki:三角形的面积
- 图片来源:Ilmari Karonen的Wikimedia全等三角形
在几何学中,Heron公式指出三角形的面积,它的边是有长度的<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是
在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是三角形的半周长,也就是说,
Heron公式也可以写成
另外两个面积公式与Heron公式结构相同,但用不同的变量表示。
首先,从两侧表示中位数<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 分别为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 它们的半和是
我们有
接下来,表示从侧面的高度<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 分别为<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> ,表示高度倒数的半和为
我们有
其他公式包括
- 在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是底和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是高度;
- 在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 这个角度,有手臂吗<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="katex">
- 在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 为圆周半径;
- 在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 内桡骨和<年代p一个ncl一个年代年代="katex"> 是半周长;
- 选择定理对于一个点阵多边形的面积。