应用算术平均和几何平均不等式

我们来看看以下5种常用的使用方法<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/arithmetic-mean-geometric-mean/" class="wiki_link" title="AM-GM:" target="_blank">AM-GM:

1. 直接应用于不等式
2. 应用于产品中的每个术语
3. 在创造性地重新安排后获得的条款申请
4. 给定一个方程，用它来确定额外的条件
5. 不等式的情况。

应用AM-GM的最简单方法是立即将其应用于所有条款。例如，我们知道对于非负值，

$\压裂{x + y}{2} \组\ sqrt {xy} \ \ \压裂{x + y + z}{3} \组\ sqrt [3] {xyz}, \ \ \压裂{w + x + y + z}{4} \组\ sqrt [4] {wxyz}。$

让 $一个$而且 $b$是正的实数。表明, $\frac {a}{b} + \frac {b}{a} \geq$

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通过设置 $X = \frac {a}{b}$而且 $Y = \frac {b}{a}$和应用 $\frac{x + y} {2} \geq \√{xy}，$我们得到了

$\ \压裂压裂{一}{b} + {b}{} \组2 \√{\压裂{一}{b} \ cdot \压裂{b}{一}}= 2。\ _ \广场$

对于正实数 $A b c$展示一下

$公元前\压裂{^ 2}{}+ \压裂{b ^ 2} {ca} + \压裂{c ^ 2} {ab} \组3。$

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通过设置 $x_1 = \压裂{^ 2}{公元前},x_2 = \压裂{b ^ 2} {ca}, x_3 = \压裂{c ^ 2} {ab}$我们知道

$\frac{a^2}{BC} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab} \geq 3 \根号[3]{\frac{a^2 \乘b^2 \乘c^2}{BC \乘ca \乘ab}} = 3。\ _ \广场$

证明如果的乘积 $n$正实数是 $1$，则它们的和至少为 $n$．

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我们称它们为实数 $a_1,,…,an$．已知这个 $a_1a_2 \ cdots an = 1$．然后由AM-GM不等式上 $n$我们有变量 $\ dfrac {a₁+ a₂+ \ cdots + an} {n} \通用电气\ sqrt [n] {a_1a_2 \ cdots an} = 1 \意味着a_1 + a₂+ \ cdots + an \ n,通用电气$这正是我们想要的。 $_ \广场$

如果 $左\ \ {b_1,…,b_n \ \}$是序列的排列吗 $左\ \ {a_1,…,an \ \}$那就证明它

$\ \ dfrac {a_1} {b_1} + dfrac {a₂}{b_2} + \ cdots + \ dfrac {an} {b_n} \通用电气n。$

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请注意, $A_1a_2 \cdots a_n=b_1b_2\cdots b_n$自 $b$是的排列 $一个$．然后是AM-GM不等式

$\ \ dfrac {a_1} {b_1} + dfrac {a₂}{b_2} + \ cdots + \ dfrac {an} {b_n} \通用电气n \ sqrt [n] {\ dfrac {a_1} {b_1} \ dfrac {a₂}{b_2} \ cdots \ dfrac {an} {b_n}} = n \ sqrt [n] {\ dfrac {a_1a_2 \ cdots an} {a_1a_2 \ cdots an}} = n。\ _ \广场$

在这种方法中，我们先简化乘积的项，然后再将它们相乘。

表明, $(1 + a²)(1 + b²)\ geq4a b$对于正实数 $a、b$．

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通过AM-GM，我们做到了 $1 + a^2 \geq 2a$而且 $1 + b^2 \geq 2b$．因此,

$(1 + a^2) (1 + b^2) \geq 2a \ * 2b = 4ab。\ _ \广场$

注:我们可以扩展LHS，然后在所有条款上直接应用AM-GM

用正实数表示 $x, y, z$我们有

$\离开(x ^ 2 + y ^ 2 z + z ^ 2 x \) \离开(xy ^ 2 + yz ^ 2 + zx ^ 2 \) \通用电气9 x ^ 2 y ^ 2 z ^ 2。$

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注意，由AM-GM不等式上 $3.$我们有变量

$x ^ 2 + y ^ 2 z + z ^ 2 x \通用电气3 \√[3]{x ^ 2 y \ cdot y ^ 2 z \ cdot z ^ 2 x} = 3 \ sqrt [3] {x ^ 3 y z ^ 3 ^ 3} = 3 xyz,$ $xy ^ 2 + yz ^ 2 + zx ^ 2 \ 3通用电气\√[3]{xy ^ 2 \ cdot yz ^ 2 \ cdot zx ^ 2} = 3 \ sqrt [3] {x ^ 3 y z ^ 3 ^ 3} = 3 xyz。$

这两个相乘，得到

$\离开(x ^ 2 + y ^ 2 z + z ^ 2 x \) \离开(xy ^ 2 + yz ^ 2 + zx ^ 2 \) \通用电气9 x ^ 2 y ^ 2 z ^ 2$

根据需要。 $_ \广场$

让 $一个$而且 $b$是正的实数。表明,

$\frac {1}{ab} \geq \frac {4}{(a+b)^2}。$

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两边交叉相乘，这是等价的

$(a+b)\cdot(a+b) = (a+b)^2 \ geq4ab。$

为了证明这一点，我们在LHS的两个项上应用AM-GM:

$(a+b) \cdot (a+b) \geq 2 \根号{ab} \cdot 2 \根号{ab} = 4 ab.\ _\平方$

这是AM-GM最常用的方法，特别是在解决奥林匹克问题时。这可能很棘手，因为它要求你在选择要使用的术语时具有创新性和创造性。

让 $A b c$是正的实数。表明,

$A ^3 + b^3 + c^3 \geq A ^2 b + b^ 2c + c^ 2a。$

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我们有

$a ^ 3 + 3 ^ + ^ 3 \组3 \ sqrt [3] b {^ 3 ^ 3 ^ 3} = 3 ^ 2 b, b \ \ ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 \组3 \ sqrt [3] {b b ^ 3 ^ 3 c ^ 3} = 3 b c ^ 2, \ \ c ^ 3 + c ^ 3 + 3 ^ 3 \组\ sqrt [3] {c ^ 3 c ^ 3 ^ 3} = 3 c ^ 2。$

把这些不等式加起来，就得到了这个

$3a ^3 + 3b^3 + 3c^ 3 \ geq3a ^ 2b + 3b^ 2c + 3c^ 2a。$

因此，当我们除以3时，结果如下。 $_ \广场$

这种方法可以推广给我们<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/muirhead-inequality/" class="wiki_link" title="Muirhead不平等" target="_blank">Muirhead不平等．

让 $A b c$是正的实数。表明,

$\压裂{^ 2}{b ^ 2} + \压裂{b ^ 2} {c ^ 2} + \压裂{c ^ 2}{^ 2} \组\ \压裂压裂{b}{一}+ c {} {b} + \压裂{一}{c}。$

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应用AM-GM $\压裂{^ 2}{b ^ 2}$而且 $\frac{b^2} {c^2}$，我们得到

$\压裂{^ 2}{b ^ 2} + \压裂{b ^ 2} {c ^ 2} \组2 \√{\压裂{^ 2 b ^ 2} {b ^ 2 c ^ 2}} = 2 \压裂{一}{c}。$

注意，最后一项是不等式RHS中的一项，这对我们来说是个好消息。类似地，我们有

${对齐}\ \开始压裂{b ^ 2} {c ^ 2} + \压裂{c ^ 2}{^ 2} & \组2 \压裂{b}{}, \ \ \压裂{c ^ 2}{^ 2} + \压裂{^ 2}{b ^ 2} & \组2 \压裂{c} {b}。结束\{对齐}$

把这三个不等式加起来再除以2，就得到这个

$\压裂{^ 2}{b ^ 2} + \压裂{b ^ 2} {c ^ 2} + \压裂{c ^ 2}{^ 2} \组\ \压裂压裂{b}{一}+ c {} {b} + \压裂{一}{c}。\ _ \广场$

上面的例子向我们展示了创意在选择中的力量。如果我们尝试将AM-GM直接应用于所有条款，我们只会得到

$\压裂{^ 2}{b ^ 2} + \压裂{b ^ 2} {c ^ 2} + \压裂{c ^ 2}{^ 2} \组3 \ sqrt[3]{\压裂{^ ^ 2 b 2 c ^ 2} {b ^ 2 c ^ 2 ^ 2}} = 3。$

然而,由于

$\ \压裂压裂{b}{一}+ c {} {b} + \压裂{一}{c} \组3 \ sqrt[3]{\压裂{bca} {abc}} = 3,$

我们不能断定这种不平等是正确的。

如果 $a, b, c$都是正实数，然后证明

$\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c} \geq$

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我们清楚地看到，直接应用AM-GM不会有帮助。所以，我们需要对它做一点变换。我们试着做加法 $1$两边都画，试着表现出来

$\frac{c}{a}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c}+1 \geq 3。$

这紧随AM-GM之后，因为

$\压裂{c}{} + \压裂{一}{b + c} + \压裂{b + c} {c} \组3 \ sqrt[3]{\压裂{c}{} \ * \压裂{一}{b + c} \ * \压裂{b + c} {c}} = 3。\ _ \广场$

让 $A > b$是正的实数。的最小值是多少

$A + \frac {1} {b(A -b)}?$

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我们将表达式重写为 $B + (a-b) + \frac {1}{B (a-b)}。$应用AM-GM可以证明这一点 $b + (a - b) + \压裂{1}{b (a - b)} \组3 \ sqrt [3] {b \乘以(a - b) \ \压裂{1}{b (a - b)}} = 3。$平等是在以下情况下实现的 $B =a-b= \frac {1}{B (a-b)}$，或何时 $一个= 2$而且 $b = 1$．因此，表达式的最小值是3。 $_ \广场$

为 $在x, y, z \ \ mathbb {R} ^ +$证明 $x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \通用电气x \√{y ^ 2 + z ^ 2} + y \ sqrt {x ^ 2 + z ^ 2}$．

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由AM-GM不等式 $x ^ 2 + \离开(y ^ 2 + z ^ 2 \) \通用电气2 \√{x ^ 2 \离开(y ^ 2 + z ^ 2 \右)}= 2 x \√{y ^ 2 + z ^ 2},$ $y ^ 2 + \离开(x ^ 2 + z ^ 2 \) \通用电气2 \√{y ^ 2 \离开(x ^ 2 + z ^ 2 \右)}= 2 y \√{x ^ 2 + z ^ 2}。$把这两个加起来，得到 $2 \离开(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \) \通用电气2 x \ sqrt {y ^ 2 + z ^ 2} + 2 y \ sqrt {x ^ 2 + z ^ 2}$，除以 $2$给出期望的结果。 $_ \广场$

对于所有正的实数 $a, b, c$证明

$\压裂{^ 2}{b} + \压裂{b ^ 2} {c} + \压裂{c ^ 2} {d} + \压裂{d ^ 2}{} \组的a + b + c + d。$

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让我们考虑一下 ${对齐}\ \开始压裂{^ 2}{b} + \压裂{^ 2}{b} + \压裂{b ^ 2} {c} + c & \组4 \ sqrt[4]{\压裂{^ 2}{b} \压裂{^ 2}{b} \压裂c {b ^ 2} {c}} \ \ & = 4 \ \ 2 \压裂{^ 2}{b} + \压裂{b ^ 2} {c} + c & \ 4组。结束\{对齐}$是为了别人得到的吗 ${对齐}2 \ \开始压裂{b ^ 2} {c} + \压裂{c ^ 2} {d} + d & \ 2组4 b \ \ \压裂{c ^ 2} {d} + \压裂{d ^ 2}{} + 2 & \组的4 c \ \ \压裂{d ^ 2}{} + \压裂{^ 2}{b} + b & \组的4 d。结束\{对齐}$把它们都加起来，就得到 ${对齐}3 \ \开始离开(\压裂{^ 2}{b} + \压裂{b ^ 2} {c} + \压裂{c ^ 2} {d} + \压裂{d ^ 2}{} \右)+ (a + b + c + d) & \组4 (a + b + c + d) \ \ 3 \离开(\压裂{^ 2}{b} + \压裂{b ^ 2} {c} + \压裂{c ^ 2} {d} + \压裂{d ^ 2}{} \右)& \组3 (a + b + c + d) \ \ \压裂{^ 2}{b} + \压裂{b ^ 2} {c} + \压裂{c ^ 2} {d} + \压裂{d ^ 2}{一}& \组的a + b + c + d。\ _\方形\端{对齐}$

一开始可能会觉得很奇怪，我们可以用不等式，来给出方程的信息。在这种方法中，我们证明了这个方程迫使我们有相等的情况，然后允许我们得出结论，我们在相等的情况下。

这种方法与<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/trivial-inequality/" class="wiki_link" title="应用琐碎不等式" target="_blank">应用琐碎不等式．例如，如果我们知道 $一个$而且 $b$实数是这样的吗 $(a-b) ^ 2 = 0$，那么我们可以立即得出结论 $a = b$．这是因为小不等式表明 $X ^2 \geq 0$，与平等只有当 $X = 0$．

找到所有正实数对满足 $A ^3 + b^3 + 1 = 3ab$．

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应用AM-GM $A ^3 + b^3 + 1$我们知道

$A ^3 + b^3 + 1 \ geq3 \根号[3]{A ^3 \乘以b^3 \乘以1}= 3ab。$

因此，我们在相等的情况下，可以得出这样的结论 $A = b = 1$． $_ \广场$

要理解这种方法的威力，请尝试寻找上述示例的另一个解决方案。

(英国1996年)找到所有积极的真正解决方案 $(a, b, c, d)$到下面的方程组:

$A + b + c + d = 12， \ \ abcd = 27 + ab + ac + AD + BC + bd + cd。$

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提示1:展示一下 $\ r {abcd} \leq 9$．
提示2:展示一下 $\根号{abcd} \geq 9$．

提示1的证明:应用AM-GM, $3 = \frac {a + b + c + d}{4} \geq \sqrt[4]{abcd}$．因为两边都是正的，我们可以两边平方得到 $9 \geq \ vart {abcd}$．

提示2的证明:注意，提示一只用了第一个方程，所以我们要用第二个方程。应用AM-GM，我们得到了这个结果 $Ab +ac+ad+bc+bd+cd \geq 6 \√{abcd}$．因此, $\左(\根号{abcd}\右)^2 -6 \根号{abcd} - 27 \geq 0$，或者 $\左(\根号{abcd} - 9\右)\左(\根号{abcd}+3\右)\ geq 0$．由于积的第二项总是正的，这意味着 $\sqrt{abcd} -9 \geq 0$． $_ \广场$

从提示1和提示2中， $\ sqrt {abcd} = 9$．因此，在提示1(或提示2)中使用的AM-GM中必须保持相等，这意味着 $A = b= c =d$．自 $A + b + c + d = 12$，这就给出 $a = b = c = d = 3$作为唯一可能的解决方案。快速检查表明这确实是一个解决方案。 $_ \广场$

为了证明一个严格的不等式成立，我们只需证明相等的情况在这种情况下不适用。

为整数 $N > 1$展示一下

$左(\ \压裂{1}{2}+ \压裂{2}{3}+ \ cdots + \压裂{n} {n + 1} \右)^ n > \压裂{n ^ n} {n + 1}。$

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应用AM-GM，我们得到了这个结果 $\ \压裂{1}{2}+压裂{2}{3}+ \ cdots + \压裂{n} {n + 1} \ n组\ sqrt [n]{\压裂{1}{2}\ * \压裂{2}{3}\乘以\ cdots \ \压裂{n} {n + 1}} = n \ sqrt [n]{\压裂{1}{n + 1}}。$抬高两边 $n ^ \文本{th}$权力，我们获得 $左(\ \压裂{1}{2}+ \压裂{2}{3}+ \ cdots + \压裂{n} {n + 1} \右)^ n \组\压裂{n ^ n} {n + 1}。$很明显，相等的情况并不适用，因为 $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$． $_ \广场$

让 $n > 1$是整数。表明,

$n !< \left(\frac {n+1}{2} \right)^n。$

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将AM-GM应用于条款 $X_1 =1, x_2=2， \ldots, x_n=n$，我们有

${数组}{rl} \ \开始压裂{1 + 2 + \ cdots + n} {n} & \组\ sqrt [n]{1 \乘以2 \ \ cdots \ n} \ \ \ dfrac{\压裂{n (n + 1)} {2}} {n} & \组\ sqrt [n] {n !{\\ \left(\frac {n+1}{2} \right)^n & \geq n!。结束\{数组}$自 $n > 1$，条款 $x_i$并不都是平等的，因此平等并不成立。因此，这表明 $\左(\frac {n+1}{2} \右)^n > n!。\ _ \广场$

因式分解后应用AM-GM不等式:

这个表达式的最小值是多少 $\ dfrac {x ^ 2 y ^ 2 - 2 x ^ 2 y + 2 x ^ 2 + 2 xy-2x + 1} {x ^ 2 y + x},$在哪里 $x,y \in \mathbb{R^+}$，能达到吗?

---

我们可以把表达式重写为 ${对齐}\ \开始dfrac {x ^ {2} y ^ {2} + 2 xy + 1 - 2 x ^ {2} y + 2 x ^ {2} - 2 x} {x (xy + 1)} & = \ dfrac {(xy + 1) ^ {2} - 2 x (xy + 1 - x)} {x (xy + 1)} \ \ & = \ dfrac {xy + 1} {x} + \ dfrac {2 x} {xy + 1} - 2。\qquad \qquad (1) \end{aligned}$根据AM-GM的不平等 $\压裂{\压裂{xy + 1} {x} + \压裂{2 x} {xy + 1}}{2} \组\ sqrt {2},$的最小值 $(1）$是 $2\根号{2}- 2\约0.828。\ _ \广场$

问题来源- Brilliant.org

这里有一些问题你可以试试。想想你可以用这5种方法中的哪一种来回答一个特定的问题。

1)让 $a、b$而且 $c$是正的实数。表明,

$(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 9$

2)让 $一个$而且 $b$是正的实数。表明,

$\frac {1}{a} + \frac {1}{b} \geq \frac {4}{a+b}。$

3)给 $n$正实数 $X_1 x_2 \ldots x_n$展示一下

$\压裂{x_1 ^ 2} {x_2} + \压裂{x_2 ^ 2} {x_3} + \ cdots + \压裂{x_n ^ 2} {x_1} \组x_1 + x_2 + \ cdots + x_n。$

4)(内斯比特不等式)给定3个正实数 $a、b$而且 $c$展示一下

$b + c \压裂{一}{}+ \压裂{b} {a + c} + \压裂{c} {a + b} \组\压裂{3}{2}。$

5)给出一个真实的价值 $x$这样 $0 \leq x \leq$展示一下

$\压裂{x ^ 2} {x + 1} + \压裂{(1 - x) ^ 2} {2 x} \组\压裂{1}{3}。$

6)让 $x$而且 $y$正实数令人满意 $X ^3 +y^3 = X -y$．表明,

$X ^2 + 4y^2 < 1。$

7)让 $n$为正整数。表明, $\离开(1 + \压裂{1}{n + 1} \右)^ {n + 1} > \离开(1 + \压裂{1}{n} \右)^ {n}。$(提示:我们如何应用AM-GM?哪一方是总经理?价值是什么 $n$在AM-GM?我们能创建一组吗 $n$术语谁的产品是转基因?)

8)(*)给定3个正实数 $a、b$而且 $c$这样 $a + b + c = 1$展示一下 $A ^ A b^b c^c+ A ^b b^c c^ A + A ^c b^ A c^b \leq 1$．

9)让 $a, b, c$是正的实数，这样 $美国广播公司(abc) = 1。$证明

$\ dfrac {b + c} {\ sqrt{一}}+ \压裂{a + c} {\ sqrt {b}} + \压裂{b +} {\ sqrt {c}}≥\ sqrt{一}+ \ sqrt {b} + \ sqrt {c} + 3。$