多项式的分解

分解是将表达的分解成其因素的产物。

以下是常见的因素。

1. 对于任何正整数 $N.$那 $a ^ n-b ^ n =（a-b）（a ^ {n-1} + a ^ {n-2} b + \ ldots + ab ^ {n-2} + b ^ {n-1}）。$特别是 $n = 2$， 我们有 $a ^ 2-b ^ 2 =（a-b）（a + b）$。

2. 对于奇数的正整数 $N.$那 $a ^ n + b ^ n =（a + b）（a ^ {n-1} - a ^ {n-2} b + \ ldots - ab ^ {n-2} + b ^ {n-1}）。$

3. $a ^ 2 \ pm 2ab + b ^ 2 =（a \ pm b）^ 2$

4. $的x ^ 3 + Y ^ 3 + Z ^ 3 - 3 XYZ =（X + Y + Z）（X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2-XY-YZ-ZX）$

5. $（AX + by）^ 2 +（AY-BX）^ 2 =（a ^ 2 + b ^ 2）（x ^ 2 + y ^ 2）$那 $（ax-by）^ 2 - （ay-bx）^ 2 =（a ^ 2-b ^ 2）（x ^ 2-y ^ 2）$

6. $x ^ 2 y + y ^ 2 z + z ^ 2 x + ^ 2 z + y ^ 2 x + ^ 2 y + 2xyz =（x + y）（y + z）（z + x）$

分解通常将表达式转换为更容易操纵代数的形式，具有易于识别的解决方案，并产生明确定义的关系。

查找所有有序的整数解决方案对 $（x，y）$这样 $2 ^ x + 1 = y ^ 2$。

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我们有 $2 ^ x = y ^ 2-1 =（y-1）（y + 1）$。自因素以来 $（y-1）$和 $（y + 1）$在右侧是整数，其产品是2的功率，都是 $（y-1）$和 $（y + 1）$必须是2.此外，它们的差异是

$（y + 1） - （y-1）= 2，$

暗示了因素必须是 $Y + 1 = 4$和 $Y-1 = 2$。这给了 $Y = 3.$， 因此 $x = 3.$。所以， $（3,3）$是唯一的解决方案。 $_\正方形$

修理多项式

$f（a，b，c）= ab（a ^ 2-b ^ 2）+ bc（b ^ 2-c ^ 2）+ ca（c ^ 2-a ^ 2）。$

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观察，如果 $A = B.$， 然后 $f（a，a，c）= 0$;如果 $B = C.$， 然后 $f（a，b，b）= 0$;而如果 $C = A.$， 然后 $f（c，b，c）= 0$。由这件事剩余因子定理那 $（A-B），（B-C），$和 $（C-A）$是因素的 $f（a，b，c）$。这使我们能够修理

$F（a，b，c）= - （a-b）（b-c）（c-a）（a + b + c）。\ _\正方形$