和和差公式

和和差公式表明

$\begin{aligned} \sin(a+b) &= sin a \cos b + cos a \sin b \\ sin(a-b) &= sin a \cos b - \cos a \sin b \end{aligned}$

这

$\begin{aligned} \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b \\ \cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b$

推导求和公式

$\begin{aligned} \sin(a+b) &= sin a \cos b + cos a \sin b \\ \cos(a+b) &= cos a \cos b - \sin a \sin b$

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通过<一个target="_blank" rel="nofollow" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula">欧拉公式我们知道

$E ^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta。$

如果 $\ = a + b$,然后

$E ^{i(a+b)} = \cos(a+b) + i\sin(a+b)。\ qquad (1)$

我们也从指数的代数性质中知道

$e ^{我(a + b)} = e ^ {ia} e ^ {ib}。$

因此,

$\begin{aligned} e^{ia}e^{ib} &= (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b)\\ &= cos a \cos b + i\sin a \cos b + i\sin b\cos b + i^2\sin a \cos b - sin a \sin b + i(\sin a \cos b + \sin b\cos a)结束{对齐}$

现在,从 $(1）$我们有

$\{对齐}开始e ^{我(a + b)} & = \ cos (a + b) + i \罪(a + b) \ \ & = \因为罪一罪\因为b - \ \ b +我罪罪(\ \因为b + \ b \ cos)。结束\{对齐}$

但自 $\因为$而且 $罪\$是实值函数吗，它一定是真的

$\begin{对齐}\cos(a+b) &= cos a \cos b - \sin a \sin b \ i\sin(a+b) &= i(\sin a \cos b + \sin b \cos a)， \end{对齐}$

这意味着

$\begin{aligned} \cos(a+b) &= cos a\cos b - sin a\ sin b \\ sin(a+b) &= sin a\cos b + sin b \cos a. \ _\ \square \end{aligned}$

在图中，让点 $一个$旋转点 $B$而且 $C,$让角度 $\α$而且 $β\$定义如下:

$角AOB = \alpha，四角BOC = \beta。$

同时,让两个 $CD \眉题{}$而且 $\眉题{FG}$是垂直于 $\眉题{OA},$,让 $E$成为一个点 $CD \眉题{}$这样 $\ lvert \眉题{ED} \ rvert = \ lvert \眉题{FG} \ rvert。$

然后是余弦和的公式 $\ cos(\ \α+β),$这是 $\lvert \overline{OD}\rvert}{\lvert \overline{OC}\rvert}，$可以通过以下方式获取:

$\ start {aligned} \cos (\alpha + \beta) &= frac{\lvert \overline{OD}\rvert} \lvert \overline{OC}\rvert} \rvert} - \ & &= frac{\lvert \overline{OG}\rvert} \rvert} \lvert \overline{OG}\rvert} \rvert} \lvert \frac{\lvert \overline{OF}\rvert} \lvert \overline{EF}\rvert} \rvert} - frac{\lvert \overline{CF}\rvert} \lvert \frac{\lvert \overline{CF}\rvert} \cdot \frac{\lvert \overline{CF}\rvert}{\lvert {EF}\rvert} \rvert {\lvert {overline{CF}\rvert}{\lvert {{CF}\rvert}{\lvert {{EF}\rvert} \lvert {\lvert {overline{CF}\rvert}{\lvert}\rvert}{\lvert {{CF}\rvert}{\lvert {\overline{OC}\rvert} \qquad \left(\text{since}\ lvert \overline{OD}\rvert = \lvert \overline{OG}\rvert-\lvert \overline{EF}\rvert\right)\\ &= \cos \alpha \cdot \cos \beta -\ sin \alpha \cdot \sin \beta。结束\{对齐}$

由余弦和公式替换得到余弦差分公式 $β\$与 $- - - - - - \β,$和使用 $\cos(-\beta) = \cos \beta$而且 $\sin(-\beta) = -\sin \beta:$

$\begin{对齐}cos(\alpha + \beta) &= cos alpha \cdot \cos \beta -\ sin \alpha \cdot \sin \beta \\右\cos(\alpha -\beta) &= cos alpha \cdot \cos(-\beta) \sin \alpha \cdot \sin (-\beta) \\ &= cos alpha \cdot \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta。结束\{对齐}$

综上所述，我们有以下两个余弦和和余弦差公式:

Cosine-sum公式： $\cos(\alpha + \beta)= \cos alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta，$

Cosine-difference公式： $\cos(\alpha - \beta) = \cos alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta。$

是什么 $75 ^ \保监会\因为?$

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从余弦和公式，我们得到

$\{对齐}\因为75年开始^ \保监会& = \ cos(45 ^ \保监会+ 30 ^ \保监会)\ \ & = 45 ^ \ \因为保监会\ cdot \ cos 30 ^ \保监会- \罪45 ^ 30 ^ \ \中国保监会\ cdot \罪保监会\ \ & = \压裂{\ sqrt {2}} {2} \ cdot \压裂{\ sqrt{3}}{2} - \压裂{\ sqrt {2}} {2} \ cdot \压裂{1}{2}\ \ & = \压裂{\ sqrt{6}}{4} - \压裂{\ sqrt{2}}{4} \ \ & = \压裂大概{6}- {\ \ sqrt{2}}{4}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

是什么 $15 ^ \ \因为保监会吗?$

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从余弦差分公式，我们有

$15 ^ \ \开始{对齐}\因为保监会& = \ cos(45 ^ \保监会- 30 ^ \保监会)\ \ & = 45 ^ \保监会\ \因为cdot 30 ^ \保监会+ \ \因为罪45 ^ 30 ^ \ \中国保监会\ cdot \罪保监会\ \ & = \压裂{\ sqrt {2}} {2} \ cdot \压裂{\ sqrt{3}}{2} + \压裂{\ sqrt {2}} {2} \ cdot \压裂{1}{2}\ \ & = \压裂{\ sqrt{6}}{4} + \压裂{\ sqrt{2}}{4} \ \ & = \压裂{\ sqrt {6} + \ sqrt{2}}{4}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

是什么 $105 ^ \保监会\因为?$

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从cosine-sum公式, $\因为105 ^ \保监会$是

$\{对齐}\因为105年开始^ \保监会& = \ cos(60 ^ \保监会+ 45 ^ \保监会)\ \ & = 60 ^ \ \因为保监会\ cdot \ cos 45 ^ \保监会- \罪60 ^ \保监会\ cdot \罪45 ^ \保监会\ \ & = \压裂{1}{2}\ cdot \压裂{\ sqrt{2}}{2} - \压裂{\ sqrt {3}} {2} \ cdot \压裂{\ sqrt{2}}{2} \ \ & = \压裂{\ sqrt{2}}{4} - \压裂{\ sqrt{6}}{4} \ \ & = \压裂大概{2}- {\ \ sqrt{6}}{4}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

简化

$\cos 140^\circ \cdot \cos 50^ circ + \sin 140^ circ \cdot \sin 50^ circ。$

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从余弦差分公式，我们有

$\begin{aligned} \cos 140^ circ \cdot \cos 50^ circ + sin 140^ circ \cdot \sin 50^ circ &= cos(140^ circ-50^ circ) \\ &= cos 90^ circ \circ \ &= 0。\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果 $\sin \alpha = \frac{13}{14}$而且 $\sin \beta = \frac{11}{14}$为 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$而且 $0< \beta < \frac{\pi}{2}，$是什么 $\alpha + \beta ?$

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自 $\sin^{2} x + \cos^{2}x =1，$

${对齐}\ \开始因为\α& = \√6{1 - \罪^{2}\α}= \√6{1 - \压裂{13 ^ 2}{14 ^ 2}}= \压裂{3 \ sqrt{3}}{14}, \ \ \因为\β& = \√6{1 - \罪^{2}\β}= \√6{1 - \压裂{11 ^ 2}{14 ^ 2}}= \压裂{5 \√{3}}{14}。结束\{对齐}$

因此，根据余弦和公式，我们有

$\开始{对齐}\ cos(\ \α+β)& = \ cosα\ \ cdot \ cos \β-β\罪罪\α\ cdot \ \ \ \ & = \压裂{3 \ sqrt{3}}{14} \ * \压裂{5 \√{3}}{14}- \压裂{13}{14}\ * \压裂{11}{14 } \\ &= -\ 压裂{1}{2}。结束\{对齐}$

因此,自 $0< \alpha + \beta < \pi，$我们可以得到 $\ \α+β$如下:

${对齐}\ \开始cos(\α+β\)& = - \压裂{1}{2}\ \ \ Rightarrow \α+β\ & = \压裂{2}{3}\π。\ \ _ \广场结束{对齐}$

切和和差分公式为

$\开始{对齐}\ tan (A + B) & = \ dfrac {\ tan + \ tan B}{1 - \谭谭\ B} \ \ \ \ \ tan (A - B) & = \ dfrac{\谭谭- \ B}{1 + \谭谭\ B}。结束\{对齐}$

推导切和公式。

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我们知道

$\begin{aligned} \sin(a+b) &= sin a \cos b + \cos a \sin b &\qquad (1) \\ cos(a+b) &= cos a \cos b - \sin a \sin b &\qquad (2) end{aligned}$

分 $(1）$通过 $（2）$给了

$\dfrac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = \dfrac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b - \sin a \sin b}。$

把右边除以 $\cos a \cos b$给了

$\tan(a+b) = \dfrac{\dfrac{sin a \cos b}{\cos a \cos b} + \dfrac{cos a \cos b}{\ dfrac{cos a \cos b}{\ dfrac{\cos a \cos b}{\ dfrac{sin a \cos b}{\cos a \cos b}} = \dfrac{\tan a+ \tan b}{1 - \tan a \tan b}，$

也就是求和公式。 $_ \广场$

推导正切差公式。

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我们知道

$\tan(-a) = -\tan a。$

把 $b = - b$在切和公式中，我们得到

${对齐}\ tan \ \开始大(a + (- b) \大)& = \ dfrac {\ tan (a) + \ tan (- b)}{1 -谭\ \ tan (- b)} \ \ \ tan (a - b) & = \ dfrac{\谭谭- \ b}{1 + \谭谭\ b}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

这些恒等式对于求未知角的正切值很有用。

求 $谭\ 75 ^{\保监会}$．

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我们想要打破 $75 ^{\保监会}$两个切线已知的角。最明显的一对是 $(30 ^{\保监会},45岁^{\保监会})$．

用切和公式，我们有

$\{对齐}\ tan 75年开始^{\保监会}= \ tan(30 ^{\保监会}+ 45 ^{\保监会})& = \ dfrac {\ tan 30 ^{\保监会}+ \ tan 45 ^{\保监会}}{1 - 30 \ tan ^{\保监会}\ tan 45 ^{\保监会 }} \\\\ &= \ 压裂{\压裂{1}{\ sqrt{3}} + 1}{1 - \压裂{1}{\ sqrt {3}} \ cdot 1 } \\\\ &= \ 压裂{\压裂{1 + \ sqrt{3}}{\√6 {3 }}}{\ \ \ \ 压裂{\ sqrt{3} - 1}{\√6 {3 }}\ \ \ } \\\\ &= \ 压裂{\ sqrt {3} + 1} {\ sqrt3 - 1}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

证明

$罪\(^ \ 18日保监会)= \ frac14 \大(\ sqrt5-1 \大)。$

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