基本三角函数

三角学来自两根根，三元（或“三角形”）和Metria（或“衡量”）。因此，三角学研究是对三角形测量的研究。我们可以在三角形中测量什么？来到心的第一对象可以是侧面的长度，三角形的角度，或者在三角形中包含的区域。我们第一次探索三角函数通过侧面的长度连接角度的衡量标度。

三角函函数将右三角形中的角度涉及到侧面的比率。鉴于以下三角形：

$\ hspace {4cm}$

定义了基本的三角函数 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$作为

$c \开始{数组}{}& \罪\θ= \压裂{b} {c}, & \ cosθ= \ \压裂{一}{c},谭& \ \θ= \压裂{b}{}。结束\{数组}$

如果我们考虑角度 $\θ$把这些边标记为“关于” $\θ$,然后 $一个$是“相邻”一侧的长度， $b$是“对面”一侧的长度，和 $c$是斜边的长度。然后，基本三角函数可以表示如下：

$\ begin {array} {c}＆\ sin \ theta = \ frac {\ text {对比}} {\ text {hevoteNuse}}，＆\ cos \ theta = \ frac {\ text {adjing} {\ text {斜边}}，＆\ tan \ theta = \ frac {\ text {对比} {\ text {adjention}}。结束\{数组}$

要回顾角度和弧度之间的转换，请参阅<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/degrees-radian/" class="wiki_link" title="程度和弧度" target="_blank">程度和弧度．然而，一个更有用的定义来自<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/unit-circle-basic-concept-for-higher-trigonometry/" class="wiki_link" title="单位圈" target="_blank">单位圈．如果我们考虑一个半径为1单位的圆圈，则以原点为中心，然后是角度 $\θ$当我们伸出垂直时，圆圈内部描述了一个正确的三角形 $x$从与圆的交点开始。

单位圆

请注意，正确的三角形如此描述的斜边等于圆的半径，相邻侧等于 $x$- 这一点 $(x, y),$另一侧等于 $y$-协调。这将自然产生以下精制定义：

$\ begin {array} {c}＆\ sin \ theta = \ frac {y} {\ cos \ theta = \ frac {x} {\ text {radius}}，＆\ tan \theta = \ frac {y} {x}。结束\{数组}$

如上图所示，由于半径是 $1$在单位圈中，这简化了 $x = \ cos \ theta$和 $y = \ sin \ theta$．

这些定义的优点是与上面的三角形定义兼容，并且允许计算与任何实数对应的角度。

这些函数的某些值是很容易记住的。它们是:

$c c \开始{数组}{| | | | c c c | | |} \线\θ& 0 ^ \保监会& \压裂{\π}{6}= 30 ^ \保监会& \压裂{\π}{4}= 45 ^ \保监会& \压裂{\π}{3}= 60 ^ \保监会& \压裂{\π}{2}= 90 ^ \保监会\ \ \线\罪\θ& \压裂{\ sqrt{0}}{2} & \压裂{\ sqrt{1}}{2} & \压裂{\ sqrt{2}}{2} & \压裂{\ sqrt{3}}{2} & \压裂{\ sqrt{4}}{2} \ \ \线\ cosθ& \ \压裂{\ sqrt {4}}{2} & \frac {\sqrt{3}} {2} & \frac {\sqrt{2}} {2} & \frac {\sqrt{1}} {2} & \frac {\sqrt{0}} {2}\\ \hline \tan \theta & 0 & \frac { 1}{\sqrt{3} } & 1 & \sqrt{3} &\infty{} \\ \hline \end{array}$

以这种方式写作它们的原因是帮助记住这些术语。例如，分子用于 $\ sin \ theta$是的平方根吗 $0,1,2,3$要么 $4.$要在单位圆圈中可视化这些值，请参阅<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的特定值" target="_blank">三角函数的特定值．

什么价值 $\θ$满足

$\ begin {array} {c}＆0 \ leq \ theta <2 \ pi＆\ text {and}＆\ cos \ theta = 0？结束\{数组}$

---

解决这类问题的一个好方法是想象上面所示的单位圆图。在这个单位圆图中， $\ cos \ theta$是个 $x$-协调。因此，问题在寻求角度 $\θ$谁的 $x$- 科学等于 $0$，它发生在单位圆圈相交的两个点处 $y$-轴： $\θ= \压裂{\π}{2}$和 $\ theta = \ frac {3 \ pi} {2}$．因为这些角满足给定条件，所以这两个角是 $\θ= \压裂{\π}{2}$和 $\ theta = \ frac {3 \ pi} {2}$． $_\正方形$

如果 $\θ$是一个角度，这样 $cos = 0，$可能的值是什么 $\ sin \ theta$？

---

解决方案1：
我们看到上面， $\ \因为θ= 0$对应于单位圈上的点 $x$- 科学是 $0$．由于这些点发生在交叉点 $y$的可能值 $\ sin \ theta$是可能的 $y$- 这是 $1$和 $-1$． $_\正方形$

解决方案2：
从第一个例子，如果 $\ cos \ theta = 0$和 $0 leq < 2$,然后 $\ theta = \ frac {\ pi} {2}$要么 $\ theta = \ frac {3 \ pi} {2}$．请注意，对于所有其他值 $\θ$我们在这个范围之外，我们有 $\ sin \ theta = \ sin（\ theta \ pm 2 \ pi），$所以我们可以添加或减去倍数 $2 \ PI.$直到 $\θ$在这个范围内。为 $\θ= \压裂{\π}{2}$， 我们有 $sin = 1$而对于 $\ theta = \ frac {3 \ pi} {2}$， 我们有 $\ sin \ theta = -1$．因此，的可能值 $\ sin \ theta$是 $1$和 $-1$． $_\正方形$

如果 $\θ$是一个右三角形的角度，这样 $\ sin \ theta = \ frac {1} {2}，$什么是值 $\ cos \ theta$？

---

自 $\θ$是一个右三角形的角度，一定是这种情况 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$．

从上面的表格中，我们可以看到这个值 $\θ$这样 $\ sinθ(\)= \压裂{1}{2}$是 ${6} = 30^{{circ}。$此外,自 $y$单位圆上各点的-坐标为 $\θ$去了 $0$到 $\ frac {\ pi} {2}$,该值 $\θ= \压裂{\π}{6}$是一个独特的价值，这样 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$和 $\ sin \ theta = \ frac {1} {2}$．然后，我们有 $\ cosθ= \ \因为\压裂{\π}{2}= \压裂{\ sqrt {3}} {2}$． $_\正方形$

在上面的三角函数的特定值表中，为什么没有值 $\ tan \ frac {\ pi} {2}$？发生了什么 $\ tan \ theta$作为 $\θ$越来越接近 $\ frac {\ pi} {2}$？

---

从上面的定义 $\ tan \ theta$， 我们有 $\ tan \ theta = \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} = \ frac {y} {x}$， 在哪里 $（x，y）$是 $x$- 和 $y$- 角度的角度 $\θ$在单位圈。作为 $\θ$走向 $\ frac {\ pi} {2}$， $\ cos \ theta$（这 $x$- 科学）变得越来越小，而且 $\ sin \ theta$（这 $y$- 科学）变得更近且更靠近 $1$．因此，分子器的分子 $谭\ \θ= \压裂{y} {x}$方法 $1$和分母方法 $0$，暗示 $\ tan \ theta$接近无限。 $_\正方形$

要了解其他三角函数，请阅读<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/reciprocal-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="互惠三角函数" target="_blank">互惠三角函数和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/inverse-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="逆三角函数" target="_blank">逆三角函数．

存在一些可记住的基本三角函数的值。它们是:

$c c \开始{数组}{| | | | c c c | | |} \线\θ& 0 ^ \保监会& \压裂{\π}{6}= 30 ^ \保监会& \压裂{\π}{4}= 45 ^ \保监会& \压裂{\π}{3}= 60 ^ \保监会& \压裂{\π}{2}= 90 ^ \保监会\ \ \线\罪\θ& \压裂{\ sqrt{0}}{2} & \压裂{\ sqrt{1}}{2} & \压裂{\ sqrt{2}}{2} & \压裂{\ sqrt{3}}{2} & \压裂{\ sqrt{4}}{2} \ \ \线\ cosθ& \ \压裂{\ sqrt {4}}{2} & \frac {\sqrt{3}} {2} & \frac {\sqrt{2}} {2} & \frac {\sqrt{1}} {2} & \frac {\sqrt{0}} {2}\\ \hline \tan \theta & 0 & \frac { 1}{\sqrt{3} } & 1 & \sqrt{3} & \pm \infty \\ \hline \end{array}$

以这种方式写作它们的原因是帮助记住这些术语。例如，分子用于 $\ sin \ theta$简单地是0,1,2,3,4的平方根。

单位圆圈的可视化

我们还可以在单​​位圆圈中可视化余弦和正弦值：

因为余弦函数对应于 $x$值，余弦函数将是正的 $x$价值观是积极的，并且是消极的 $x$值是负的。类似地，因为正弦函数对应于 $y$值时，正弦函数将为正 $y$价值观是积极的，并且是消极的 $y$值是负的。这使我们在飞机的四个象限中为我们提供了以下行为：

然后通过使用第一象限的几个特定值，我们可以算出所有象限中余弦函数和正弦函数的特定值。这里是所有象限的可视化:

图片礼貌Commons.Wikimedia.org

价值是什么 $\θ$在范围中 $0 leq < 2$这样 $sin = cos$？

---

从上面的单位圈可视化，我们看到了 $\θ= \压裂{\π}{4}$和 $\ theta = \ frac {5 \ pi} {4}$满足

$\ begin {对齐} \ sin \ sew \ left（\ frac {\ pi} {4} \ revent）＆= \ cos \ left（\ frac {\ pi} {4} \ revaly）= \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ \ sin \ left（\ frac {5 \ pi} {4} \ revent）＆= \ cos \ left（\ frac {5 \ pi} {4} \ revent）= - \ frac {\sqrt {2}} {2}。\结束{对齐}$

我们也观察到这条线 $Y = X.$只有这两个值与单位圈子相交 $\θ$，所以价值观 $\θ$满足所需的条件是 $\θ= \压裂{\π}{4}$和 $\theta = frac{5\pi}{4} .\ _\平方$

什么价值 $\θ$在范围中 $0 leq < 2$满足 $\ sin \ theta \ geq \ frac {\ sqrt {2}} {2}$？

---

通过绘制线路 $y = \压裂{\ sqrt {2}} {2},$我们想找到价值观 $\θ$这样的 $y$-角度的值 $\θ$在单位圈子上方谎言（自从 $\ sin \ theta$对应于 $y$- 单位圈的科学）。这持有 $\ theta \ in \ left [\ frac {\ pi} {4}，\ frac {3 \ pi} {4} \右]$，所以这些是值的 $\θ$满意 ${sqrt{2}}{2}。\ _ \广场$

价值是什么 $\θ$在范围中 $0 leq < 2$这样 $\ sin \ theta = - \ cos \ theta$？

---

从上面的单位圈可视化，我们看到了 $\ theta = \ frac {3 \ pi} {4}$和 $7 \ \θ= \压裂{π}{4}$满足

$罪\开始{对齐}\ \离开(\压裂{3 \π}{4}\右)& = - \因为\离开(\压裂{3 \π}{4}\右)= \压裂{\ sqrt{2}}{2} \ \ \罪\离开(\压裂{7 \π}{4}\右)& = - \因为\离开(\压裂{7 \π}{4}\右)= - \压裂{\ sqrt{2}}{2}。\结束{对齐}$

我们也观察到这条线 $y = - x$仅为这两个值与单位圈相交 $\θ$，所以价值观 $\θ$满足所需的条件是 $\ theta = \ frac {3 \ pi} {4}$和 $7 \ \θ= \压裂{π}{4}。\ _ \广场$

为了获得进一步的价值，我们需要使用一些<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/?subtopic=trigonometric-identities&chapter=sum-and-difference-trigonometric-formulas">三角式公式像<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sum-and-difference-formulas/" class="wiki_link" title="总和和差异" target="_blank">总和和差异和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/" class="wiki_link" title="产品总和" target="_blank">产品总和．如果您不熟悉它们，请跳过此部分，以便以后回到它。

让我们看看总和和差异公式的应用。

评价 $\ cos 15 ^ \ circ$．

---

用的差分公式 $\ cos.$， 我们有

$15 ^ \ \开始{对齐}\因为保监会& = \ cos(45 ^ \保监会- 30 ^ \保监会 ) \\ & = \ 因为45 ^ 30 ^ \ \中国保监会\因为保监会+ 45 ^ \保监会\ \罪sin30 ^ \保监会\ \ & = \压裂{\ sqrt{2}}{2} \ * \压裂{\ sqrt{3}}{2} + \压裂{\ sqrt{2}}{2} \ \压裂{1}{2 } \\ & = \ 压裂大概{2}{\ \√{3}+ 1)}{4 } \\ & = \ 压裂{\ sqrt {6} + \ sqrt{2}}{4}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

让我们看看二倍角公式的应用。

评价 $15 ^ \ \罪保监会$．

---

我们知道 $cos 30 ^ circ = 1 - 2 sin^2 15 ^ circ$， 所以 $(2-根号{3}}$．自 $15 ^ \ \罪保监会$是正的，我们取正平方根，得到这个

$\ sin 15 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {2 - \ sqrt {3}}} {2}。\ _ \广场$

有多少整数 $x$是否有这样的人 $0 < x^\circ < 360$和 $2 \ sin ^ 2 x ^ \循环<\ sin x ^ \ cir？$

---

我们有 $2 \ sin ^ 2 x ^ \ cir - \ sin x ^ \ circ = \ sin x ^ \ cir（2 \ sin x ^ \ circ-1）<0$要么 $0 <\ SIN x ^ \循环<\ FRAC12$．

如果我们只考虑第一个象限，那么 $y = \ sin x ^ \ circ$是一个越来越多的功能。所以

$0 = sin0 ^ circ < sin1 ^ circ < sin2 ^ circ < cdots < sin29 ^ circ < sin30 ^ circ = frac12，$

也就是说有29个解。

用同样的方法，第二象限还有29个解。这就得到了 $29 + 29 = 58$解决方案。 $_\正方形$

如果我们知道 $\ Tan 63 ^ \ rciC <2 <\ TAN 64 ^ \ CIC$和 $\ tan 84 ^ \ circ <9 <\ tan 85 ^ \ cir$，有多少整数 $x$是否有这样的人 $0 ^ \循环$和 $2 <\ tan x ^ \ circ <9？$

---

因为 $y = \ tan x$是一个越来越多的功能，

$2 <\ tan 64 ^ \ rcir <\ tan 65 ^ \ circ <\ tan 66 ^ \ cir <\ cdots <\ tan 84 ^ \ cirt <9。$

这给了我们 $84-64 + 1 = 21$整数解决方案 $x$． $_\正方形$

存在某些类型的右三角形，其侧面长度的比率是有用的。这些也被发现<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的特定值" target="_blank">三角函数的特定值．

在右三角形的等腰中，角度是 $45 ^ \保监会$， $45 ^ \保监会$， 和 $90 ^ \ circ$．对于这样的三角形，三角形的两个较短侧的长度相等，斜边是 $\ sqrt {2}$乘以较短边的长度:

我们还可以从定义中看到这种关系 $\ sin \ theta$和 $\ cos \ theta$用的具体值 $\ theta = 45 ^ \ circ$：

$45 ^ \ \开始{对齐}\罪保监会& = \罪\压裂{\π}{4}= \压裂{1}{\ sqrt{2}} = \压裂{\文本{相反}}{\文本{斜边}}\ \ \因为45 ^ \保监会& = \因为\压裂{\π}{4}= \压裂{1}{\ sqrt{2}} = \压裂{\文本{相邻}}{斜边}}{\文本。\结束{对齐}$

在这个正确的三角形中，角度是 $30 ^ \循环，60 ^ \ inc$， 和 $90 ^ \ circ$．

如果对面的一侧 $30 ^ \保监会$角度有长度 $一个$，然后是对面的一边 $60 ^ \ circ$角度有长度 $a \ sqrt {3}$并且斜边有长度 $2A$．我们还可以从定义中看到这一点 $\ sin \ theta$和 $\ cos \ theta$用的具体值 $\ theta = 60 ^ \ circ$：

$\ begin {senugented} \ sin 60 ^ \ cir＆= \ sin \ left（\ frac {\ pi} {3} \ revent）= \ frac {\ sqrt {3}} {2} = \ frac {\ text {对面的}}{\text{hypotenuse}}\\ \cos 60^\circ &= \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)= \frac{1}{2} = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}. \end{aligned}$

考虑下面的直角三角形:

假设我们有两侧长度的三角形：例如，斜边 $c$和相反的一面 $b$．然后我们发现

$罪\ \θ= \压裂{\文本{相反}}{\文本{斜边}}= \压裂{b} {c}。$

从这方面，我们可以确定 $\ \因为θ?$因为这个三角形是直角三角形，我们可以用勾股定理来求边长 $一种，$从这可以找到

$\ cos \ theta = \ frac {\ text {adjing}} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {a} {c}。$

我们使用示例说明了这一点：

在下面的右三角形，两侧长度 $A = 3.$和 $B = 4.$给出。寻找 $\ sin \ theta$和 $\ \因为θ。$

---

自 $\ tan \ theta = \ frac {\ text {相反}} {\ text {相邻}} = \ frac {b} {a}，$我们有 $\ tan \ theta = \ frac {4} {3}。$此外，毕达哥拉斯定理意味着斜边 $c$正确的三角形满足 $C ^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 25$， 要么 $C = 5.$．因此,

$\ begin {对齐} \ sin \ theta＆= \ frac {b} {c} = \ frac {4} {5} \\ \ cos \ theta＆= \ frac {a} {c} = \ frac {a} {5}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

我们将进一步调查Wiki中右三角形的三角函数之间的关系<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-identities/" class="wiki_link" title="毕达哥兰身份" target="_blank">毕达哥兰身份．

现在，假设我们给出了右三角形的锐角之一，以及三角形的一个侧面。我们可以使用三角函数来找到三角形的另一侧面的值吗？

考虑下面的直角三角形:

如果角度 $\θ$等于 $\压裂{\π}{3}$和边长度 $一个$是 $5$，求边长 $b$．

---

我们有

$开始\{对齐}\谭谭\θ= \ \离开(\压裂{\π}{3}\右)= \压裂{b}{一}& = \压裂{b} {5} \ \ \ sqrt{3} & = \压裂{b} {5} \ \ b = 5 \ sqrt{3}。\ \ _ \广场结束{对齐}$