内接圆和外圆

简介

你如何在三角形内画一个圆，同时接触所有的三个边?它实际上并不太复杂。简单地平分三角形的每个角;它们的交点就是圆心!然后用圆规画圆。但你还发现了什么?

1. 这三条角平分线都相交于一点。
2. 这个点到所有三条边的距离相等。

为了证明这些说法并进一步探索，我们建立了一些表示法。

让 $非盟$， $BV$而且 $连续波$是角的平分线。
的内心 $我$是角平分线的交点。

让 $X, Y$而且 $Z$从中心到每条边的垂线。
的内接圆是一个三角形的内切圆。

的内接圆半径 $r$是外圆的半径。

现在我们证明引言中发现的陈述。

在一个三角形 $美国广播公司$，这三个角的平分线在圆心处是并行的 $我$．同样，中心是三角形内切圆的中心。

鉴于 $三角形ABC \,$位置点 $U$在 $公元前\眉题{}$这样 $\眉题{盟}$平分 $\角,$和地点点 $V$在 $\眉题{AC}$这样 $\眉题{BV}$平分 $B \角。$让 $我$做它们的交点。然后发生点 $X$在 $公元前\眉题{}$这样 $第九\眉题{}\补\眉题公元前{},$位置点 $Y$在 $\眉题{AC}$这样 $IY \眉题{}\补\眉题{AC},$和地点点 $Z$在 $\眉题{AB}$这样 $\眉题{工业区}\补\眉题{AB}。$最后,地方点 $W$在 $\眉题{AB}$这样 $\眉题{CW}$通过点 $我。$

$\三角形AIY$而且 $\三角形AIZ$有以下的一致性:

• $\角度AYI \cong \角度AZI$因为它们都是直角。
• $\角度IAY \cong \角度IAZ$因为 $\眉题{AI}$是角平分线。
• $丛\眉题{AI} \ \眉题{AI}$因为同余的自反性。

因此,通过原子吸收光谱法， $\三角形AIY \cong \三角形AIZ。$以类似的方式，它可以被证明 $\三角形BIX \cong \三角形BIZ。$然后，通过CPCTC(全等三角形全等部分全等)和全等的传递性， $\overline{IX} \cong \overline{IY} \cong \overline{IZ}。$

现在 $三角形\商业$而且 $\三角形CIY$有以下的一致性:

• $丛第九\眉题{}\ \眉题IY {},$如前所述。
• $\角CXI \角cong \角CYI$因为它们都是直角。
• $丛\眉题{CI} \ \眉题{CI}$因为同余的自反性。

因此，通过HL(斜边-腿定理)， $\三角形CIX \cong \三角形CIY。$CPCTC, $\角ICX \角cong \角ICY。$因此, $\眉题{CW}$角的平分线是 $C \角,$这三条角平分线相交于一点 $我。$

自 $\overline{IX} \ conline {IY} \cong \overline{IZ}，$有一个圆，圆心在 $我$通过 $X,$ $Y,$而且 $Z。$此外，由于这些线段垂直于三角形的两边，圆在每一点上都与三角形内切。因此，中心位于点 $我。$ $_ \广场$

如果我们扩展三角形的两条边，我们可以得到一个类似的构型。

注意，这些表示法循环使用所有三种方法来扩展两边 $(A1, B2, C3)。$ $I_1$是外心相反 $一个$．它有两个主要属性:

1. 的角平分线 $\角A， \角Z_1BC， \角Y_1CB$都同时在 $I_1$．
2. $I_1$中心是什么外圆这个圆与哪个圆相切 $公元前$延伸到 $AB$而且 $交流$．

$r_1$是外圆的半径。

这些结果的证明与那些有圆的证明非常相似，所以它们留给读者。

这些构型有许多惊人的特性，以下是主要的几个。在这些定理中semi-perimeter $s = \压裂{a + b + c} {2}$，三角形的面积 $XYZ$来标示 $左右\ [XYZ \]$．

基本长度公式:

首先，我们证明了两个与长度有关的相似定理。

$AY = AZ = s-a，\四边形BZ = BX = s-b，\四边形CX = CY = s-c。$

同一点的切线是相等的，所以 $唉=阿兹$(和循环的结果)。接下来就是 $AY + BW + CX = s$,但 $BW = BX$,所以

$\开始{对齐}AY + BX + CX &=s \\ AY + a &=s \\ AY &=s -a， \结束{对齐}$

结果马上就出来了。 $_ \广场$

其他两个结果的论证非常相似，所以留给读者。

$BX_1 = BZ_1 = s-c，\ CY_1 = CX_1 = s-b，\ AY_1 = AZ_1 = s。$

这个定理的证明是非常相似的，留给读者。

面积公式:

这是一个关于面积的美丽定理:

$左右\ [ABC \] = rs = r_1(年代)= r_2 (sb) = r_3 (s-c)$

证明现在留给读者。

这些更高级但有用的属性将被列出供读者证明(作为练习)。

半径的关系:

当处理半径内和半径外的问题时，这是非常有用的。 $（$让 $R$外接圆半径。 $）$

${对齐}\ \开始压裂{1}{r} & = \压裂{1}{r_1} + \压裂{1}{r_2} + \压裂{1}{r_3} \ \ \ \ r_1 + r_2 + r_3 - r & r = 4 \ \ \ \ s ^ 2 & = r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1。结束\{对齐}$

这是我最喜欢的一个:

$\左[ABC\右]= \sqrt{rr_1r_2r_3}。$

计算长度:

$\{对齐}开始AI & = r \ mathrm{余割}\离开({\压裂{1}{2}一}\)\ \ \ \ r & = \√6{\压裂{(年代)(sb) (s-c)}{年代}}\{对齐}结束$