解决三角形

为解决本页面的问题，您应熟悉以下内容:

• 正弦规律
  $\压裂{\罪(a)} = \压裂b{\罪(b)} = \压裂c{\罪(c)}$
• 余弦规律
  $a ^ 2 = ^ 2 + c ^ 2-2bc \ cos (a) \ \ b ^ 2 = ^ 2 + c ^ 2-2ac \ cos (b) \ \ c ^ 2 = ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos (c)$
• 三角形的面积

$\text{Area} = \frac12 bc \sin(A)= \frac12 ac \sin(B) = \frac12 ab \sin(C)$

当我们想要解决一个三角形，这意味着我们要找出所有/一些未知的长度和三角形的角。

一个三角形 $美国广播公司$有一边的长度 $一个= 4$和 $b = 9,$和 $C = cos^{-1} \left(\frac47\right)$．第三条边的长度是多少， $c ?$

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根据余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(c)$．代入所有相关信息，我们有 $c ^ 2 = \压裂{391}7$．自 $c$表示三角形的边长， $c > 0$只有,所以 $C = sqrt{\frac{391}7} \大约7.474$． $_ \广场$

如果一个三角形的面积是20单位的平方它的两条边长分别是7和8，那么这两条边长之间的夹角的正弦值是多少?

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用面积公式， $\text{Area} = = (A)\implies 20 = = (A)\ frac12 \cdot 7 \cdot 8 \sin(A)。$求出角度的正弦值 $\ frac57。\ _ \广场$

锐角三角形的面积是10，三角形的两条边长是6和7。两边夹角的余弦值是多少?

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设两边的夹角为 $一个。$那么三角形的面积是 $10 = fr12乘以6乘以7乘以sin(A)$这给了 $\罪(A) = \压裂{10}{21}。$

通过应用勾股定理， $sin^2(A) + cos^2(A) = 1，$所以 $\ cos (A) = \√6{1 - \离开(\压裂{10}{21}\右)^ 2}= \压裂{\ sqrt{341}}{21}。$ $_ \广场$

注意我们只取正根因为锐角的余弦值是正的。

三角形的面积的数值是 $\压裂{\ sqrt [3] {1234}} 2$．三角形两边的乘积和三角形内角的正弦乘积之间的关系是什么?

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让 $D$表示三角形的面积 $(C) = (C) = (C) = (C) = (C) = (C) = (C) = (C) = (C) = (C)$．然后,

$D ^ 3 = \压裂8 = {1234}\ frac18 (abc) ^ 2 \罪(A)、(B)的罪\罪(C)。$

所以这个关系很简单 ${(abc)^2} = (A) / (B) / (C) / (C) / (C)\ _ \广场$