替代部分定理

的替代部分定理(也称为tangent-chord定理)在任何圆即和弦与a的夹角切通过弦的一个端点等于交替段上的角。

在上面的图表中角相同颜色的颜色相等。为了更容易地发现圆的这个性质，请注意a三角形其中一个顶点位于圆的切线接触点上。在这个维基中，我们将详细学习这个定理，并通过例子的帮助，给出证明和它在几个领域中的应用。

让我们先熟悉交替段定理的定义，然后通过详细的解释来理解它。

替代部分定理

在任何圆中，弦和切线通过弦的一个端点的夹角等于交替段中的角，即前一个角的对边的弦所对应的角。

现在我们通过下面的解释来对这个定理有一个清晰的理解:

更明确地说，考虑上面的圆 $\γ$与中心 $O$，用和弦 $PT$．一个切 $T_1T_2$穿过这个点 $T$．考虑任何点 $X$在 $\γ$站在…的一边 $PT$相反的地方 $T_1$坐落。然后我们有 $PXT PTT_1 = \ \角角度$．例如,如果 $\角PTT_1 = 37 ^ \保监会$然后我们有 $\角PXT = 37 ^ \保监会$．

如果我们随意移动呢 $X$在那一边 $PT$？这个命题仍然成立，因为角度 $\角PXT$由小弧构成 $PT$是恒定的，与位置无关 $X$．

在本节中，我们将通过两种不同的方法证明交替段定理。

考虑上面的图。我们把 $X$截然相反 $T$,所以 $XT$通过 $O$的中心。 $\γ$．让 $PXT = \ \角α$而且 $PTT_1 = \ \角β$．我们要证明这一点 $βα= \ \$．注意，由于直径所对应的角是直角，我们有 $\角公司XPT = 90 ^ \保监会$．因为通过接触点的半径垂直于切线，我们有 $\角XTT_1 = 90 ^ \保监会$．现在是直角 $\三角形PTX$,我们得到 $\alpha = 90^\circ - \角PTX$．从图中我们很容易看出这一点 $\beta = \角XTT_1-\角PTX=90^\circ -\角PTX$．因此 $βα= \ \$． $_ \广场$

注意:当角度为时，还有另一种构型 $X$被主弧线所包围 $PT$(当 $\角PXT$是钝角)。这留给读者作为练习。

这是另一个证据:

自 $\眉题{OA}$而且 $\眉题{OB}$都是圆的半径， $\lvert \overline{OA}\rvert=\lvert \overline{OB} \rvert。$

自 $\三角形AOB$是等腰吗

$\begin{aligned} \角AOB &= 180^\circ -\角OAB -\角OBA\\ &= 180^\circ - 2 \角OAB。& \ qquad结束(1)\{对齐}$

自 $广告\眉题{}$tan是多少

$\begin{aligned} \angle OAD &=90^\circ \\ \Rightarrow x^\circ &=90^\circ - \angle OAB。& \ qquad结束(2)\{对齐}$

然后从 $(1）$而且 $(2),$由此可见, $\角AOB = 2 x ^ \保监会。$

根据内圆三角形的性质，我们知道 $\角AOB = 2\角ACB。$

因此,

$\角ACB = \frac{1}{2} \角AOB = \frac{1}{2} \cdot 2 x^\circ = x^\circ。\ _ \广场$

为了确保你已经掌握了这个定理，通过下面的例子:

在上面的图表中，它被给出 $\角度不好= 45 ^ \保监会。$是什么 $ACB \角吗?$

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根据切线-弦定理，切线和弦在圆上相交的夹角，等于弦对边的圆周角。因此,

$\角ACB = \角BAD = 45^\circ。\ _ \广场$

在上面的图表中找到的值 $\角AOB$,前提是 $BAC \角$是 $50 ^ \保监会$．

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自 $\角AOB = 2\乘以\角BAC，$我们有

$\角AOB = 2 \ * \角BAC = 2 \ * 50^\circ = 100^\circ。\ _ \广场$

在上图中， $\角度坏= 40^\circ$而且 $角BAC = 65^\circ。$是什么 $x ?$

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根据切弦定理，我们有

$\角ACB = \角BAD = 40^\circ。\ qquad (1)$

为 $三角形ABC \,$它的三个内角之和一定等于 $180 ^ \保监会。$因此,从 $(1),$由此可见,

$\begin{aligned} \角ACB + \角BAC + \角ABC &= 180^\角ABC &= 180^\角ACB -\角BAC \角ABC &= 180^\角- 40^\角- 65^\角ABC &= 75^\角。结束\{对齐}$

因此, $x = 75。$ $_ \广场$

现在轮到你来解决以下问题:

为了更深入地理解这个定理，让我们看更多的例子:

在上图中， $公元前\眉题{}$与圆相切 $啊,$接触点在哪里 $B。$如果圆的半径 $O$是10, $α^ \ \中国保监会= 50 ^ \保监会,$弧的长度是多少 $\ widehat {APB} ?$

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自 $公元前\眉题{}$是一条切线， $OBC = 90 ^ \ \角保监会,$暗示 $90 - \ \ OBA角=(α)^ \保监会。$然后自 $OAB \三角形$是等腰三角形， $OAB = \ \角角度OBA =(90 - \α)^ \保监会。$这意味着

$\begin{aligned} \角AOB &= 180^\circ -\角OBA -\角OAB \\ &= 180^\circ - (90-\alpha)^\circ - (90-\alpha)^\circ \\ &= 2\alpha^\circ \\ &= 100^\circ。结束\{对齐}$

因此，弧的长度 $\ widehat {APB},$用 $\ lvert \ widehat {APB} \ rvert,$是

$\begin{aligned} \lvert\widehat{APB}\rvert &= 2\pi \times 10 \times \frac{100^\circ}{360^\circ} \\ &= \frac{50}{9}\pi。\ \ _ \广场结束{对齐}$

的切线 $一个$， $B$绕…的圆周 $三角形ABC \$见面 $T$．线通过 $T$平行于 $交流$满足 $公元前$在 $D$．证明 $广告= CD$．

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参考上图。让我们看看从问题陈述中我们知道了什么。自 $交流\平行TD$与截线 $广告$而且 $公元前$,我们有 $ADT = \ \角角度CAD$而且 $ACD \角BDT = \角度$．也 $助教$而且 $结核病$是同一点的切线吗 $T$,所以 $TA =结核$因此, $选项卡= \ \角角度稍后通知$．因为有切线，我们应该考虑交替段定理，通过它 $= \角ACB \角选项卡$．结合所有这些结果，我们发现

$\角BDT=\角ACD=\角ACB=\角TAB=\角TBA， ~~~~~\角ADT=\角CAD。$

特别是, $角TDB = \ \角选项卡$,所以 $ATBD$是循环的。因此 $稍后通知= \ \角角度ADT$．我们终于有了这个长链

$\角BDT=\角ACD=\角ACB=\角TAB=\角TBA=\角ADT=\角CAD。$

特别是 $ACD = \ \角角度CAD$在 $\三角形ACD$,所以 $广告= CD$． $_ \广场$

• 三角形的外心
• Tangent-Secant
• 正切-对弧