让
φ.=21+5
是黄金比例。让
φ.=φ.-1=21-5
.然后
Fn=5
φ.n-φ.n.
公式(经常被称为Binet的公式)来自一般结果<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="线性复发关系" target="_blank">线性复发关系一个>,但它可以直接通过诱导证明。让
Gn=5
φ.n-φ.n.目标是证明这一点
Fn=Gn通过感应
n.基本情况是
G1=G2=1这是显而易见的。现在假设
Gk=Fk对所有人
k<n, 在哪里
n至少是
3..然后
Fn=Fn-1+Fn-2=Gn-1+Gn-2=5
1(φ.n-1-φ.n-1)+5
1(φ.n-2-φ.n-2)=5
1(φ.n-1+φ.n-2-φ.n-1-φ.n-2)=5
1(φ.n-φ.n)=Gn,(归纳假设)
最后一行是怎么来的
φ.和
φ.是等式的两个根
x2=x+1.
□
注意
n≥1, 期限
5
φ.n很小,当然在
-0.3.和
0.3..所以
Fn是最接近的整数
5
φ.n.
我们有
5
φ.10=55.003.6...,5
φ.11=88.9977...,
所以
F10=55和
F11=89.
因此,连续的斐波那契数的比率应该是大致的
φ.=n→∞林FnFn+1=21+5
.
这可以轻松地使用Binet公式来证明。
我们有
FnFn+1=φ.n-φ.nφ.n+1-φ.n+1=1-φ.nφ.nφ.-φ.nφ.n+1,
和条款
φ.nφ.n+1和
φ.nφ.n方法
0作为
n→∞,因为分子方法
0和分母方法
∞.
因此,极限是
1φ.=φ..
□