毕达哥兰身份

毕达哥拉斯的身份是身份<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/?subtopic=trigonometry">三角函数这是延伸的<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-theorem/" class="wiki_link" title="勾股定理" target="_blank">勾股定理．基本恒等式表示对任何角度 $\ theta，$

$\ cos ^ 2 \ theta + sin ^ 2 \ theta = 1。$

勾股定理在简化三角表达式时很有用，特别是把表达式写成<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/functions/" class="wiki_link" title="函数" target="_blank">函数的 $\罪$或 $\因为$，如在陈述<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/double-angle-identities/" class="wiki_link" title="二倍角公式" target="_blank">二倍角公式．

通过使用<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-theorem/" class="wiki_link" title="勾股定理" target="_blank">勾股定理，声明 $a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2$的定义<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="基本三角函数" target="_blank">基本三角函数那

$a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \意味着\ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ left（\ frac {a} {c} \ oled）^ 2 + \ left（\ FRAC {B} {C} \右）^ 2 = 1 \意味着\ cos ^ 2 \ theta + sin ^ 2 \ theta = 1。$

这为基本三角函数提供了以下重要标识。

毕达哥拉斯的标识:

对于任何角度 $\ theta，$我们有 $\ cos ^ 2 \ theta + sin ^ 2 \ theta = 1。$

如果 $\ sin（30 ^ \ circ）= \ frac {1} {2}，$什么是 $\ cos（30 ^ \ circ）？$

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通过毕达哥兰身份， $\ sin ^ 2（30 ^ \ circ）+ \ cos ^ 2（30 ^ \ circ）= 1，$所以 $\ cos ^ 2（30 ^ \ circ）= 1 - \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4} \ quad \意味着\ quad \ cos ^ 2（30 ^ \ circ）= \ pm \FRAC {\ SQRT {3}} {2}。$然而,由于 $30 ^ \ circ$是一个<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/angles/" class="wiki_link" title="锐角" target="_blank">锐角，我们必须拥有 $\ cos(30 ^ \保监会)= \压裂{\ sqrt{3}}{2}。$ $_\正方形$

从毕达哥兰身份中，我们有以下冠状动脉：

金属石：

两边除以 $\ cos ^ 2 \θ,$我们有以下标识：

$\ frac {\ cos ^ 2 \ theta + sin ^ 2 \ theta} {\ cos ^ 2 \ theta} = \ cos ^ 2 \ theta} \ quad \ text {或} \ quad 1 + +\ tan ^ 2 \ theta = \ sec ^ 2 \ theta。$

同样地，两边除以 $罪\ ^ 2 \θ,$我们有以下标识：

$\ frac {\ cos ^ 2 \ theta + sin ^ 2 \ theta} {\ sin ^ 2 \ theta} = \ frac {1} {\ sin ^ 2 \ theta} \ quad \ text {或} \ quad \ cot^ 2 \ theta + 1 = \ csc ^ 2 \ theta。$

评估 $225 ^ \保监会\罪$确切地。

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单位圈，角度大于 $2 \ PI.$

注意，这个问题简化为寻找值 $y$在上图中。

自 $225 ^ \ circ-180 ^ \ circ = 45 ^ \ cir$那 $\θ.$成角 $45 ^ \ circ$与负 $X$-轴。此外，由于这是一个正确的三角形，因此角度必须是 $90 ^ \循环+ 45 ^ \循环+ 45 ^ \ circ = 180 ^ \ cir$也就是说它是等腰的。因此, $|x |= | y |$．

根据勾股定理，

$\ begin {对齐} x ^ 2 + y ^ 2＆= 1 \\ 2y ^ 2＆= 1 \\ y ^ 2＆= \ frac {1} {2} \\ y＆= \ pm \ frac {\ sqrt{2}} {2}。\结束{对齐}$

通过检查， $y$是消极的，所以 $\ sin 225 ^ \ circ = - \ frac {\ sqrt {2}} {2}$． $_\正方形$

笔记：最值 $\θ.$难以或无法以这种方式评估，因此我们经常使用计算器来评估函数的近似值。

在大多数问题中，为了利用毕达哥拉斯恒等式，最好是将所有三角函数转换成正弦和余弦函数。

如果 $\ tan \ theta = \ frac {1} {3}，$什么是 $罪\压裂{1}{\ ^ 2 \θ}+ \压裂{1}{\ cos ^ 2 \θ}?$

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我们有 $\开始{对齐}\ tan ^ 2θ+ 1 & = \ \ sec ^ 2 \θ= \压裂{1}{\ cos ^ 2 \θ}& \ qquad(1) \ \ \ \ \床^ 2 \θcsc ^ 2 + 1 & = \ \θ= \压裂{1}{\罪^ 2 \θ}。& \ qquad结束(2)\{对齐}$

自 $\ tan \ theta = \ frac {1} {3}，$暗示 $\ cot \ theta = 3，$从 $（1）$和 $（2）$我们有

$\开始{对齐}\压裂{1}{\罪^ 2 \θ}+ \压裂{1}{\ cos ^ 2 \θ}& = \床^ 2 \θ+ 1 + \ tan ^ 2θ+ 1 \ \ \ & ={3}^ 2 + 1 +{\离开(\压裂{1}{3}\右)}^ 2 + 1 \ \ & = \压裂{100}{9}。\ _ \ square \结束{对齐}$

毕达哥拉斯恒等式是非常有用的，因此经常值得对表达式进行平方来利用它们:

如果 $\ sin \ theta + \ cos \ theta = \ frac {1} {2}，$什么是 $\ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta？$

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平衡上述等式的两侧给出

$begin{aligned} (sin + cos)^2 &= left (frac{1}{2})^2 sin^2 + 2 cdot sin^ cdot cos + cos^2 &= frac{1}{4}。\结束{对齐}$

自 $\ sin ^ 2 \ theta + cos ^ 2 \ theta = 1，$由此可见,

$\ begin {对齐} \ sin ^ 2 \ theta + 2 \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta + cos ^ 2 \ theta＆= \ frac {1} {4} \\ 1 + 2 \ cdot \罪\θ.\cdot \cos \theta &= \frac{1}{4} \\ 2 \cdot \sin \theta \cdot \cos \theta &= \frac{1}{4}-1 \\ \Rightarrow \sin\theta \cdot \cos \theta &= -\frac{3}{8}. \ _\square \end{aligned}$

如果 $\ tan \ theta + \ frac {1} {\ tan \ theta} = 8，$在哪里 $0 <\ theta <\ frac {\ pi} {2}，$什么是 $\ sin \ theta + \ cos \ theta？$

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我们有

$\ begin {对齐} \ tan \ theta + \ frac {1} {\ tan \ theta}＆= 8 \\ \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} + \ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}＆= 8 \\ \ frac {\ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta} {\ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta}＆= 8 \\ \ frac {1} {\ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta}＆= 8 \\ \ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta＆= \ frac {1} {8}。\结束{对齐}$

自 $\ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta = \ frac {1} {8}，$因此我们有 ${begin{aligned} (sin + cos)^2 &= 1+2 cdot sin + cdot cos + &= 1+2乘以frac{1}{8}{4}。\结束{对齐}$

自 $\θ.$位于中间 $\左（0，\ frac {\ pi} {2}右），$的价值 $sin + cos$是积极的。因此， $\罪\ THETA + \ COS \ THETA = \ SQRT {\压裂{5} {4}} = \压裂{\ SQRT {5}} {2}。\ _\正方形$

如果方程的两个根 $2x ^ 2 + px-1 = 0$是 $\ sin \ theta$和 $\ \因为θ,$什么是 $p ?$

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从<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/vietas-formula-forming-quadratics/" class="wiki_link" title="Vieta的公式" target="_blank">Vieta的公式， 我们有 $罪\开始{对齐}\ \ \ cosθ+ \θ& = - \压裂{p} {2} & \ qquadθ(1)罪\ \ \ \ \ cdot \ cosθ& = - \ \压裂{1}{2}。& \ qquad结束(2)\{对齐}$

两边平方 $(1)，$我们有

$\ begin {senugented} \ sin ^ 2 \ theta + 2 \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta + cos ^ 2 \ theta＆= \ frac {p ^ 2} {4} \\ 1+ 2 \CDOT \ sin \ theta \ cdot \ cos \ theta＆= \ frac {p ^ 2} {4}。QQuad（3）\结束{对齐}$

替换 $（2）$到 $（3），$我们有

$\ begin {对齐} 1 + 2 \ cdot \ left（ - \ frac {1} {2}右）＆= \ frac {p ^ 2} {4} \\ \ frac {p ^ 2} {4}＆= 0 \\ \ lightarrow p＆= 0. \ _ \ square \ END {对齐}$

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