因素
有关……
- 数论>
一个因素的一个整数 n是一个可以乘以某个整数得到的整数吗 n.那么求整数的因数个数最简单的方法是什么呢?如果整数很小(比如小于100),我们可以尝试直接找到所有的因数,然后计算它们。但是,当我们处理1001这样更大的数字时,这很快就变得单调乏味了。
内容
定义和质因数分解
一个整数 k据说是一个因素(或除数)的整数 N,如果存在整数 n这样 N=kn.
一般来说,除特别注明外,数的除数指正除数。因为负数除数是正除数的负数(反之亦然),我们只考虑正除数。我们也倾向于忽略这些数字为0的可能性。而且,由于 0=0×米,上面的定义告诉我们,每个整数都是的除数 0.
一个适当的因素的数量 N是一个因子的正整数吗 N除了 N或1。不要把它和适当的因子的 N,它是一个因子的任何正整数 N除了 N本身。一个主要因素的数量 N是一个因子的正整数吗 N也是质数。
从定义上看,一个数的因数往往以这种形式成对出现 (k,kN).这是正确的,除了当 N是完全平方,在哪种情况下 k=kN=N .
有多少因素 12有什么?
我们可以写 12作为 1×12,2×6,3.×4.所以这些因素是 1,2,3.,4,6,12,暗示 12有 6的因素。 □
每一个正整数 N>1拥有一个独特的质因数分解给出的 p1问1p2问2...pn问n,在那里 p1,p2,...,pn是不同的质数,和 问1,问2,...,问n是正整数。
100有多少个因数?100的质因数分解是什么?
自 100=1×100=2×50=4×25=5×20=10×10, 100的因数为 1,2,4,5,10,20,25,50,100.因此, 100共有9个因子。注意,100有奇数个因数,这意味着它是一个完全平方数。
One hundred.的质因数是2和5,其中的最高次幂分别是4和25。我们可以写出下面的质因数分解 100=22×52.□
质因数分解是什么 210?
我们首先列出一个因素列表:
210=1×210=2×105=3.×70=5×42=6×3.5=7×3.0=10×21=14×15.
因此这些因素是 1,2,3.,5,6,7,10,14,15,21,3.0,3.5,42,70,105,210,暗示 210有 16的因素。质因数是2 3 5 7,每一个都是210中包含的最高次幂,所以210有质因数分解 210=21×3.1×51×71. □
对于较小的数字,我们可以慢慢地列出所有的因素,如果我们没有犯任何错误,就可以直接数出来。然而,当数字变大时,就很难确保我们实际上找到了所有的因素。如果我们不小心,我们可能会错过1或2个。
许多因素/因子
如果 N=p1问1p2问2...pn问n,然后 N有 d(N)=(问1+1)(问2+1)⋯(问n+1)因数。
这个定理的证明将在本节的最后给出。让我们对照一下之前的例子:
- 12=22×3.有 (2+1)(1+1)=6的因素。
- 100=22×52有 (2+1)(2+1)=9的因素。
- 210=2×3.×5×7有 (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=16的因素。
这个定理在这些例子中是成立的。
这个数有多少约数 2000有什么?
我们有 2000=2453..因此,从上面的讨论,它有 (4+1)(3.+1)=20因数。 □
注:我们可以列出1、2、4、8、16、5、10、20、40、80、25、50、100、200、400、125、250、500、1000、2000。(你能明白为什么我们这样列出除数,而不是按递增顺序吗?)
有多少因素 84000有什么?
通过列出这些因素来解决这个问题是非常困难的。我们可以用质因数分解来解。质因数分解 84000是 2×2×2×2×2×3.×5×5×5×7=25×3.1×53.×71.
每个因子都有其形式 2一个3.b5c7d,在那里 一个∈{0,1,2,3.,4,5},b∈{0,1},c∈{0,1,2,3.}而且 d∈{0,1}.因此, 一个有 6的选择, b有 2的选择, c有 4选择, d有 2选择。
利用乘积法则,我们可以得出结论 84000有 6×2×4×2=96的因素。 □
最小的整数是多少 N它正好有14个因数?
自 14=2⋅7,一个整数正好有14个除数,如果它有这种形式 p13.或 p1⋅p26.第一种情况和第二种情况中最小的数是 213.=8192而且 3.⋅26=192,分别。因此,192是有14个除数的最小整数。 □
让我们在这一节的开始证明这个定理。
我们将使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-factorization/" class="wiki_link" title="质因数分解" target="_blank">质因数分解一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rule-of-product/" class="wiki_link" title="规则的产品" target="_blank">规则的产品一个>帮助我们更有效地计算。
让整 N有质因数分解吗 p1问1p2问2...pn问n,在那里 p1,p2,...,pn是不同的质数,和 问1,问2,...,问n是正整数。让 d的除数 N,那么任意质因数 p,分 d必须分 N,因此它一定是其中之一 p1,p2,...,pn.
不失一般性,集合 p=p我.让最高的力量 p,分 d是 p我r我.然后, p我r我分 d,然后再除以 N,因此 p我r我必须分 p我问我,这意味着 r我≤问我.因此,通过考虑的所有主要因素 d,我们知道它必须有形式 d=p1r1p2r2...pnrn,在哪里 0≤r我≤问我对所有 我.
相反,给定一个数字 d有这样的形式 d=p1r1p2r2...pnrn,在哪里 0≤r我≤问我对所有 我,很明显 d是的除数 N.这样,我们就有了所有除数的完整分类。
这个数有多少约数 N有什么?从上面的分类,我们可以建立一个直接的双射之间 d=p1r1p2r2...pnrn和组 n整数 (r1,r2,...,rn)满足 0≤r我≤问我.为每一个 r我,有 问我−0+1=问我+1的可能性。因此,根据乘积法则,会有 (问1+1)(问2+1)...(问n+1)因数。整数的除数 N通常表示为 τ(N)或 σ0(N),即除数函数. □
因素的总和
给定一个数字 N,它所有因子的和是多少?
正常的方法
我们首先从小的例子开始,我们可以列出一个数字的所有因子,并把它们加起来。
的因数的和 3.6.
自 3.6=22×3.2我们知道它是 (2+1)(2+1)=9的因素。接下来,找到这些因素:它们是 1,2,3.,4,6,9,12,18,3.6.现在添加: 1+2+3.+4+6+9+12+18+3.6,得到的答案是 91.□
求50的因数和。
自 50=2×52我们知道它是 (1+1)(2+1)=6的因素。接下来,找到这些因素:它们是 1,2,5,10,25,50.现在添加: 1+2+5+10+25+50,得到的答案是 93..□
同样,对于小的数字,我们可以慢慢地列出所有的因子,并确定我们得到了所有的因子。然而,对于更大的数字,寻找因子可能会变得繁琐。
许多理论方法
如果 N=p1问1p2问2...pn问n的因子和 N是
p1−1p1问1+1−1×p2−1p2问2+1−1×⋯×pn−1pn问n+1−1.
这个定理的证明将在本节的最后给出。让我们对照一下之前的例子:
- 3.6=22×3.2,其因子之和为 2−123.−1×3.−13.3.−1=17×226=91.
- 50=2×52,其因子之和为 2−122−1×53.−15−1=13.×4124=93..
这个定理在这些例子中是成立的。
的因数和是多少 1000?
我们从质因数分解开始,它等于 23.×53..
1000所有因数的和是 2−124−1×5−154−1=23.40.
让我们对照一下常规方法。1000的因子如下:
1=20×505=20×5125=20×52125=20×53.2=21×5010=21×5150=21×52250=21×53.4=22×5020=22×51100=22×52500=22×53.8=23.×5040=23.×51200=23.×521000=23.×53..
这些项的和是
(20+21+22+23.)(50+51+52+53.)=15×156=23.40.□
假设一个正数的质因数分解 K是
K=22×3.2×一个2.
如果所有因子的和 K是 12103.,是什么 一个?
由上面的公式,所有因数的总和 K=22×3.2×一个2是
(2−1)(3.−1)(一个−1)(23.−1)(3.3.−1)(一个3.−1)=1×2×(一个−1)7×26×(一个3.−1)=一个−191(一个−1)(一个2+一个+1)=91(一个2+一个+1).
将这等同于 12103.给了
91(一个2+一个+1)一个2+一个+1(一个+12)(一个−11)一个=12103.=13.3.=0=11.□(自一个>0)
现在我们来证明这个定理。
在前面关于除数的证明中,我们能够对所有的除数进行分类。特别是,如果 N=p1问1p2问2...pn问n,则数的除数有形式
p1r1p2r2...pnrn,在哪里0≤r我≤问我.
1000个因数和的解提示我们如何进行因式分解。对于每一个 (r2,r3.,...rn)的所有可能值的和 r1,我们将得到
(p10+p11+p12+⋯+p1问1)×p2问2×⋯×pn问n.
括号里的项是a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-progressions/" class="wiki_link" title="几何级数" target="_blank">几何级数一个>,其和为 p1−1p1问1+1−1.这就是公式中这一项的来源。
我们重复这个过程,把所有可能的值加起来 r2,然后 r3.等等等等。
因此,所有这些因素的总和将是
p1−1p1问1+1−1×p2−1p2问2+1−1×⋯×pn−1pn问n+1−1.□
产品的因素
给定一个数字 N,它所有因子的乘积是什么?
正常的方法
我们首先从小的例子开始,我们可以列出一个数字的所有因子,并将它们相乘。
15的因式积是多少?
我们看到15的因数是1 3 5和15。它们相乘得到225。 □
求12的因数的乘积。
12的因数是1、2、3、4、6和12。每个因子的质因数分解得到
12643.21=22×3.1=21×3.1=22×3.0=20×3.1=21×3.0=20×3.0.
现在观察到 20,21,而且 22每一个出现过两次。 3.0而且 3.1每个都出现了三次。因此,这些因素以对称的方式分布。因此把所有的因数相乘就得到了
(20×21×22)2×(3.0×3.1)3.=22×(0+1+2)×3.3.×(0+1)=1728.□
同样,对于较小的数字,我们可以慢慢地列出所有的因子。然而,对于更大的数字,查找因子会变得很乏味,而将它们相乘可能会导致很多错误。
许多理论方法
假设我们有一个整数 N=p1问1p2问2...pn问n.它有 d(N)的因素。那么,它的因子的乘积是
N2d(N).
这个定理的证明将在本节的最后给出。让我们对照一下之前的例子:
求7056所有因数的乘积。
我们有 7056=24×3.2×72,这意味着因子的数量 7056已经是
N=(4+1)×(2+1)×(2+1)=45.
因此所有因子的乘积是
7056245=(24×3.2×72)245=290×3.45×745.□
考虑一个整数 n它有6个因数。如果所有因数的乘积是8000,是多少 n?
用上面的公式,我们有
n26=n3.=8000⟹n=20.□
现在我们来证明这个定理。
让我们表示 d(n)等于正除数的个数 n有。我们要找到所有正约数的乘积的闭合形式 n.
如前所述,注意对于任何除数 k的 n,我们有 k×kn=n,所以 kn也是的除数 n.
我们把这些都列出来。
取这对数的乘积,LHS会得到积方。RHS给我们的 nd(n).因此,除数的乘积为 nd(n)/2. □
额外的问题
显示一个整数 N当且仅当它是完全平方时,其除数为奇数。
自 ϕ(N)=(问1+1)(问2+1)⋯(问n+1)这个乘积是奇数当且仅当每一项都是奇数,当且仅当每一个值 问我是偶数,当且仅当 N是一个完全平方。 □
正数的质因数分解 米是 米=一个2×b2,所有因子的和 米是 403..然后是什么 一个+b?
由上面的公式,所有因数的总和 米=一个2×b2是
(一个−1)(b−1)(一个3.−1)(b3.−1)=(一个2+一个+1)(b2+b+1)=403.=13.×3.1.
在不丧失一般性的情况下,让 一个2+一个+1=13.,然后 一个2+一个−12=(一个+4)(一个−3.)=0意味着 一个=3..然后让 b2+b+1=3.1,我们有 (b+6)(b−5)=0,这意味着 b=5.因此, 一个+b=8. □
最小的整数是多少 N它正好有14个因数?
自 14=2⋅7,一个整数正好有14个除数,如果它有这种形式 p13.或 p1⋅p26.第一种情况和第二种情况中最小的数是 213.=8192而且 3.⋅26=192,分别。因此,192是有14个除数的最小整数。 □
- 最小的整数是多少 N它正好有10个因数?
- 最小的整数是多少 N它正好有9个除数?
- 哪个小于100的整数有最多的因数?
- 1234的因数和是多少?
更多的例子
的性质:
(1)如果 b∣c而且 c∣一个,然后 b∣一个:也就是说,可除性是可传递的。
(2)如果 b∣一个而且 b∣c,然后 b∣(一个±c):也就是说,一个整数的倍数的集合在加法和减法运算下是封闭的。
通过反复使用这个属性,我们得到了以下结果 b∣一个而且 b∣c,然后 b∣(一个u+cv)对于任何一个整数 u而且 v.一般来说,如果 一个1,一个2,...,一个n的倍数 b,然后
b∣(一个1+一个2+⋯+一个n).
(3.)如果 b∣一个,然后 一个=0或 ∣一个∣≥∣b∣.因此,如果 b∣一个而且 一个∣b,然后 ∣一个∣=∣b∣.
显然,对于任意两个整数 一个而且 b, 一个不总是能被整除的 b.但是我们得到了下面的结果,我们称之为除法算法。这是初等数论中最重要的结果。
(4)分裂算法
让 一个而且 b是整数, b>0.然后是一对唯一的整数 问而且 r,这样
一个=b问+r而且0≤r<b.
整数 问称为(incomplete)商当 一个除以 b, r被称为剩余部分.的值 r有 b种可能性: 0,1,⋯,b−1.如果 r=0,然后 一个是整除 b.
很容易看出商 问在除法算法中其实是 ⌊b一个⌋ (不超过的最大整数 b一个),除法算法的核心是关于余数的不等式 r: 0≤r<b.我们稍后将回到这一点。
证明的基本方法 b∣一个是因式分解 一个转化为 b和另一个整数。通常,在一些基本问题中,这种分解可以通过取代数分解方程中的某个特殊值来得到。下面的两个因子分解公式在证明这类问题时非常有用。
(5)如果 n是正整数吗
xn−yn=(x−y)(xn−1+xn−2y+⋯+xyn−2+yn−1).
(6)如果 n是正奇数吗
xn+yn=(x+y)(xn−1−xn−2y+⋯−xyn−2+yn−1).
例子:
证明 1200 0...01是整除 1001.
通过 (6),我们有
1200 0...01=10201+1=(103.)67+1=(103.+1)[(103.)66−(103.)65+⋯−103.+1]=1001[(103.)66−(103.)65+⋯−103.+1].
因此, 1001分 1200 0...01. □
让 一个而且 b是这样的整数 一个>b≥0.表明,
(22b+1)∣(22一个−1).
取 x=22b+1而且 y=1在 (5),替代 n通过 2一个−b−1.然后我们有
22一个−1=(22b+1−1)[(22b+1)2一个−b−1−1+⋯+22b+1+1].
因此,
(22b+1−1)∣(22一个−1).
自
22b+1−1=(22b−1)(22b+1),
由此可见,
(22b+1)∣(22b+1−1).
通过 (1),我们有
(22b+1)∣(22一个−1),
做完了。 □
对于正整数 n,让 年代(n)的数字的和 n.
表明, 9∣n当且仅当 9∣年代(n).
写 n=一个k×10k+⋯+一个1×10+一个0 (在哪里 0≤一个我≤9而且 一个k=0),然后 年代(n)=一个0+一个1+⋯+一个k.我们有
n−年代(n)=一个k(10k−1)+⋯+一个1(10−1).(1)
为 1≤我≤k,从 (5)我们得到了 9∣(10我−1).所以每一个 k的RHS条款 (1)是的倍数 9,所以 (2)意味着它们的和也是的倍数 9,也就是说, 9∣(n−年代(n)).因此,可以很容易地得到结果。 □
让 k≥1必须是奇数。证明对于任何正整数 n, 1k+2k+⋯+nk不能被 n+2.
当 n=1,这种说法显然是正确的。为 n≥2,表示和用 一个.然后
2一个=2+(2k+nk)+(3.k+(n−1)k)+⋯+(nk+2k).
自 k是正奇数,从 (6)我们知道对于每一个 我≥2, 我k+(n+2−我)k是整除
我+(n+2−我)=n+2.
因此, 2一个有剩余 2当除以 n+2,这意味着 一个不能被 n+2 (请注意, n+2>2). □
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