假设我们已知几个连续的整数点,在这些点上求一个多项式的值。这告诉了我们关于多项式的什么信息?为了回答这个问题,我们创建了下面的表,称为GydF4y2Ba差异表GydF4y2Ba:GydF4y2Ba
NGydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba⋮GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2BaD.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2BaD.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2BaD.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba......GydF4y2Ba
- 在第一列中,我们填写了评估多项式的点(我将假设的是GydF4y2Ba
1GydF4y2Ba那GydF4y2Ba2GydF4y2Ba那GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba......GydF4y2Ba).GydF4y2Ba
- 在第二列中,我们在这些点填写多项式的相应值。GydF4y2Ba
- 在第三列中,我们计算前一列中两个元素之间的差。这被称为GydF4y2Ba第一区别GydF4y2Ba并给出GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba+GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2Ba-GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba.GydF4y2Ba
- 在第四列中,我们计算前一列中两个元素之间的差。这被称为GydF4y2Ba第二个区别GydF4y2Ba并给出GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaD.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba+GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2Ba-GydF4y2BaD.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba.GydF4y2Ba
我们以这种方式继续构建随后的桌子列GydF4y2Ba
D.GydF4y2BaK.GydF4y2Ba+GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaD.GydF4y2BaK.GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba+GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2Ba-GydF4y2BaD.GydF4y2BaK.GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba.GydF4y2Ba
例如,如果我们已知GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba是一种二次多项式令人满意的GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba那GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2Ba2GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba那GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba那GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba7.GydF4y2Ba那GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2Ba5.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2Ba那GydF4y2Ba
则差值表如下:GydF4y2Ba
NGydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba5.GydF4y2Ba⋮GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba7.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2BaD.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba-GydF4y2Ba1GydF4y2Ba1GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba5.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba2GydF4y2Ba2GydF4y2Ba2GydF4y2BaD.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba......GydF4y2Ba
请注意,因为我们没有GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2Ba6.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba,我们无法计算GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2Ba5.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba那GydF4y2BaD.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba那GydF4y2BaD.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba(GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba或者GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba(GydF4y2Ba2GydF4y2Ba)GydF4y2Ba.现在,没有(又一)这张表将结束的任何原因;如果我们被提供多种值,我们可以始终计算术语的差异。但是,这是一个有趣的事实。GydF4y2Ba
如果一个多项式GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2BaXGydF4y2Ba)GydF4y2Ba有学位GydF4y2Ba
K.GydF4y2Ba,那么GydF4y2Ba
K.GydF4y2BaTH.GydF4y2Ba差异是恒定的。GydF4y2Ba
此外,GydF4y2Ba
K.GydF4y2BaTH.GydF4y2Ba差异等于GydF4y2Ba
K.GydF4y2Ba!!GydF4y2Ba倍的主要系数GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2BaXGydF4y2Ba)GydF4y2Ba.GydF4y2Ba□GydF4y2Ba
看GydF4y2Ba证明GydF4y2Ba在下面。GydF4y2Ba
在上面的例子中,我们可以看到GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaD.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2Ba2GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaD.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba2GydF4y2Ba.自从GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2BaXGydF4y2Ba)GydF4y2Ba是一种二次多项式,上面的事实告诉我们GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba2GydF4y2Ba对所有GydF4y2Ba
NGydF4y2Ba,这允许我们填写表格中的其他条目。我们得到那个GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba2GydF4y2Ba所以GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2Ba5.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba7.GydF4y2Ba因此GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2Ba6.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba9.GydF4y2Ba.这些值之前我们是不知道的,但是差分表允许我们在不知道多项式的情况下计算它们GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2BaXGydF4y2Ba)GydF4y2Ba!!GydF4y2Ba
我们可以继续下面的差值表:GydF4y2Ba
NGydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba5.GydF4y2Ba6.GydF4y2Ba⋮GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba7.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2Ba1GydF4y2Ba9.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba-GydF4y2Ba1GydF4y2Ba1GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba5.GydF4y2Ba7.GydF4y2Ba9.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba2GydF4y2Ba2GydF4y2Ba2GydF4y2Ba2GydF4y2Ba2GydF4y2Ba2GydF4y2BaD.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba......GydF4y2Ba
如果GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2BaXGydF4y2Ba)GydF4y2Ba是满足的二次多项式GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba那GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2Ba2GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba9.GydF4y2Ba那GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba9.GydF4y2Ba, 什么是GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba?GydF4y2Ba
我们使用初始数据构建差异表,获取GydF4y2Ba
NGydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba4.GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba9.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba9.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba6.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba0.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba
从上面的定理,我们知道GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba是常数,因此等于4。这使得我们可以完成如下表格:GydF4y2Ba
NGydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba4.GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba9.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba9.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba3.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba6.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba8.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba
因此,GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba.GydF4y2Ba
□GydF4y2Ba
如果GydF4y2Ba
GGydF4y2Ba(GydF4y2BaXGydF4y2Ba)GydF4y2Ba一个三次多项式满足吗GydF4y2Ba
GGydF4y2Ba(GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba那GydF4y2BaGGydF4y2Ba(GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba那GydF4y2BaGGydF4y2Ba(GydF4y2Ba2GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba2GydF4y2Ba那GydF4y2BaGGydF4y2Ba(GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba那GydF4y2Ba什么是GydF4y2Ba
GGydF4y2Ba(GydF4y2Ba5.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba?GydF4y2Ba
我们使用初始数据构建差异表。请注意,我们从中开始的数字并不重要,只要差异为1即可。GydF4y2Ba
NGydF4y2Ba0.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2Ba3.GydF4y2BaGGydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba1GydF4y2BaD.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba-GydF4y2Ba1GydF4y2Ba-GydF4y2Ba1GydF4y2BaD.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba-GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba0.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba
从上面,我们知道GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba是常数,因此它等于4。这样我们就可以完成下面的表格。注意,我们要计算GydF4y2Ba
GGydF4y2Ba(GydF4y2Ba5.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba因此需要扩展更多的行。GydF4y2Ba
NGydF4y2Ba0.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba5.GydF4y2BaGGydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba1GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba5.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba-GydF4y2Ba1GydF4y2Ba-GydF4y2Ba1GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2Ba3.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba-GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba8.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2Ba1GydF4y2Ba6.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba4.GydF4y2Ba
因此,GydF4y2Ba
GGydF4y2Ba(GydF4y2Ba5.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba5.GydF4y2Ba.GydF4y2Ba
□GydF4y2Ba
为函数构造差值表GydF4y2Ba
FGydF4y2BaK.GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba-GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2Ba×GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba-GydF4y2Ba2GydF4y2Ba)GydF4y2Ba×GydF4y2Ba⋯GydF4y2Ba×GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba-GydF4y2BaK.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba为GydF4y2Ba
NGydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba到GydF4y2Ba
K.GydF4y2Ba+GydF4y2Ba1GydF4y2Ba.注意GydF4y2Ba
FGydF4y2BaK.GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba是一种程度的多项式GydF4y2Ba
K.GydF4y2Ba.GydF4y2Ba
这是一个特别选择的功能。我们很容易看到GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba{GydF4y2Ba0.GydF4y2BaK.GydF4y2Ba!!GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba到GydF4y2BaK.GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba=GydF4y2BaK.GydF4y2Ba+GydF4y2Ba1GydF4y2Ba.GydF4y2Ba
这允许我们轻松计算第一差异列GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba{GydF4y2Ba0.GydF4y2BaK.GydF4y2Ba!!GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba到GydF4y2BaK.GydF4y2Ba-GydF4y2Ba1GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba=GydF4y2BaK.GydF4y2Ba.GydF4y2Ba
同样的,对GydF4y2Ba
jGydF4y2BaTH.GydF4y2Ba差异列,我们有GydF4y2Ba
D.GydF4y2BajGydF4y2Ba(GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba{GydF4y2Ba0.GydF4y2BaK.GydF4y2Ba!!GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba到GydF4y2BaK.GydF4y2Ba-GydF4y2BajGydF4y2Ba一世GydF4y2Ba=GydF4y2BaK.GydF4y2Ba-GydF4y2BajGydF4y2Ba+GydF4y2Ba1GydF4y2Ba.GydF4y2Ba
综上所述,差异表为GydF4y2Ba
NGydF4y2Ba1GydF4y2Ba2GydF4y2Ba3.GydF4y2Ba⋮GydF4y2BaK.GydF4y2BaK.GydF4y2Ba+GydF4y2Ba1GydF4y2BaFGydF4y2BaK.GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2BaK.GydF4y2Ba!!GydF4y2BaD.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2BaK.GydF4y2Ba!!GydF4y2BaD.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba......GydF4y2Ba......GydF4y2Ba......GydF4y2Ba......GydF4y2BaD.GydF4y2BaK.GydF4y2Ba-GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2Ba0.GydF4y2BaK.GydF4y2Ba!!GydF4y2BaD.GydF4y2BaK.GydF4y2Ba(GydF4y2BaNGydF4y2Ba)GydF4y2BaK.GydF4y2Ba!!GydF4y2Ba□GydF4y2Ba