几何概率

几何概率是一种处理无穷结果问题的工具，通过用长度、面积或体积来测量结果的几何数量。在基本概率中，我们通常会遇到“离散的”问题(例如，掷骰子的结果;看到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/uniform-probability/" class="wiki_link" title="结果概率" target="_blank">结果概率更多信息)。然而，一些最有趣的问题涉及“连续的”变量(例如，公交车的到达时间)。

处理连续变量可能很棘手，但几何概率提供了一个有用的方法，它允许我们将概率问题转化为几何问题。如果这听起来令人惊讶，看看下面的问题:

你乘坐的公共汽车在下午12点到1点之间的任意时间来。如果你在下午12:30出现，你有多大可能赶上公交车?

直觉上，答案似乎是<年代p一个n class="katex"> $\压裂{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ ．我们可以通过考虑一维数轴上随机选择的一个点来用几何表示:在下午12:30到1点之间的数轴的长度等于12点到12:30的长度。

虽然这个例子相当简单，但许多复杂的问题可以通过使用几何概率简单地解决。在这一页中，我们将从最简单、最容易理解的一维示例开始，然后逐步扩展到2D、3D和更高维度。

介绍

其中一个主要观点是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/uniform-probability/" class="wiki_link" title="概率" target="_blank">概率是计算等可能的“期望”结果的数量，然后除以等可能的总结果的数量:

$P(X) = {frac{\mbox{desired outcomes}}{\mbox{total outcomes}}。$

然而，当变量为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-random-variables-definition/" class="wiki_link" title="连续的" target="_blank">连续的，就不可能按照传统意义“计算”结果。例如,如果<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 是0到1之间的一个随机实数吗<年代p一个n class="katex"> $0.2$ $0 ． 2$ 或<年代p一个n class="katex"> $0.53$ $0 ． 5 3.$ 或<年代p一个n class="katex"> $0.434662565465465$ $0 ． 4 3. 4662565465465$ 甚至是一些不合理的东西<年代p一个n class="katex"> $\压裂{\π}{4}。$ $\frac{π}{4} ．$ 很明显，如果按传统意义计算，结果是无限的。

维几何概率

我们再来看看这种情况<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 是一个随机实数，如引言部分所述。

$X$ 是0到3之间的一个随机实数。概率是多少<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 比1更接近0吗?

因为值有无限多种可能的结果<年代p一个n class="katex"> $X,$ $X ，$ 我们将等可能的结果作为数轴上从0到3的随机点。这很容易看出来<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 如果<年代p一个n class="katex"> $X < 0.5。$ $X < 0 ． 5 ．$

概率线

现在，我们可以使用可能结果的度量（长度，在1D的情况下）并应用通常的概率公式。在这里

$P(X\text{is closer 0 than 1}) = \frac{\mbox{length of segment where}0$

重申一下，一维(1D)几何概率的核心思想是将概率问题转化为数轴上的几何问题，在数轴上我们用它来衡量结果长度．为了确保你已经理解了这个概念，尝试一下与舍入错误相关的问题:

之所以这样做，是因为这是一个更高级的话题，涉及到<年代trong>测度理论．测度理论为概率论提供了一个严格的框架，包括有限集上的概率。测度理论也是微积分中积分背后的关键思想，可以用“标准”方法来寻找不可积函数的积分。这两个概念并非毫无关联，因为在基本层面上，概率论只是积分的一个特例。

我们将做更多的例子，在高维中处理几何概率，以更好地理解如何处理这个概念。使用图形来帮助理解和解决这类问题通常是有帮助的。

二维几何概率

许多概率问题包含不止一个变量，因此一维几何概率是不够的。对于带有两个变量的问题，将它们转换成二维几何概率问题通常是有帮助的，其中的结果由<年代trong>区域：

$P（X）=\dfrac{\text{期望结果区域}{\text{总结果区域}}。$

当问题是二维几何问题时，这是最容易理解的:

飞镖被扔向圆形的圆靶，这样它就会随机地落在圆靶上。它落在更靠近中心而不是边缘的概率是多少?

结果集合是飞镖靶上的所有点，它们组成了一个区域<年代p一个n class="katex"> $\πr ^ 2$ $π r^{2}$ 哪里<年代p一个n class="katex"> $r$ $r$ 为圆的半径。离圆心更近的点比离边缘更近的点是那些位于半径圆内的点<年代p一个n class="katex"> $r \压裂{}{2}$ $\frac{r}{2}$ 围绕中心，所以“成功”结果的区域是<年代p一个n class="katex"> $\pi\left（\frac{r}{2}\right）^2=\frac{\pi r^2}{4}。$ $π （ \frac{r}{2} ）^{2} ＝ \frac{π r ^{2}}{4} ．$

因此,

$P（\text{比边更靠近中心}）=\dfrac{\text{期望结果的面积}{\text{总结果的面积}}=\frac{\frac{\pir^2}{4}{\pir^2}=\frac{1}{4}=25%.\$

方格<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ 边长为30。轧制标准的20面模具，并使用方形模具<年代p一个n class="katex"> $T$ $T$ 内部构造<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ 边长等于卷筒长度。然后，一个飞镖被扔出来，随机地落在正方形内的某个地方<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ ．飞镖也落在正方形内的概率是多少<年代p一个n class="katex"> $T ?$ $T ？$

假设模辊<年代p一个n class="katex"> $我$ $我$ ．然后是飞镖落在方格内的概率<年代p一个n class="katex"> $T$ $T$ 是面积的平方比吗<年代p一个n class="katex"> $T$ $T$ 等于正方形的面积<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ ．这是<年代p一个n class="katex"> $\分形{i^2}{900}$ $\frac{我 ^{2}}{9 0 0}$ ．为每一个<年代p一个n class="katex"> $我$ $我$ 也就是掷骰子的概率<年代p一个n class="katex"> $我$ $我$ 是<年代p一个n class="katex"> $\压裂{1}{20},$ $\frac{1}{2 0} ，$ 所以飞镖落在里面的概率<年代p一个n class="katex"> $T$ $T$ 将

$\ \和limits_ {i = 1} ^{20} \压裂{1}{20}\ cdot \压裂{i ^ 2}{900} = \压裂{1}{20}\ cdot \压裂{20 \ * 21 \ * 41}{900 \ * 6}= \压裂{287}{1800}。\ _ \广场$

与几何概率相关的困难通常来自两个方面中的一个：第一个是找到一种很好的方法对问题进行几何建模，第二个是试图确定特定区域的面积/体积，以便计算相对概率。在有限概率中，有时求补码的概率更简单。

为了确保你已经掌握了二维几何概率的基本概念，试一下这个类似的问题。请注意，许多二维几何问题，例如下面这个问题，都使用了合成图形的概念。如果你不熟悉这个概念，你可能会想要看看<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/composite-figures/" class="wiki_link" title="综合数据" target="_blank">综合数据第一。

然而，几何概率最强大的用途之一是将它应用到本质上不是几何的问题上。确定何时以及如何使用几何概率并不明显，但一个好的迹象是，您正在处理具有连续变量的情况下的概率。让我们看一看这个wiki开头提到的总线问题的修改示例。

在下午12点到1点之间，你和公交车都是随机到站的。当公共汽车到达时，它要等5分钟才离开。当你到达的时候，如果公共汽车没有来，你要等20分钟才能离开。你赶上公共汽车的概率是多少?

这里有两个连续变量<年代p一个n class="katex"> $b,$ $b ，$ 12点过几分钟，巴士就到了<年代p一个n class="katex"> $y,$ $y ，$ 你到达的时间是晚上12点多几分钟。因为有两个独立变量，我们将把它转换成一个二维几何问题。具体来说，我们可以把所有结果的集合想象成一个正方形中的点:<年代p一个n class="image-caption center">然后，我们需要确定“成功”的区域;也就是我们乘公共汽车的地方。由于公交车要等5分钟，你需要在公交车到达后5分钟内到达，或者<年代p一个n class="katex"> $y \ b + 5:$ $y \leq b + 5 ：$

但是，你只等了20分钟，所以你不能比公交车早20分钟到达，所以<年代p一个n class="katex"> $y\ge b-20：$ $y \geq b - 20 ：$ 结合我们的两个条件，我们的成功区域如下所示:<年代p一个n class="image-caption center">现在，我们只需要找到这个成功区域的面积。一种简单的方法是找出不成功区域的面积，然后从总面积中减去:<年代p一个n class="image-caption center">因此，赶上公共汽车的概率是

$P(\text{catching the bus}) = \frac{text{area of desired outcomes}}{\text{area of total outcomes}} = \frac{60^2 -\frac{55^2}{2}-\frac{40^2}{2}}{60^2} = \frac{103}{288}大约36\%。\ _ \广场$

既然我们已经把这个问题变成了一个几何问题，我们就可以很容易地回答关于这种情况的其他问题了，如:

公共汽车不等你的概率是多少?
2）如果你能赶上公交车，那么等待时间少于10分钟的概率是多少?
3.．）如果你没能上公交车，那么公交车在你之前来过又走了的概率是多少?

为了实践这些想法，让我们尝试一个类似的问题:

三维几何概率

在这一点上，你大概可以猜到它的走向!三维几何概率是当我们处理三个连续变量时，我们测量体积各项成果的说明；就是，

$P(X) = \dfrac{\text{期望结果的体积}}{\text{总结果的体积}}。$

首先，让我们看一个例子，它类似于我们在2D几何概率部分中解决的第一个问题。

一个原子在一个球体内，它同样可能在球体内的任何地方。它落在比外部更靠近球体中心的地方的概率是多少？

结果集是球面上的所有点，它们组成了大量的<年代p一个n class="katex"> $4 \ \压裂{π}{3}r ^ 3$ $\frac{4 π}{3.} r^{3.}$ 哪里<年代p一个n class="katex"> $r$ $r$ 为球面的半径。离中心更近的点，而不是离边缘更近的点，是半径球内的点<年代p一个n class="katex"> $r \压裂{}{2}$ $\frac{r}{2}$ 围绕中心，所以“成功”结果的量是<年代p一个n class="katex"> $4 \ \压裂{π}{3}\离开(\压裂{r}{2} \右)^ 3 = \压裂{\π}{6}r ^ 3。$ $\frac{4 π}{3.} （ \frac{r}{2} ）^{3.} ＝ \frac{π}{6} r^{3.} ．$ 因此,

$P(\text{更靠近中心而不是外面})= \frac{text{期望结果的体积}}{\text{总结果的体积}}= \frac{\frac{pi}{6}r^3}{\frac{4\pi}{3} r^3} = \frac{1}{8} = 12.5\%。\ _ \广场$

当然，并不是所有的问题本质上都是明显的几何问题。和往常一样，我们可能想要应用几何概率的一个标志是我们处理的是连续变量。让我们看看如何处理下面的例子:

亚历克斯，鲍勃和查理分别在0和1之间随机选择一个实数。这些数的平方和不超过1的概率是多少?

首先，如果我们让他们的三个号码<年代p一个n class="katex"> $x,$ $x ，$ $y,$ 和<年代p一个n class="katex"> $z,$ $z ，$ 很容易看到结果可以表示为单位立方体中的点<年代p一个n class="katex"> $\大($ $（$ 包围该区域的立方体<年代p一个n class="katex"> $x, y, z \[0, 1] \大),$ $x ， y ， z \in ［ 0 ， 1 ］），$ 有体积<年代p一个n class="katex"> $1 ^ 3 = 1。$ $1^{3.} ＝ 1 ．$

然后，这些数的平方和不超过1的区域为<年代p一个n class="katex"> $x^2+y^2+z^2\le 1，$ $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 ，$ 哪个(没有限制)是半径为1，以原点为中心的球<年代p一个n class="katex"> $(0, 0, 0)。$ $（ 0 ， 0 ， 0 ）．$ 然而,由于<年代p一个n class="katex"> $通用电气0,x, y, z \$ $x ， y ， z \geq 0 ，$ 确切地<年代p一个n class="katex"> $左(\ \压裂{1}{2}\右)^ 3 = \压裂{1}{8}$ $（ \frac{1}{2} ）^{3.} ＝ \frac{1}{8}$ 这个球体(一个“八分之一”)位于可能结果的单位立方内。因此，这个“成功”区域的规模是<年代p一个n class="katex"> $\压裂{1}{8}\ cdot \离开(\压裂{4 \π}{3}\ cdot 1 ^ 3 \右)= \压裂{\π}{6}。$ $\frac{1}{8} \cdot （ \frac{4 π}{3.} \cdot 1^{3.} ）＝ \frac{π}{6} ．$

因此,

$P(\text{平方和不超过1})= \frac{text{期望结果的体积}}{text{总结果的体积}}= \frac{\frac{pi}{6}}{1} = \frac{pi}{6} = 52\%。\ _ \广场$

如果你想测试自己将概率问题转化为3D几何问题的能力，不妨尝试一下这个类似于上述例子的具有挑战性的问题:

应用程序

几何概率除了是一种有用的数学解题工具外，还可以应用于其他科学领域。让我们以一个关于机制的例子开始<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/velocity-and-acceleration-problem-solving-easy/" class="wiki_link" title="速度和加速度" target="_blank">速度和加速度．

我们在下面的桌子上玩沙狐球，在那里区域的长度被标记在下面(米)。

你以初始速度推动冰球<年代p一个n class="katex"> $v$ $v ，$ 哪里<年代p一个n class="katex"> $v$ $v$ 在5到15米/秒之间随机选择。由于球台粗糙，冰球以5米/秒的恒定速度减速<年代p一个n class="katex"> $^ 2。$ $^{2} ．$ 你把球滑出球台的概率是多少?(你可以认为冰球很小。)

在这个问题中，我们只有一个变量，冰球的初始速度，所以这是一个一维几何问题。回想一下运动学公式<年代p一个n class="katex"> $v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2A$ $v_{f}^{2} ＝ v_{我}^{2} + 2 一个年代$ ．最后的速度<年代p一个n class="katex"> $v_{f}$ $v_{f}$ 是零，因为冰球停了下来。最初的速度<年代p一个n class="katex"> $v_ {i} = v$ $v_{我} ＝ v$ ．的距离<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ 将决定我们得到多少分。在插入值之后，我们得到

$S = {v^{2}}{10}，$

所以<年代p一个n class="katex"> $年代> 8 + 4 + 2 + 1 = 15$ $年代 > 8 + 4 + 2 + 1 ＝ 15$ 发生在<年代p一个n class="katex"> $v > \ sqrt{150}。$ $v > 150 ．$ 如果我们想到<年代p一个n class="katex"> $v$ $v$ 作为一个在5到15之间的数字线上的点，我们可以发现我们的概率为

$\压裂{15 - \ sqrt{150}}{今天}\大约28 \ %。\ _ \广场$

太棒了!谁能想到几何概率能让我们解决物理问题呢?让我们再看几个例子。

块执行带有时间周期的简谐运动<年代p一个n class="katex"> $T$ $T$ 和最高速度<年代p一个n class="katex"> $v$ $v$ ．块的速度是在一个随机时间测量的。测量速度大于的概率是多少<年代p一个n class="katex"> $\压裂v2？$ $\frac{v}{2} ？$

让我们绘制块的位置（浅灰色）和速度（灰色）。

因为我们感兴趣的是相对值，所以具体的垂直缩放并不重要。绿色的时间间隔表示我们做正测量的时间，即测量的速度，或速度的绝对值，超过的时间<年代p一个n class="katex"> $\压裂v2$ $\frac{v}{2}$ ．这些间隔<年代p一个n class="katex"> $(k \pi + frac{\pi}6, k \pi + 5 \cdot \frac{\pi}6\right)$ $（ k π + \frac{π}{6} ， k π + 5 \cdot \frac{π}{6} ）$ 对于任意整数<年代p一个n class="katex"> $k$ $k$ ，因为从垂直轴开始的第一个绿色间隔是at<年代p一个n class="katex"> $t$ $t$ 为了什么<年代p一个n class="katex"> $-\sin{t}=-\frac12$ $- 罪 t ＝ - \frac{1}{2}$ ,所以<年代p一个n class="katex"> $t = \压裂{\π}6$ $t ＝ \frac{π}{6}$ ．由于运动是周期性的，测量可以在任何时间以相等的概率发生，我们可以论证一个正测量的概率是

$\压裂{N \ * 2 \离开(5 \ cdot \压裂{\π}6 - 6 \压裂{\π}\右)}{N \ * 2 \π}= \压裂{2}{3},$

系统在哪里<年代p一个n class="katex"> $N$ $N$ 时期。<年代p一个n class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

约翰内斯·开普勒(Johannes Kepler)发现，所有行星都围绕太阳在椭圆形轨道上公转，太阳是一个焦点。他还推导出行星以恒定的面速度围绕太阳旋转。

让我们模拟一个小恒星系统，其中一颗行星以椭圆轨道围绕恒星旋转。它有半长轴<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ 和长半轴<年代p一个n class="katex"> $b$ $b$ ．在一次公转中，地球的最低速度是<年代p一个n class="katex"> $u$ $u$ 最高速度是<年代p一个n class="katex"> $v$ $v$ ．在一次完整的革命中，时间的一个瞬间是随机而均匀地选择的。行星和恒星之间的距离在那一瞬间大于的概率是多少<年代p一个n class="katex"> $b ?$ $b ？$

开普勒观察到，行星并非以匀速绕太阳运行，而是当它们离太阳越近时运动得越快，而当它们离太阳越远时运动得越慢。他特别确定了一颗行星的轨道速度是这样的:从太阳到行星的直线在相同的时间间隔内扫过相同的区域。这意味着行星在遥远位置停留的时间与直线扫过这些位置的面积成正比。我们的概率是

$\ mathbb大P{} \[(\文本{测量距离})> b \]大= \压裂{{时间花在距离})(\文本> b}{{时间})(\文本}= \压裂{一}{A_0} = \压裂{一}{\ \π\,b},$

哪里<年代p一个n class="katex"> $A_0$ $一个_{0}$ 椭圆和的面积是多少<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ 是太阳-行星半径矢量扫过的未知区域。接下来的问题就是找到这个区域:

我们用笛卡尔坐标来画轨道<年代p一个n class="katex"> $x$ $x$ 和<年代p一个n class="katex"> $y$ $y$ 以半轴为单位<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ ．让轴比<年代p一个n class="katex"> $\μ= \压裂英航$ $μ ＝ \frac{b}{一个}$ ,<年代p一个n class="katex"> $\mu=0.6$ $μ ＝ 0 ． 6$ 在上图中。太阳在左焦点<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ 与坐标<年代p一个n class="katex"> $(-√{a^2 - b^2}， 0\big)。$ $（ - 一个^{2} - b^{2} ， 0 ）．$ 画一个有半径的圆<年代p一个n class="katex"> $b$ $b$ 以太阳为中心，求与椭圆的交点<年代p一个n class="katex"> $P$ $P$ 与坐标<年代p一个n class="katex"> $\左（-a\，\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}，sqrt{\frac{2\，b^3}{a+b}\右）。$ $（ - 一个 \frac{一个 - b}{一个 + b} ， \frac{2 b ^{3.}}{一个 + b} ）．$ 然后分别写出椭圆和圆的方程:

$\开始{aligned}\left（\frac{x}{a}\right）^2+\left（\frac{y}{b}\right）^2&=1\\（x+c）^2+y^2&=b^2\end{aligned}$

与<年代p一个n class="katex"> $C =根号{a^2 - b^2}$ $c ＝一个^{2} - b^{2}$ ，通过寻找点<年代p一个n class="katex"> $P$ $P$ 曲线相交的位置。我们将通过将椭圆的上分支与<年代p一个n class="katex"> $x$ $x$ -坐标<年代p一个n class="katex"> $P$ $P$ ，加上三角形的面积<年代p一个n class="katex"> $P S$ $P 年代问$ . 图中显示了按不同绿色色调划分的区域：

$\（A）A{{对齐}}A{A}A{A{A{对齐}A{A{A{A}A}A{A{A{A{A{A}A}A{A}A}A}A}A}A}A{A}A}A}A}A}A}A}A}A}A}A}A}A}A}A}A}A{A}A}A}A}A}A}A}A}A}A}A}A}A}A}}+\frac{1}{\pi}\cdot\左（\sqrt{2\，\mu\，（1-\mu）}+\arcin{\sqrt{\frac{1-\mu}{1+\mu}}\右）\结束{对齐}$

我们从<年代p一个n class="katex"> $X_1 = -a \， \sqrt{frac{a - b}{a + b}}$ $x_{1} ＝ - 一个 \frac{一个 - b}{一个 + b}$ 到<年代p一个n class="katex"> $x_2 =一个$ $x_{2} ＝一个$ ．下图是以轴比表示的结果概率图<年代p一个n class="katex"> $\μ$ $μ$ . 具有<年代p一个n class="katex"> $\mu=0.6$ $μ ＝ 0 ． 6$ 发现这颗行星的概率比<年代p一个n class="katex"> $b$ $b$ 约为89%。<年代p一个n class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

的偏心轨道接近于零,椭圆的长时间和机会找到太阳的星球附近很小,因为我)轨道的主要部分是远离太阳,太阳和ii)当行星的方法,它的速度大,因此其探视时间很短。另一方面，当偏心距接近1时，椭圆接近圆形，行星的轨道速度近似恒定，这意味着行星在距离小于的距离上花费了大约一半的时间<年代p一个n class="katex"> $b$ $b$ 一半的时间会走得更远。这可以在动画的轴比下面看到<年代p一个n class="katex"> $\μ$ $μ$ 之间摇摆<年代p一个n class="katex"> $0.2$ $0 ． 2$ 和<年代p一个n class="katex"> $0.99$ $0 ． 99$ ．

警告:想象一下理想情况<年代p一个n class="katex"> $b=a$ $b ＝一个$ 一个完美的圆。如果一颗行星以恒定距离绕太阳运行<年代p一个n class="katex"> $b,$ $b ，$ 我们肯定无法测量它的距离超过<年代p一个n class="katex"> $b$ $b$ . 但上述结果表明，机会应该是均等的。你怎么解释？

额外挑战

几何概率论中有许多大问题。如果您想要一些额外的挑战，请查看这些问题。如果您想为这个wiki做出贡献，您可以向其中一个示例添加解决方案!

两个数字随机而一致地从<年代p一个n class="katex"> $(——)$ $［ - 一个，一个］$ . 较小数值的绝对值大于较大数值绝对值的两倍的概率是多少？最终答案是否取决于<年代p一个n class="katex"> $一个吗?$ $一个？$

让<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 和<年代p一个n class="katex"> $Y$ $Y$ 表示两个随机数。的机会<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 小于<年代p一个n class="katex"> $Y$ $Y$ 扯平了，这样我们就能专心办案了<年代p一个n class="katex"> $X < Y$ $X < Y$ ．我们的概率是

$\ mathbb P{} \大(X | | > 2 \ cdot Y | | \大)= \压裂{^ 2}{2}:\压裂{(2)^ 2}{2}= \压裂{1}{4}。$

概率表达式包含两个绝对值，因此根据变量的符号分为四种情况:

我)<年代p一个n class="katex"> $（X<0）\land（Y>0）$ $（ X < 0 ） \land （ Y > 0 ）$

(二)<年代p一个n class="katex"> $（X<0）\land（Y<0）$ $（ X < 0 ） \land （ Y < 0 ）$

(iii)<年代p一个n class="katex"> $(X > 0) \land (Y > 0)$ $（ X > 0 ） \land （ Y > 0 ）$

(四)<年代p一个n class="katex"> $(X > 0) \land (Y < 0)$ $（ X > 0 ） \land （ Y < 0 ）$ ．

最后两个的解，连同起始假设，都是空集。前两种情况的解的并集在下图的阴影部分。注意我们除以正方形面积的一半<年代p一个n class="katex"> $2 \ cdot ^ 2$ $2 \cdot 一个^{2}$ ，因为我们首先将概率空间缩小到线上方的区域<年代p一个n class="katex"> $X = Y$ $X ＝ Y$ . 还要注意的是，答案并不涉及<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ ，只要我们从某个公共区间中选取这两个变量，它就会保持不变。<年代p一个n class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

在圆周上随机均匀地选取两点。圆心和这两点是连在一起的。得到下列各点的概率是多少?

$\begin{array}{rl} & text{i)} & text{a line segment} \\ & text{ii)} & text{a锐角三角形}\\ & text{iii)} & text{a直角三角形}\\ & text{iv)} & text{an obangle triangle} \end{array}$

我们可以假设这两点<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ 和<年代p一个n class="katex"> $B$ $B$ 都是独立选择的，这样我们就可以在不丧失一般性的情况下进行选择和定位<年代p一个n class="katex"> $B$ $B$ 相对来<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ ．

我)答:<年代p一个n class="katex"> $0$ $0$ ．为什么?线段会出现，如果<年代p一个n class="katex"> $B$ $B$ 以精确的角度放置<年代p一个n class="katex"> $\π$ $π$ 到<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ . 但连续变量获取特定值的几率为零（点的宽度是多少？）。

二）答复：<年代p一个n class="katex"> $\压裂{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ ．为什么?三角形是锐角，如果<年代p一个n class="katex"> $B$ $B$ 是在某个角度放置的吗<年代p一个n class="katex"> $\大[-\frac{\pi}{2}\frac{\pi}{2}\big]$ $［ - \frac{π}{2} ， \frac{π}{2} ］$ ．值<年代p一个n class="katex"> $- \压裂{\π}{2}$ $- \frac{π}{2}$ 和<年代p一个n class="katex"> $\分形{\pi}{2}$ $\frac{π}{2}$ （这样的三角形可能是直角的),<年代p一个n class="katex"> $0$ $0$ （简并)应该被排除在外，同样，一些特定的离散值不会改变概率。

三)答复:<年代p一个n class="katex"> $0$ $0$ ．为什么?见上图。

(四)答案:<年代p一个n class="katex"> $\压裂{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ ．为什么?三角形可以是锐角，也可以是钝角，机会是均等的。<年代p一个n class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

从圆的内部随机均匀地选取两点。圆心和这两点是连在一起的。得到下列各点的概率是多少?

$\begin{array}{rl} & text{i)} & text{a line segment} \\ & text{ii)} & text{a锐角三角形}\\ & text{iii)} & text{a直角三角形}\\ & text{iv)} & text{an obangle triangle} \end{array}$

推荐的课程

应用概率

测验

有关……

你乘坐的公共汽车在下午12点到1点之间的任意时间来。如果你在下午12:30出现，你有多大可能赶上公交车?

内容

X X X是0到3之间的一个随机实数。概率是多少<年代p一个n class="katex"> X X X比1更接近0吗?

飞镖被扔向圆形的圆靶，这样它就会随机地落在圆靶上。它落在更靠近中心而不是边缘的概率是多少?

我们在下面的桌子上玩沙狐球，在那里区域的长度被标记在下面(米)。

块执行带有时间周期的简谐运动<年代p一个n class="katex"> T T T和最高速度<年代p一个n class="katex"> v v v．块的速度是在一个随机时间测量的。测量速度大于的概率是多少<年代p一个n class="katex"> v 2 ？ \压裂v2？ 2v？

掌握这些概念

$X$ 是0到3之间的一个随机实数。概率是多少<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 比1更接近0吗?

块执行带有时间周期的简谐运动<年代p一个n class="katex"> $T$ $T$ 和最高速度<年代p一个n class="katex"> $v$ $v$ ．块的速度是在一个随机时间测量的。测量速度大于的概率是多少<年代p一个n class="katex"> $\压裂v2？$ $\frac{v}{2} ？$