领域
正式定义
例子
许多“常规”编号系统是字段的示例。例如,
有几个数字系统示例不是领域;例如,
还有非无限的字段的示例,称为有限田地。一个简单的例子是字段 对于任何一个素数 由集合组成 和由此定义的操作modulo. 。注意 必然是这个建设的素质工作,否则一个元素不会有一个反向;例如, 不是一个字段,因为2(和3和4)没有乘法反向。
另一个规范的例子是与四个元素的领域,有时被称为 尽管上面的说明。它由四个元素组成: 以便 是添加剂标识(即0)和 是乘法身份(即1)。其余的关系由下表确定:
O. | 一世 | 一种 | B. | + | O. | 一世 | 一种 | B. | ||
O. | O. | O. | O. | O. | O. | O. | 一世 | 一种 | B. | |
一世 | O. | 一世 | 一种 | B. | 一世 | 一世 | O. | B. | 一种 | |
一种 | O. | 一种 | B. | 一世 | 一种 | 一种 | B. | O. | 一世 | |
B. | O. | B. | 一世 | 一种 | B. | B. | 一种 | 一世 | O. |
哪个可以从直接逻辑源;例如注意 , 而如果 ,一个人会有 ,这是不可能的,因此 , 所以 对于任何一个 。然后 不可能是 , 因为 ,这是不可能的 。桌子的其余部分类似地填充。
这有点令人惊讶的是,这种ad-hoc方法实际上导致一个字段,而不是例如直接的矛盾。这部分原因是每个非零元素是一种力量 ;IE。 是A.发电机。细节为什么这样的领域属于地区有限田地。
现场扩展
应用程序
尤其是田野有限田地,有很多主要应用程序加密和纠错;一个主要的例子是循环冗余校验隐式使用有限字段进行错误检测,如下所示:
- 选择一个 -bit号码作为冗余校验。它是固定的。
- 发送消息时 ,计算独家或者的 和 ,应用于最左边的数字 。重复此过程(必要时删除前导零),直到不再可能(何时 具有比XOR计算的结果更多的数字)。最终XOR计算的结果是检查价值。
- 传输两者 和支票值。
- 收到消息时 ,计算如上所述的校验值,然后将其与接收的检查值进行比较。如果它们有所不同,则在某个地方损坏传输。
例如,假设所选的冗余检查 曾是 (全部基地2.数字),一个人想要传输消息 。所以一个人会计算
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0. | 0. | 1 | |
XOR. | 1 | 0. | 1 | 1 | ||||
0. | 1 | 0. | 0. | 1 | 0. | 0. | 1 |
因此,结果是1001001.然后再次应用此过程:
1 | 0. | 0. | 1 | 0. | 0. | 1 | |
XOR. | 1 | 0. | 1 | 1 | |||
0. | 0. | 1 | 0. | 0. | 0. | 1 |
最后一次:
1 | 0. | 0. | 0. | 1 | |
XOR. | 1 | 0. | 1 | 1 | |
0. | 0. | 1 | 1 | 1 |
此时算法停止,因为冗余检查1011具有比结果111更多的数字。这使得校验值111。
在数学上讲,该算法正在将二进制字符串视为为元素 - 具有系数的多项式等于0或1 - 并计算卷雪封代表在由此形成的商圈中的消息 , 在哪里 是与冗余检查对应的多项式 在上面的例子中 因此,现场理论允许分析算法和选择适当的冗余检查。甚至可以在不同的领域执行计算,但在实践中 随着自然的关系,总是使用二进制计算机的体系结构。