向量空间GYDF4.Y2.BA.

向量空间GYDF4.Y2.BA.是抽象地捕捉线性方程的几何和代数的数学对象。它们是本研究的中心对象GYDF4.Y2.BA.线性代数GYDF4.Y2.BA.．GYDF4.Y2.BA.

向量空间的典型例子是欧几里得空间GYDF4.Y2.BA. $\mathbb{R}^nGYDF4.Y2.BA.$．在这个空间里,GYDF4.Y2.BA.载体GYDF4.Y2.BA.是GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$-实数元组；例如，在GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$是GYDF4.Y2.BA. $(3,4)GYDF4.Y2.BA.$. 这些向量上定义了一个加法运算，其中按坐标方向添加：GYDF4.Y2.BA. $（a_1，a_2，ldots，a_n）+（b_1，b_2，ldots，b_n）=（a_1+b_1，a_2+b_2，ldots，a_n+b_n）。GYDF4.Y2.BA.$举一个数值例子，考虑这个方程GYDF4.Y2.BA. $(1，-1) + (6,1) = (7,0)GYDF4.Y2.BA.$，在GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$. 还有一个概念是GYDF4.Y2.BA.标量乘法GYDF4.Y2.BA.；给定一个数字GYDF4.Y2.BA. $R c \ \ mathbb {}GYDF4.Y2.BA.$，一个向量可以用GYDF4.Y2.BA. $CGYDF4.Y2.BA.$详情如下:GYDF4.Y2.BA. $c\cdot（a\u 1，a\u 2，ldots，a\u n）=（c\u 1，ca\u 2，ldots，ca\u n）。GYDF4.Y2.BA.$例如，在GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$有人GYDF4.Y2.BA. $3\cdot (5,8) = (15,24)GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

抽象向量空间的例子推广GYDF4.Y2.BA. $\mathbb{R}^nGYDF4.Y2.BA.$. 大致上，向量空间是一个集合，其元素被称为GYDF4.Y2.BA.载体GYDF4.Y2.BA.，这些向量可以根据一组基于属性建模的公理进行添加和缩放GYDF4.Y2.BA. $\mathbb{R}^nGYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

向量空间通常作为涉及线性的各种问题的解集出现，例如齐次函数的解集GYDF4.Y2.BA.线性方程组GYDF4.Y2.BA.以及a的解集GYDF4.Y2.BA.齐次线性微分方程GYDF4.Y2.BA.．GYDF4.Y2.BA.

除了他们在GYDF4.Y2.BA.线性代数GYDF4.Y2.BA.，向量空间，配备了一些额外的结构，经常出现在数学的其他领域。突出的例子包括GYDF4.Y2.BA.希尔伯特空间GYDF4.Y2.BA.以及向量空间在GYDF4.Y2.BA.表征理论GYDF4.Y2.BA.．GYDF4.Y2.BA.

让GYDF4.Y2.BA. $FGYDF4.Y2.BA.$做一个GYDF4.Y2.BA.领域GYDF4.Y2.BA.; 为了简单起见，可以假设GYDF4.Y2.BA. $R F = \ mathbb {}GYDF4.Y2.BA.$或GYDF4.Y2.BA. $F=\mathbb{C}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

A.GYDF4.Y2.BA.在向量空间GYDF4.Y2.BA. $FGYDF4.Y2.BA.$是一个GYDF4.Y2.BA.阿贝尔群GYDF4.Y2.BA. $（V，+）GYDF4.Y2.BA.$这样每GYDF4.Y2.BA. $在F c \GYDF4.Y2.BA.$，有一张地图GYDF4.Y2.BA. $V \to VGYDF4.Y2.BA.$满足以下特性：GYDF4.Y2.BA.

• 对于任何GYDF4.Y2.BA. $v、 w\in vGYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $在F c \GYDF4.Y2.BA.$,我们有GYDF4.Y2.BA. $\ ph_ {c} (v + w) = ph_ {c} (v) + ph_ {c} (w)。GYDF4.Y2.BA.$换句话说，地图GYDF4.Y2.BA. $\phi_{c}GYDF4.Y2.BA.$是GYDF4.Y2.BA.群同态GYDF4.Y2.BA.的GYDF4.Y2.BA. $vGYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

• 地图GYDF4.Y2.BA. $\phi_{1}: V \到VGYDF4.Y2.BA.$这只是身份地图吗GYDF4.Y2.BA. $vGYDF4.Y2.BA.$. 也就是说，对任何人来说GYDF4.Y2.BA. $v\in vGYDF4.Y2.BA.$，有GYDF4.Y2.BA. $\phi_{1} (v) = vGYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

• 地图的组成GYDF4.Y2.BA. $\phi_{c}GYDF4.Y2.BA.$对应于中的乘法GYDF4.Y2.BA. $FGYDF4.Y2.BA.$:如果GYDF4.Y2.BA. $a, b在F里GYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $\phi_{a} \circ \phi_{b} = phi_{ab}。GYDF4.Y2.BA.$

• 除了在GYDF4.Y2.BA. $FGYDF4.Y2.BA.$通勤加上GYDF4.Y2.BA. $vGYDF4.Y2.BA.$:如果GYDF4.Y2.BA. $a, b在F里GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $v\in vGYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA. $\phi_{a+b} (v) = \phi_{a} (v) + \phi_{b} (v)GYDF4.Y2.BA.$

通常，人们只是简单地写GYDF4.Y2.BA. $个人简历GYDF4.Y2.BA.$表示GYDF4.Y2.BA. $\phi_{c}（v）GYDF4.Y2.BA.$. 地图GYDF4.Y2.BA. $\phi_{c}GYDF4.Y2.BA.$应该被认为是GYDF4.Y2.BA.扩展GYDF4.Y2.BA.向量GYDF4.Y2.BA. $vGYDF4.Y2.BA.$以…的倍数GYDF4.Y2.BA. $CGYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

为了更好地理解这个定义，下面是一些例子:GYDF4.Y2.BA.

验证GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$向量空间在上面吗GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {}GYDF4.Y2.BA.$在向量加法和标量乘法的标准概念下。GYDF4.Y2.BA.

---

首先，我们必须展示GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$是向量加法下的交换群。当然，加法运算是结合的和交换的，因为加法在GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {}GYDF4.Y2.BA.$是结合律和交换律。有一个加性单位，零向量GYDF4.Y2.BA. $(0,0)GYDF4.Y2.BA.$．对于任何GYDF4.Y2.BA. $（a，b）\in\mathbb{R}^2GYDF4.Y2.BA.$，存在可加逆，即GYDF4.Y2.BA. $（-a，-b）GYDF4.Y2.BA.$．因此,GYDF4.Y2.BA. $(\ mathbb} {R ^ 2 +)GYDF4.Y2.BA.$是阿贝尔群。GYDF4.Y2.BA.

接下来，我们检查这个标量乘法GYDF4.Y2.BA. $C (a,b) = (ca, cb)GYDF4.Y2.BA.$满足给定的性质。我们有GYDF4.Y2.BA. $1 (a, b) = (a, b)GYDF4.Y2.BA.$，视需要而定。此外GYDF4.Y2.BA.

$\开始{aligned}c\big（（a，b）+（x，y）\big）&=c（a+x，b+y）\&=（ca+cx，cb+cy）\&=（ca，cb）+（cx，cy）\&=c（a，b）+c（x，y）\\\\\mn（a，b）\&=m（na，nb）\\&=m\big（n（a，b）\\\\\\\（c+d）（a，b）\&（a，b）&（ca+da，cb）\\\\\\\\\&d）（a，b）\&d）\结束{对齐}GYDF4.Y2.BA.$

我们得出结论GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$，用给定的加法和标量乘法运算，形成一个向量空间。GYDF4.Y2.BA. $_ \广场GYDF4.Y2.BA.$

向量空间的其他示例包括：GYDF4.Y2.BA.

• 对于任何领域GYDF4.Y2.BA. $FGYDF4.Y2.BA.$，这套GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$-中元素的元组GYDF4.Y2.BA. $FGYDF4.Y2.BA.$,表示GYDF4.Y2.BA. $F ^ nGYDF4.Y2.BA.$，是一个向量空间GYDF4.Y2.BA. $FGYDF4.Y2.BA.$．向量加法和标量乘法的定义与GYDF4.Y2.BA. $\mathbb{R}^nGYDF4.Y2.BA.$在上面拿GYDF4.Y2.BA. $F=\mathbb{Z}\u 2GYDF4.Y2.BA.$的向量子空间GYDF4.Y2.BA. $\mathbb{Z}u2^{n}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

• 让GYDF4.Y2.BA. $V=C[0,1]GYDF4.Y2.BA.$，连续函数的集合GYDF4.Y2.BA. $[0,1]\to\mathbb{R}GYDF4.Y2.BA.$．这是一个向量空间GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {}GYDF4.Y2.BA.$．向量加法定义为GYDF4.Y2.BA. $(f+g)(x) = f(x) +g (x)GYDF4.Y2.BA.$和标量乘以GYDF4.Y2.BA. $(cf) (x) = cf (x)。GYDF4.Y2.BA.$同样地，GYDF4.Y2.BA. $C ^ {k} (\ mathbb {R})GYDF4.Y2.BA.$，空间GYDF4.Y2.BA. $KGYDF4.Y2.BA.$-乘以连续可微函数GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} \ \ mathbb {R}GYDF4.Y2.BA.$向量空间在上面吗GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

• 一组GYDF4.Y2.BA. $大P_ {n} = \ \ {\ sum_ {i = 0} ^ {n} ai x ^{我}\大|现代{我}\中\ mathbb {R} \ \给我\ \}GYDF4.Y2.BA.$具有实数次系数的多项式的性质GYDF4.Y2.BA. $n \ leqGYDF4.Y2.BA.$，与通常的多项式加法和实数乘法一样，是一个向量空间。GYDF4.Y2.BA.

• $\mathbb{C}GYDF4.Y2.BA.$向量空间在上面吗GYDF4.Y2.BA. $\mathbb{R}。GYDF4.Y2.BA.$

• $R \ mathbb {}GYDF4.Y2.BA.$向量空间在上面吗GYDF4.Y2.BA. $\mathbb{Q}。GYDF4.Y2.BA.$

• $M_n（\mathbb{R}）GYDF4.Y2.BA.$，矩阵的空间GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {}GYDF4.Y2.BA.$正常的GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$用矩阵加法和标量乘法GYDF4.Y2.BA. $R c \ \ mathbb {}GYDF4.Y2.BA.$定义为矩阵的每个元素乘以GYDF4.Y2.BA. $CGYDF4.Y2.BA.$

一套GYDF4.Y2.BA. $S=\{v\u 1\ldots，v\u k\}GYDF4.Y2.BA.$向量空间中的向量GYDF4.Y2.BA. $vGYDF4.Y2.BA.$结束GYDF4.Y2.BA. $FGYDF4.Y2.BA.$据说是GYDF4.Y2.BA.线性无关GYDF4.Y2.BA.如果没有向量GYDF4.Y2.BA. $sGYDF4.Y2.BA.$可以表示为其他向量的线性组合GYDF4.Y2.BA. $sGYDF4.Y2.BA.$. 可以用等效的方式定义线性独立性：GYDF4.Y2.BA.

一套GYDF4.Y2.BA. $\ {v_1, \ ldots v_k \} \ subseteq VGYDF4.Y2.BA.$是线性无关的，如果GYDF4.Y2.BA. $a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_kv_k=0GYDF4.Y2.BA.$具有GYDF4.Y2.BA. $a_i在F里forall i = 1 ldots,kGYDF4.Y2.BA.$意味着GYDF4.Y2.BA. $a_1 = a₂= \ cdots = a_k = 0GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

这个GYDF4.Y2.BA.线性跨度GYDF4.Y2.BA.的一个子集GYDF4.Y2.BA. $S \ subseteq VGYDF4.Y2.BA.$这是全部的集合GYDF4.Y2.BA.线性组合GYDF4.Y2.BA.矢量在计算机中的应用GYDF4.Y2.BA. $sGYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

A.GYDF4.Y2.BA.基础GYDF4.Y2.BA.向量空间的性质GYDF4.Y2.BA. $vGYDF4.Y2.BA.$是一个线性独立集，其线性跨度等于GYDF4.Y2.BA. $vGYDF4.Y2.BA.$．其中一个定理等价于GYDF4.Y2.BA.选择公理GYDF4.Y2.BA.每个向量空间都有一个GYDF4.Y2.BA.基础GYDF4.Y2.BA.．GYDF4.Y2.BA.

在定义了一个数学对象之后，自然地考虑保持其底层结构的变换。这就产生了GYDF4.Y2.BA.线性变换GYDF4.Y2.BA.在同一个域上的向量空间之间。向量空间基的选择GYDF4.Y2.BA. $五、 WGYDF4.Y2.BA.$在同一领域GYDF4.Y2.BA. $FGYDF4.Y2.BA.$能够表示之间的线性转换GYDF4.Y2.BA. $vGYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $WGYDF4.Y2.BA.$通过矩阵。GYDF4.Y2.BA.

向量GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$

---

一组GYDF4.Y2.BA. $S_1 = \{(1,0)、(2,0)\}GYDF4.Y2.BA.$矢量在计算机中的应用GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$不是线性独立的:GYDF4.Y2.BA. $（2,0）=2\cdot（1,0）GYDF4.Y2.BA.$．几何上，张成的空间GYDF4.Y2.BA. $sGYDF4.Y2.BA.$是GYDF4.Y2.BA. $xGYDF4.Y2.BA.$-轴心GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

一组GYDF4.Y2.BA. $S_2={（1,0），（0,1）\}GYDF4.Y2.BA.$是线性独立的，其跨度为GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA. $S_2GYDF4.Y2.BA.$是一个基础GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

一组GYDF4.Y2.BA. $S_3={（1,0）、（0,1）、（1,1）\}GYDF4.Y2.BA.$. 虽然GYDF4.Y2.BA. $S_3GYDF4.Y2.BA.$是GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$,GYDF4.Y2.BA. $S_3GYDF4.Y2.BA.$是不是一个基础GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 2GYDF4.Y2.BA.$因为它不是线性无关的。GYDF4.Y2.BA.

一组GYDF4.Y2.BA. $\{1，x，x^2，\ldots，x^n\}GYDF4.Y2.BA.$是一个基础GYDF4.Y2.BA. $普恩GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

给定一个向量空间GYDF4.Y2.BA. $V,GYDF4.Y2.BA.$考虑子空间的性质是很自然的。下面的定理为寻找子空间提供了一个有用的准则，这些子空间是具有继承结构的向量空间GYDF4.Y2.BA. $vGYDF4.Y2.BA.$:GYDF4.Y2.BA.

让GYDF4.Y2.BA. $W \ neq \ emptysetGYDF4.Y2.BA.$是向量空间的子集GYDF4.Y2.BA. $vGYDF4.Y2.BA.$结束GYDF4.Y2.BA. $FGYDF4.Y2.BA.$用向量空间运算从GYDF4.Y2.BA. $vGYDF4.Y2.BA.$限于GYDF4.Y2.BA. $WGYDF4.Y2.BA.$．然后GYDF4.Y2.BA. $WGYDF4.Y2.BA.$是一个向量空间，当且仅当下列属性成立:GYDF4.Y2.BA.

• $u + v \ WGYDF4.Y2.BA.$对所有GYDF4.Y2.BA. $u、 v\in WGYDF4.Y2.BA.$
• $cu\in WGYDF4.Y2.BA.$对所有GYDF4.Y2.BA. $u\在W中，c\在F中。GYDF4.Y2.BA.$

解集GYDF4.Y2.BA. $（x，y，z）\in\mathbb{R}^{3}GYDF4.Y2.BA.$方程式GYDF4.Y2.BA. $ax+by+cz+d=0GYDF4.Y2.BA.$具有GYDF4.Y2.BA. $a, b, c, d \ \ mathbb {R}GYDF4.Y2.BA.$是一个平面GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ {3}GYDF4.Y2.BA.$. 什么时候GYDF4.Y2.BA. $d = 0GYDF4.Y2.BA.$，平面通过原点，形成的子空间为向量空间GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ {3}GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

然而，当把不经过原点的平面看作点的子集时，它就不具有向量空间的结构GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {} ^ 3GYDF4.Y2.BA.$. 这说明了对其进行限制的必要性GYDF4.Y2.BA.同种类的GYDF4.Y2.BA.线性方程组。这一技术难题是使用以下概念解决的：GYDF4.Y2.BA.仿射空间GYDF4.Y2.BA.．GYDF4.Y2.BA.

函数的集合GYDF4.Y2.BA. $C^{2}（\mathbb{R}）GYDF4.Y2.BA.$满足微分方程GYDF4.Y2.BA. $F " (x) = e^{x} F (x)GYDF4.Y2.BA.$是一个向量空间。GYDF4.Y2.BA.

---

因为解集是非空的--GYDF4.Y2.BA. $f（x）=0GYDF4.Y2.BA.$解方程——向量空间的子集GYDF4.Y2.BA. $C^{2}（\mathbb{R}）GYDF4.Y2.BA.$，只要说明如果GYDF4.Y2.BA. $f{1}GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $f{2}GYDF4.Y2.BA.$满足给定的方程，然后这样做GYDF4.Y2.BA. $f f {2} {1} +GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $cf{1}GYDF4.Y2.BA.$对所有GYDF4.Y2.BA. $c\in\mathbb{R}GYDF4.Y2.BA.$．如果GYDF4.Y2.BA. $f_1，f_2GYDF4.Y2.BA.$满足GYDF4.Y2.BA. $F " (x) = e^{x} F (x)GYDF4.Y2.BA.$然后GYDF4.Y2.BA.

$\大（f_1（x）+f_2（x）\big'=f_1^{'}（x）+f_2^{'}（x）=e^{x}f_1（x）+e^{x}f_2（x）=e^{x}\big（f_1（x）+f_2（x）\big）。GYDF4.Y2.BA.$

同样地，GYDF4.Y2.BA. $\大(cf_1 (x) \大)^{”}= cf_1 ^{”}(x) = ce ^ {x} f (x)GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA. $_ \广场GYDF4.Y2.BA.$

一GYDF4.Y2.BA. $n次nGYDF4.Y2.BA.$带输入项的矩阵GYDF4.Y2.BA. $R \ mathbb {}GYDF4.Y2.BA.$每一行，每一列，每一对角线上的元素的和是常数GYDF4.Y2.BA. $一个\ \ mathbb {R}GYDF4.Y2.BA.$被称为GYDF4.Y2.BA.幻方矩阵GYDF4.Y2.BA.正常的GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$具有GYDF4.Y2.BA.line-sumGYDF4.Y2.BA. $A.GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

矩阵幻方阶的一个例子GYDF4.Y2.BA. $3.GYDF4.Y2.BA.$矩阵是什么GYDF4.Y2.BA. $\开始{pmatrix}8&1&6\\3&5&7\\4&9&2\end{pmatrix}，GYDF4.Y2.BA.$这本身就是一个问题GYDF4.Y2.BA.魔方GYDF4.Y2.BA.．注意，对于矩阵幻方我们没有限制矩阵的元素必须是不同的，所以矩阵GYDF4.Y2.BA. $开始{pmatrix} \ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \ \ \ \ \ {pmatrix}结束GYDF4.Y2.BA.$也是一个矩阵魔术平方的顺序吗GYDF4.Y2.BA. $3.GYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.

空间GYDF4.Y2.BA. $MGYDF4.Y2.BA.$矩阵魔术平方的顺序GYDF4.Y2.BA. $NGYDF4.Y2.BA.$具有任意行和形成向量空间作为矩阵向量空间的子空间GYDF4.Y2.BA. $\mathbb{M}\n（\mathbb{R}）GYDF4.Y2.BA.$:GYDF4.Y2.BA.

• 零矩阵是GYDF4.Y2.BA. $MGYDF4.Y2.BA.$
• 如果GYDF4.Y2.BA. $在M A、B \GYDF4.Y2.BA.$行和GYDF4.Y2.BA. $A.GYDF4.Y2.BA.$和GYDF4.Y2.BA. $BGYDF4.Y2.BA.$，则矩阵GYDF4.Y2.BA. $A+BGYDF4.Y2.BA.$是一个具有行和的矩阵魔术方块吗GYDF4.Y2.BA. $a + bGYDF4.Y2.BA.$. 同样，矩阵GYDF4.Y2.BA. $cAGYDF4.Y2.BA.$矩阵幻方有行和吗GYDF4.Y2.BA. $caGYDF4.Y2.BA.$．GYDF4.Y2.BA.