反证法据/h1>
反证法据/strong>(也称为据S.T.R.O.NG>间接证明据/strong>或方法据S.T.R.O.NG>归谬法据/strong>)是一种常见的证明技巧,它基于一个非常简单的原则:导致矛盾的东西据E.m>不能据/em>是真的,如果是的话,就相反了据E.m>必须据/em>是真实的。这是一种原则,即使某种虚构侦探的哲学想起:据/p>
“据E.m>当你排除了所有的不可能,剩下的无论多么不可能,一定是真相。据/em>“据/p>
小说中的夏洛克·福尔摩斯据E.m>四星座据/em>(1890年)由亚瑟·柯南·道尔爵士据/p>
要用矛盾来证明一个陈述,首先假设你想要证明的东西的反面。然后证明这个前提的结果是不可能的。这意味着你的原始陈述必须是真实的。据/p>
证明没有最大的数字。据/p>
假设一个数量最多据E.m>做据/em>存在。让它成为据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
考虑数据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
哈代(G. H. Hardy)称矛盾证明是“数学家最精良的武器之一”,他说,“这是一个比任何国际象棋的开局都要好得多的开局:棋手可以牺牲一个小卒,甚至一块棋子,但数学家提供的是游戏。”据/p>
用矛盾写出证明据/h2>
当在可能性之间存在二元选择时,经常使用矛盾证明:据/p>
不是理性的就是非理性的。据/p>
有无穷多个素数或有限多个素数。据/p>
任一个切线圆是垂直于包含切点的圆的半径,或者不是。据/p>
当写一个矛盾证明时,你需要知道哪种可能性是正确的。据/p>
有人怀疑据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是不合理的,因为似乎没有为任意有理数,当平方,等于2。据/p>
人们怀疑质数是无限多的,因为尽管质数很少,但似乎总能找到更多。据/p>
一个人怀疑与圆圈相切的线始终垂直于半径,因为它绘制时似乎总是这样。据/p>
矛盾过程证明据/strong>
否定的结论据/em>无论你试图证明什么,其反面都是正确的。在介绍示例中,目的是证明这一点据E.m>没有据/em>数量最多,所以证明开始的前提下,有据E.m>是据/em>最大的数。据/p>
分析这个前提的后果据/em>:这一步骤涉及将该前提放在一些数学形式。在引言示例中,最大的数字给出了一个名字,据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
矛盾据/em>:一个据S.T.R.O.NG>矛盾据/strong>在否定结论前提下是没有意义的。在介绍的例子中,发现了一个大于据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> .这是违背前提的据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是最大的数字。据/p>
一旦发现一个矛盾,证明就完成了。你可以得出结论,你试图证明的是正确的。据/p>
用反证法证明公式或方程不是很有用。矛盾证明需要一个据E.m>具体的据/em>替代你想要证明的任何东西。例如,您不会通过矛盾使用证明来证明据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/quadratic-formula/" class="wiki_link" title="二次方程“T.一种R.GE.T.=“_blank">二次方程据/a>.二次方程没有任何特定的替代方程,所以矛盾证明对证明没有帮助。据/p>
但是,证明通过矛盾据E.m>能够据/em>有时可以用来证明据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/converse/" class="wiki_link" title="匡威“T.一种R.GE.T.=“_blank">匡威据/a>公式或方程式的。毕达哥拉斯定理的反面证明就是一个例子。据/p>
数论据/h2>
反证法在数论中很常见,因为许多证明都需要在可能性之间进行某种二元选择。据/p>
证明据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/irrational-numbers/" class="wiki_link" title="非理性“T.一种R.GE.T.=“_blank">非理性据/a>.据/p>
假设据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是理性的。如果它是合理的,它可以表示为两个共素整数的比率据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 和据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> .自从据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 和据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是共同的,据E.m>他们不可能两个人都一样据/em>.据/p>
如果据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
证明没有任何积极的据一种T.一种R.GE.T.=“_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/rational-numbers/">有理数据/a>.据/p>
假设有据E.m>是据/em>最小正有理数叫它据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> .据/p>
笔记据/strong>:这结果给出了任何密集的子集的直觉据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 不能有一点积极的因素。据!-- end-example -->
证明有据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/infinitely-many-primes/" class="wiki_link" title="无限多的素数“T.一种R.GE.T.=“_blank">无限多的素数据/a>.据/p>
假设质数是有限的。然后就可以列出所有的质数,按顺序排列:据/p>
在哪里据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
证明一个有理数和无理数的总和是不合理的。据/p>
假设一个有理数和无理数的总和是合理的。第一个有理数可表示为据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
代数据/h2>
如果据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 那据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 和据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是奇数整数,证明这一点据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
证明这一点据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/harmonic-series/" class="wiki_link" title="调和级数“T.一种R.GE.T.=“_blank">调和级数据/a>发散的。据/p>
谐波系列据/p>
假设调和级数收敛,并考虑以下几大系列:据/p>
那里据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
几何据/h2>
当几何学中使用矛盾证明时,往往会得出看起来很荒谬的数字。这是可以预料到的,因为矛盾证明总是以一个与所相信的真理相反的前提开始。据/p>
证明一个切线圆垂直于包含切点的圆的半径。据/p>
已知圆据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
假设切线不垂直于包含切点的半径。那么存在另一个点,据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 在网上据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 这样据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
自从据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是切点,据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 肯定在圈子外面。因此,据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
然而,据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
因此,与圆相切的直线总是垂直于包含切点的圆的半径。据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
鉴于据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-theorem/" class="wiki_link" title="勾股定理“T.一种R.GE.T.=“_blank">勾股定理据/a>,证明了毕达哥拉斯定理的交谈。也就是说,如果三角形包含侧长度据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
欧几里得原理,第一卷,命题六。据/strong>证明如果三角形的两个角全等,则它们的对边全等。据/p>
注意:据/strong>这证明的逆据S.T.R.O.NG>命题5据/strong>(如果三角形的两侧是一致的,那么它们对面的角度是一致的),它也从据S.T.R.O.NG>命题4据/strong>(SAS一致)。还有其他方法来证明这个定理,但这个证明是值得注意的,因为它只需要很少的先决命题。据/p>
假设存在具有两个全等角的三角形,但这些角度相对的侧边不是全等。如果双方都没有一致的,然后其中一人必须是更长的时间。据/p>
在上面的三角形中,据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
自从据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
现在我们可以看到这些一致性:据/p>
这些一致性表明据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
组合学据/h2>
鸽子原则据/a>:据B.R.>将5个点放在单位等边三角形内。证明这两个点必须是最大距离据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
Ramsey的定理据/a>:据B.R.>证明在一个6人的聚会中,有3个共同的朋友或3个共同的非朋友。据/p>
假设在6中给出了任何3人,最多有2个友谊或2个非友谊。让6人贴上标签据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
图论理论据/a>:据B.R.>证明在下面的图中,不可能在每条路径上只移动一次。任何顶点都可以被选为起始顶点或结束顶点,顶点可以被传递不止一次。据/p>
假设可以通过沿着每条路径一次行驶一次,这是可以遍历图表。考虑每个顶点都会通过多少次。每次输入顶点时,都会退出。因此,如果每条路径都是一次行进,那么每个顶点都应该具有来自它的偶数路径。这是一个例外,是起始顶点和结束顶点。这些顶点应具有来自它们的奇数路径。只有一个起点顶点和一个结束顶点。但是,上面的图形具有4个顶点,具有来自它们的奇数路径。据/p>
因此,不可能沿着每条路径恰好移动一次来遍历上面的图。据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
霍尔婚姻定理据/a>通常用于需要在集合中的元素之间匹配的问题。它在以下问题中的应用并不完全明显,但考虑一下:为了一个据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
无穷递降据/h2>
主要文章:据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/general-diophantine-equations-fermats-method-of/" class="wiki_link" title="Fermat的无限下降方法“T.一种R.GE.T.=“_blank">Fermat的无限下降方法据/a>
费马无穷下降法据/strong>是一种特殊的证明通过矛盾。它基于存在最小的正整数,据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
.如果一个前提导致无穷多个正整数解,使得每个解依次更小,那么这就是一个矛盾。据/p>
证明,如果据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
是一个积极的整数和据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
不是整数吗据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
是非理性的。据/p>
假设据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
是理性的。然后,它可以表示为据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
注意,上面的表达式等价于据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
替代据S.P.一种NCL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">