实数GydF4y2Ba

可在现实世界中找到任何数量的，从字面上看，一个实数。计数对象给出的正整数，或自然数的序列，GydF4y2Ba $\ mathbb {n}。GydF4y2Ba$如果考虑其债务没有或存在的号码，然后设定GydF4y2Ba $\ mathbb {Z}GydF4y2Ba$整数，包括零和负数的，是为了。如果剪切蛋糕分成相等的块，则可能有一块代表一个有理数，这是一个可以由两个整数的不可简化的分数来表示的数。什么是下一个？我们拥有一套GydF4y2Ba $\ mathbb {R}GydF4y2Ba$实数，这是集合的工会GydF4y2Ba $\ mathbb {q}GydF4y2Ba$有理数和集合GydF4y2Ba $\ mathbb {I}GydF4y2Ba$的无理数。下面的维恩图描述了这些组数字之间的关系。GydF4y2Ba

$\ mathbb {R}GydF4y2Ba$是一组可以被测量的数字，例如长度或重量，其中，当然，包括的GydF4y2Ba $\ mathbb {q}，GydF4y2Ba$这可以从计数获得，减，和分裂。有什么能数的例子不GydF4y2Ba $\ mathbb {Q}？GydF4y2Ba$据推测，在历史上尚属无理数是GydF4y2Ba $\ sqrt {2}，GydF4y2Ba$这是由毕达哥拉斯的追随者发现。GydF4y2Ba $\ SQRT {2}GydF4y2Ba$对应于边长为1的正方形的对角线的长度，所以GydF4y2Ba $\ SQRT {2}GydF4y2Ba$是实数，它存在于现实世界。然而，GydF4y2Ba $\ SQRT {2}GydF4y2Ba$不能由两个整数的不可简化的分数来表示。我们可以在这里很快证明这一点。GydF4y2Ba

证明GydF4y2Ba $\ SQRT {2}GydF4y2Ba$不是合理的数字。GydF4y2Ba

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让GydF4y2Ba $\ sqrt {2} = \ frac {m} {n}，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $mGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$是互质。然后是平方GydF4y2Ba $\ SQRT {2}GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $\左（\ SQRT {2} \右）^ 2 = 2 = \压裂{平方公尺} {N ^ 2}，GydF4y2Ba$这意味着GydF4y2Ba $平方公尺GydF4y2Ba$是2的倍数。如果一个数的平方是2的倍数，则该数量也是2的倍数。因此，使用替代GydF4y2Ba $米= 2”，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $M”GydF4y2Ba$是整数，使GydF4y2Ba $\压裂{平方公尺} {N ^ 2} = 4 \压裂{M'^ 2} {N ^ 2} = 2。GydF4y2Ba$然后GydF4y2Ba $\压裂{N ^ 2} {M'^ 2} = 2，GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$也是2的倍数。现在我们有两个GydF4y2Ba $mGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$作为2的倍数，这与该条件不符GydF4y2Ba $mGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$是互质。因此，我们可以得出结论：GydF4y2Ba $\ SQRT {2}GydF4y2Ba$不能由两个整数的不可简化的分数来表示，因此它是无理数。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

同样地，测量对象可以给出比有理数其它号码。其他常见的例子是GydF4y2Ba $\ PI，GydF4y2Ba$一个圆的周长与其直径的比率和GydF4y2Ba $e，GydF4y2Ba$欧拉数。同时，精确的定义或者建设GydF4y2Ba $\ mathbb {R}GydF4y2Ba$是相当困难的理解，它是教大学水平的数学课程。供您参考，GydF4y2Ba $\ mathbb {R}GydF4y2Ba$通常是由分划建造。GydF4y2Ba

澄清集是另一组中的一个子集GydF4y2Ba $\ mathbb {I}，GydF4y2Ba$ $\ mathbb {n}，GydF4y2Ba$ $\ mathbb {Q}，GydF4y2Ba$ $\ mathbb {R}，GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\ mathbb {Z}GydF4y2Ba$- 分别的非理性数，自然数，律数，实数和整数集。GydF4y2Ba

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套装GydF4y2Ba $\ mathbb {n}GydF4y2Ba$自然数是正整数的集合。GydF4y2Ba
套装GydF4y2Ba $\ mathbb {Z}GydF4y2Ba$整数是分母1的有理数集。GydF4y2Ba
套装GydF4y2Ba $\ mathbb {q}GydF4y2Ba$有理数的是一组可以由两个整数的最简分数来表示实数。GydF4y2Ba
套装GydF4y2Ba $\ mathbb {I}GydF4y2Ba$无理数的是一套是不理性的实数。GydF4y2Ba

所以，GydF4y2Ba

$\ mathbb {n} \ subset \ mathbb {z} \ subset \ mathbb {q} \ subset \ mathbb {r}，GydF4y2Ba$

和GydF4y2Ba

$\ mathbb {I} \子集\ mathbb {R}。\ _ \方GydF4y2Ba$

这是真的，GydF4y2Ba $\ SQRT {3} \在\ mathbb {Q}？GydF4y2Ba$

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不，GydF4y2Ba $\ SQRT {3}GydF4y2Ba$不是的一个元素GydF4y2Ba $\ mathbb {Q}，GydF4y2Ba$但是是一个不合理的数字。我们可以类似地证明它GydF4y2Ba $\ sqrt {2}。GydF4y2Ba$

让GydF4y2Ba $\ SQRT {3} = \压裂{M} {N}，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $mGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$是互质。然后是平方GydF4y2Ba $\ SQRT {3}GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $\左（\ sqrt {3} \右）^ 2 = 3 = \ frac {m ^ 2} {n ^ 2}，GydF4y2Ba$这意味着GydF4y2Ba $平方公尺GydF4y2Ba$是3的倍数。如果数字的平方是3的倍数，那么数字也是3的倍数。因此，取代GydF4y2Ba $米=3米”，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $M”GydF4y2Ba$是整数，使GydF4y2Ba $\压裂{平方公尺} {N ^ 2} = 9 \压裂{M'^ 2} {N ^ 2} = 3。GydF4y2Ba$然后GydF4y2Ba $\压裂{N ^ 2} {M'^ 2} = 3，GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$也是3的倍数。现在我们有两个GydF4y2Ba $mGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$作为3的倍数，其不与所述条件相对应GydF4y2Ba $mGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$是互质。因此，我们可以得出结论：GydF4y2Ba $\ SQRT {3}GydF4y2Ba$不能由两个整数的不可简化的分数来表示，因此它是无理数。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

这是真的，GydF4y2Ba $\ SQRT {4} \在\ mathbb {Q}？GydF4y2Ba$

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是的，GydF4y2Ba $\ SQRT {4}GydF4y2Ba$是一个元素GydF4y2Ba $\ mathbb {Q}。GydF4y2Ba$

根据定义，GydF4y2Ba $\ SQRT {4}GydF4y2Ba$是一个正数GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$满足GydF4y2Ba $x ^ 2 = 4。GydF4y2Ba$我们知道GydF4y2Ba $2 ^ 2 = 4，GydF4y2Ba$所以GydF4y2Ba $\ SQRT {4} = 2，GydF4y2Ba$这是一个整数。所有整数有理数，所以我们可以得出结论：GydF4y2Ba $\ SQRT {4} \在\ mathbb {Q}。GydF4y2Ba$ $_\正方形GydF4y2Ba$

A4纸的较长侧的长度为29.7厘米。是29.7理性？GydF4y2Ba

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我们可以代表29.7为两个整数的不可简化的分数：GydF4y2Ba

$29.7 = \压裂{297} {10}。GydF4y2Ba$

因此，29.7是合理的。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

边长为一个等边三角形的面积1是GydF4y2Ba $\压裂{\ SQRT {3}} {4}。GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $\压裂{\ SQRT {3}} {4}GydF4y2Ba$合理的？GydF4y2Ba

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首先，让我们证明一个非零合理数量的乘积GydF4y2Ba $\压裂{M} {N}，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $mGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$是互质，和无理数GydF4y2Ba $一世GydF4y2Ba$不能理性。假使，假设GydF4y2Ba $\ frac {m} {n} i = \ frac {p} {q}，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $问：GydF4y2Ba$是互质。然后GydF4y2Ba

$\ BEGIN {对齐} I =＆\压裂{N} {M} \ CDOT \压裂{P} {Q} \\ =＆\压裂{NP} {MQ} \\ = \压裂{S} {吨}，\ {端对齐}GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $S = \压裂{NP} {\ GCD（NP，MQ）}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $T = \压裂{MQ} {\ GCD（NP，MQ）}。GydF4y2Ba$现在我们有GydF4y2Ba $一世GydF4y2Ba$作为两个整数的一小部分，这与前提相矛盾GydF4y2Ba $一世GydF4y2Ba$是不合理的。GydF4y2Ba

因此，由于GydF4y2Ba $\ SQRT {3}GydF4y2Ba$是不合理的，四分之一GydF4y2Ba $\ SQRT {3}GydF4y2Ba$也是不合理的。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

的圆的半径为1的圆周是GydF4y2Ba $2 \ PI。GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $2 \ PI.GydF4y2Ba$合理的？GydF4y2Ba

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正如我们在上文证明，非零有理数的乘积和无理数不能合理的。GydF4y2Ba $\ PIGydF4y2Ba$已知是非理性的。因此两次GydF4y2Ba $\ PIGydF4y2Ba$也是不合理的。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

• 模数GydF4y2Ba

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