模运算gydF4y2B一个

模运算gydF4y2B一个一个算术系统是为了什么gydF4y2B一个整数gydF4y2B一个，考虑到gydF4y2B一个剩余部分gydF4y2B一个．在模算术中，数字在达到一个给定的固定量(这个给定的量称为模)时“绕圈”，留下余数。模运算经常和质数联系在一起，比如gydF4y2B一个威尔逊定理gydF4y2B一个，gydF4y2B一个卢卡斯定理gydF4y2B一个,gydF4y2B一个Hensel引理gydF4y2B一个，通常出现在以下领域gydF4y2B一个密码学gydF4y2B一个，gydF4y2B一个计算机科学gydF4y2B一个，以及计算机代数。gydF4y2B一个

模运算的直观用法是用一个12小时的时钟。如果现在是10点，那么5个小时后时钟会显示3点而不是15点。3是15的余数，模是12。gydF4y2B一个

一个数字gydF4y2B一个 $x \ bmod NgydF4y2B一个$是等价于求余数吗gydF4y2B一个 $xgydF4y2B一个$当除以gydF4y2B一个 $NgydF4y2B一个$．两个整数gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $bgydF4y2B一个$是同余的(或在同一等价类中)模的gydF4y2B一个 $NgydF4y2B一个$如果除法后余数相同gydF4y2B一个 $NgydF4y2B一个$．在这种情况下，我们说gydF4y2B一个 $a \相等b\pmod N。gydF4y2B一个$

理解模运算最简单的方法是把它看成是一个数除以另一个数的余数。例如，因为15和-9除以12剩下的余数是一样的，所以我们说gydF4y2B一个

$15 \ 9枚\ pmod{12}。gydF4y2B一个$

这允许我们有一个做模运算的简单方法:首先执行通常的运算，然后找到余数。例如，寻找gydF4y2B一个 $123 + 321 \pmod{11}gydF4y2B一个$，我们可以gydF4y2B一个

$123 + 321 = 444gydF4y2B一个$

然后除以11，得到gydF4y2B一个

$123 + 321 \equiv 4\pmod{11}。gydF4y2B一个$

然而，当数字变大时，这可能会变得混乱。我们可以采用的一种方法是，首先求出123和321除以11的余数(余数都是2)，然后执行通常的算术，再求出余数。在这个例子中，sincegydF4y2B一个 $123年\枚2 \ pmod {11}gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $321年\枚2 \ pmod {11}gydF4y2B一个$，我们可以得出结论gydF4y2B一个

$\begin{align} 123 + 321 & \equiv 2+2 & \pmod{11} \\ & \equiv 4 & \pmod{11}。结束\{对齐}gydF4y2B一个$

对于正整数gydF4y2B一个 $ngydF4y2B一个$的整数gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $bgydF4y2B一个$都是相等的gydF4y2B一个 $\ bmod \ ngydF4y2B一个$如果他们的余数除以gydF4y2B一个 $ngydF4y2B一个$都是一样的。gydF4y2B一个

$52 \equiv 24\pmod 7gydF4y2B一个$

正如我们在上面看到的，52和24是相等的(取余7)因为gydF4y2B一个 $52\pmod 7 = 3gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $24\pmod 7 = 3。gydF4y2B一个$

请注意,gydF4y2B一个 $＝gydF4y2B一个$不同于gydF4y2B一个 $\枚。gydF4y2B一个$

另一种定义方法是整数gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $bgydF4y2B一个$都是相等的gydF4y2B一个 $\ bmod \ ngydF4y2B一个$如果他们的区别gydF4y2B一个 $(a - b)gydF4y2B一个$是的整数倍吗gydF4y2B一个 $ngydF4y2B一个$，即“如果”gydF4y2B一个 $\压裂{a - b} {n}gydF4y2B一个$余数是0。gydF4y2B一个

$36 \ 10枚\ pmod {13}gydF4y2B一个$

36和10是相等的(取余13)，因为它们不同gydF4y2B一个 $36 - 10 = 26gydF4y2B一个$是的整数倍吗gydF4y2B一个 $n = 13gydF4y2B一个$,也就是说,gydF4y2B一个 $26 = 2\乘以13。gydF4y2B一个$

模算术中加法的性质:gydF4y2B一个

1. 如果gydF4y2B一个 $a + b = cgydF4y2B一个$,然后gydF4y2B一个 $a\pmod N+b\pmod N \equiv c \pmod N。gydF4y2B一个$
2. 如果gydF4y2B一个 $一个\枚b \ pmod NgydF4y2B一个$,然后gydF4y2B一个 $a+k \等于b+k \pmod NgydF4y2B一个$对于任何一个整数gydF4y2B一个 $k。gydF4y2B一个$
3. 如果gydF4y2B一个 $一个\枚b \ pmod NgydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $c \枚d \ pmod NgydF4y2B一个$,然后gydF4y2B一个 $a+c \相等b+d \pmodgydF4y2B一个$
4. 如果gydF4y2B一个 $a \相等b\pmod NgydF4y2B一个$,然后gydF4y2B一个 $-a \equiv -b\pmodgydF4y2B一个$

现在是晚上7点。1000小时后是几点(上午或下午)?gydF4y2B一个

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时间每24小时“重复”一次，所以我们以24为模数工作。自gydF4y2B一个

$1000 \equiv 16 +(24\乘41)\equiv 16 \pmod{24}，gydF4y2B一个$

1000小时的时间等于16小时的时间。因此，1000小时后是上午11点。gydF4y2B一个 $_ \广场gydF4y2B一个$

求31和148以24为模的和。gydF4y2B一个

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解决方案1:gydF4y2B一个
31取24的模等于7。如果我们使用wiki中提到的第一个模块加法规则，我们会发现gydF4y2B一个 $31 + 148 \equiv 7 + 148 \equiv 155\pmod{24}gydF4y2B一个$．155取24的模是11。gydF4y2B一个 $_ \广场gydF4y2B一个$

解决方案2:gydF4y2B一个
如前所述，31取24的模等于7。我们不使用第一条规则，而是使用第二条规则。148取24的模是4。现在，我们要找的是7+4，也就是gydF4y2B一个 $11gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个 $_ \广场gydF4y2B一个$

求下面的余数gydF4y2B一个 $123 + 234+ 32+ 56+ 22 + 12 + 78gydF4y2B一个$除以gydF4y2B一个 $3.gydF4y2B一个$

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我们知道gydF4y2B一个 $123 \equiv 0 \pmod{3}gydF4y2B一个$，gydF4y2B一个 $\equiv 0 \pmod{3}gydF4y2B一个$，gydF4y2B一个 $32 \equiv 2 \pmod{3}gydF4y2B一个$，gydF4y2B一个 $56 \equiv 2 \pmod{3}gydF4y2B一个$，gydF4y2B一个 $22 \equiv 1 \pmod{3}gydF4y2B一个$，gydF4y2B一个 $12 \equiv 0 \pmod{3}gydF4y2B一个$,gydF4y2B一个 $78 \equiv 0 \pmod{3}gydF4y2B一个$．从性质3，我们有gydF4y2B一个

$123 + 234+ 32+ 56+ 22 + 12 + 78 \equiv 0+0+2+2+1+0+0 \equiv 5 \pmod{3}。gydF4y2B一个$

自gydF4y2B一个 $5gydF4y2B一个$有剩余的gydF4y2B一个 $2gydF4y2B一个$当除以gydF4y2B一个 $3.gydF4y2B一个$,那么gydF4y2B一个 $123 + 234+ 32+ 56+ 22 + 12 + 78，gydF4y2B一个$因此答案是gydF4y2B一个 $2gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个 $_ \广场gydF4y2B一个$

模乘法出现在数学的许多领域，并有许多广泛的应用，包括密码学、计算机科学和计算机代数。gydF4y2B一个

模运算中乘法的性质gydF4y2B一个：gydF4y2B一个

1. 如果gydF4y2B一个 $A \cdot b = cgydF4y2B一个$,然后gydF4y2B一个 $a\pmod N\cdot b\pmod N\ equiv c \pmod{N}gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个
2. 如果gydF4y2B一个 $a \equiv b \pmod{N}gydF4y2B一个$,然后gydF4y2B一个 $ka \equiv kb \pmod{N}gydF4y2B一个$对于任何一个整数gydF4y2B一个 $kgydF4y2B一个$．gydF4y2B一个
3. 如果gydF4y2B一个 $a \equiv b \pmod{N}gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $c \equiv d \pmod{N}gydF4y2B一个$,然后gydF4y2B一个 $ac \equiv bd \pmod{N}gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个

是什么gydF4y2B一个 $(8 \乘16)\pmod{7}?gydF4y2B一个$

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自gydF4y2B一个 $8 \相等1 \pmod{7}gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $16 \equiv 2 \pmod{7}gydF4y2B一个$,我们有gydF4y2B一个

$(8 \乘以16)\equiv(1 \乘以2)\equiv 2 \pmod{7} .\ _\平方gydF4y2B一个$

求下面的余数gydF4y2B一个 $124 \cdot 134 \cdot 23 \cdot 49 \cdot 235 \cdot 13gydF4y2B一个$除以gydF4y2B一个 $3.gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个

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我们做过一个类似的问题，符号都是gydF4y2B一个 $+gydF4y2B一个$而不是gydF4y2B一个 $\ *gydF4y2B一个$．在这种情况下，手动加数字不会花费那么多时间，尽管模块化算法的解决方案更快。gydF4y2B一个

在这个例子中，相乘是非常乏味的。相反，我们重复使用性质3。我们知道gydF4y2B一个 $124 \枚1gydF4y2B一个$，gydF4y2B一个 $134 \枚2gydF4y2B一个$，gydF4y2B一个 $23 \枚2gydF4y2B一个$，gydF4y2B一个 $49 \ 1枚gydF4y2B一个$，gydF4y2B一个 $235 \枚1gydF4y2B一个$,gydF4y2B一个 $13 \ 1枚gydF4y2B一个$．因此,gydF4y2B一个

$124 \cdot 134 \cdot 23 \cdot 49 \cdot 235 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 1 \pmod{3}gydF4y2B一个$

表示乘积，除以gydF4y2B一个 $3.gydF4y2B一个$剩下gydF4y2B一个 $1.gydF4y2B一个$ $_ \广场gydF4y2B一个$

证明模运算中乘法的性质3如下所示:gydF4y2B一个

如果gydF4y2B一个 $a \equiv b \pmod{N}gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $c \equiv d \pmod{N}gydF4y2B一个$,然后gydF4y2B一个 $ac \equiv bd \pmod{N}gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个

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根据等价的定义，gydF4y2B一个 $一个- bgydF4y2B一个$是gydF4y2B一个 $NgydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $c - dgydF4y2B一个$是gydF4y2B一个 $N。gydF4y2B一个$也就是说,gydF4y2B一个

$a-b = k_1N， \四c-d = k_2NgydF4y2B一个$

为常量gydF4y2B一个 $k_1gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $k_2gydF4y2B一个$．然后gydF4y2B一个

$\{对齐}开始ac - bd & = ac - bd + bc - bc \ \ & = c (a - b) + b (c - d) \ \ & = c (k_1 N) + b (k_2N) \ \ & = (ck_1 + bk_2) N \{对齐}结束gydF4y2B一个$

这意味着gydF4y2B一个 $ac - bdgydF4y2B一个$是gydF4y2B一个 $NgydF4y2B一个$因此gydF4y2B一个 $ac - bd \equiv 0 \pmod{N}gydF4y2B一个$,或gydF4y2B一个 $ac \equiv bd \pmod{N}gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个 $_ \广场gydF4y2B一个$

由于取幂是重复的乘法，我们得到:gydF4y2B一个

模运算中幂的性质:gydF4y2B一个

如果gydF4y2B一个 $b \枚\ pmod {N}gydF4y2B一个$,然后gydF4y2B一个 $a^k \pmod{N}gydF4y2B一个$对于任何正整数gydF4y2B一个 $kgydF4y2B一个$．gydF4y2B一个

我们可以写gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$以…的形式gydF4y2B一个 $a = Np + bgydF4y2B一个$,在那里gydF4y2B一个 $pgydF4y2B一个$是一些整数。然后我们有gydF4y2B一个

$一个^ {k} = (Np + b) ^ {k} = \ sum_ {i = 0} ^ {k} \ binom {k}{我}(Np) ^ ^ {k-i} b{}。gydF4y2B一个$

注意这个和的所有项都是gydF4y2B一个 $NgydF4y2B一个$，除了最后一次gydF4y2B一个 $我= kgydF4y2B一个$．因此gydF4y2B一个

$一个^ {k} \枚0 + 0 + \ cdots + 0 + b ^ {k} = b ^ {k} \ pmod {N}。\ _ \广场gydF4y2B一个$

是什么gydF4y2B一个 $3 ^ {16} \ pmod {4} ?gydF4y2B一个$

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我们观察到gydF4y2B一个

$3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod{4}。gydF4y2B一个$

然后根据幂的性质，我们得到gydF4y2B一个

$\开始{对齐}3 ^ {16}\ pmod{4} & \枚\大(3 ^ 2 \大)^ 8 \ pmod{4} \ \ & \枚(1)^ 8 \ pmod{4} \ \ & \枚1 \ pmod{4}。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2B一个$

在上面的例子中，我们不需要找到的准确值gydF4y2B一个 $3 ^ {16}gydF4y2B一个$它非常大gydF4y2B一个

最后一位是什么gydF4y2B一个 $17 ^ {17} ?gydF4y2B一个$

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一个数的最后一位等于取模于10的数。以10为模，我们有gydF4y2B一个

$\{数组}{l l l l}开始17 ^{17}& \枚7 ^{17}& \枚\大(7 ^ 2 \大)^ 8 \ cdot 7 & \ pmod{10} \ \ & \枚(49)^ 8 \ cdot 7 & \枚9 ^ 8 \ cdot 7 & \ pmod{10} \ \ & \枚\大(9 ^ 2 \大)^ 4 \ cdot 7 & \枚(81)^ 4 \ cdot 7 & \ pmod{10} \ \ & \枚1 ^ 4 \ cdot 7 & \枚7 & \ pmod{10}。\ \ _ \广场结束数组{}gydF4y2B一个$

找出的最后三位数字gydF4y2B一个 $2 ^{40}。gydF4y2B一个$

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我们有gydF4y2B一个

$\开始{对齐}2 ^{40}& = & \大(2 ^{10}\大)\ \ & = & ^ 1024 ^ 4 \ \ & \枚24 ^ 576 ^ 2 \ \ \ & \枚pmod{1000} \{对齐}结束。gydF4y2B一个$

我们可以写gydF4y2B一个 $576 ^ 2gydF4y2B一个$作为gydF4y2B一个

$\begin{aligned}(500+76)(500+76) &=& 250000+2\times500\times 76+76\times76 \\ &=& 250000+ 76000 + 5776 \\ & equiv& 0+ 5776 \\ & equiv& 776 \\ \pmod{1000}.\end{aligned}gydF4y2B一个$

自gydF4y2B一个 $2 ^ {40}gydF4y2B一个$剩下gydF4y2B一个 $776gydF4y2B一个$当除以gydF4y2B一个 $1000gydF4y2B一个$，后三位数是gydF4y2B一个 $776gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个 $_ \广场gydF4y2B一个$

找一个整数的例子gydF4y2B一个 $A x y n，gydF4y2B一个$在哪里gydF4y2B一个 $X \equiv y \pmod{n}gydF4y2B一个$,但gydF4y2B一个 $A ^x \not \equiv A ^y \pmod{n}gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个

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许多的组合gydF4y2B一个 $A x y ngydF4y2B一个$将在这里工作。我们以gydF4y2B一个 $N = 3 a =2 x =2gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $y = 5gydF4y2B一个$，我们从哪里得到gydF4y2B一个 $2 \相等5 \pmod{3}gydF4y2B一个$,但gydF4y2B一个 $2^2 \equiv 1 \pmod {3}gydF4y2B一个$而gydF4y2B一个 $2 ^ 5 \枚2 \ pmod {3}gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个 $_ \广场gydF4y2B一个$

重要的是，指数性质只适用于底数。如果你想和异能者合作，你需要gydF4y2B一个欧拉定理gydF4y2B一个．gydF4y2B一个

这是棘手的。考虑gydF4y2B一个 $4 \相等8 \pmod{4}gydF4y2B一个$．注意，我们不能简单地把方程两边都除以2，因为gydF4y2B一个 $2 \not \equiv 4 \pmod{4}gydF4y2B一个$．这表明，在一般情况下，除法并没有很好地定义。如下面的属性所示，如果我们添加条件为gydF4y2B一个 $k, NgydF4y2B一个$是互质数，那么除法就得到了很好的定义。gydF4y2B一个

模运算中除法的性质gydF4y2B一个：gydF4y2B一个

如果gydF4y2B一个 $\肾小球囊性肾病(k, N) = 1gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $ka \equiv kb \pmod{N}gydF4y2B一个$,然后gydF4y2B一个 $a \equiv b \pmod{N}gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个

这个性质为真，因为gydF4y2B一个 $k (a - b)gydF4y2B一个$是gydF4y2B一个 $NgydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $\肾小球囊性肾病(k, N) = 1gydF4y2B一个$,然后gydF4y2B一个 $NgydF4y2B一个$必须分gydF4y2B一个 $a - bgydF4y2B一个$同样,gydF4y2B一个 $a \equiv b \pmod{N}gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个

的模逆gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$在整数模环中gydF4y2B一个 $米gydF4y2B一个$是一个整数gydF4y2B一个 $xgydF4y2B一个$这样gydF4y2B一个

$Ax \equiv 1 \pmod{m}。gydF4y2B一个$

从gydF4y2B一个欧几里得辗转相除法gydF4y2B一个和gydF4y2B一个Bezout的身份gydF4y2B一个，关于模算术中乘法逆的存在性，得到如下结果:gydF4y2B一个

如果gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $NgydF4y2B一个$是整数gydF4y2B一个 $\肾小球囊性肾病(N) = 1gydF4y2B一个$，则存在一个整数gydF4y2B一个 $xgydF4y2B一个$这样gydF4y2B一个 $ax \equiv 1 \pmod{N}gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个

$xgydF4y2B一个$被称为gydF4y2B一个乘法逆元gydF4y2B一个的gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$模gydF4y2B一个 $N。gydF4y2B一个$

下面的Python代码展示了我们如何通过实现扩展的欧几里得算法来计算模逆:gydF4y2B一个

Python实现gydF4y2B一个

12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14gydF4y2B一个

defgydF4y2B一个egcdgydF4y2B一个（gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个，gydF4y2B一个bgydF4y2B一个)：gydF4y2B一个xgydF4y2B一个，gydF4y2B一个ygydF4y2B一个，gydF4y2B一个ugydF4y2B一个，gydF4y2B一个vgydF4y2B一个＝gydF4y2B一个0gydF4y2B一个，gydF4y2B一个1gydF4y2B一个，gydF4y2B一个1gydF4y2B一个，gydF4y2B一个0gydF4y2B一个而gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个! =gydF4y2B一个0gydF4y2B一个：gydF4y2B一个问gydF4y2B一个，gydF4y2B一个rgydF4y2B一个＝gydF4y2B一个bgydF4y2B一个//gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个，gydF4y2B一个bgydF4y2B一个％gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个米gydF4y2B一个，gydF4y2B一个ngydF4y2B一个＝gydF4y2B一个xgydF4y2B一个-gydF4y2B一个ugydF4y2B一个＊gydF4y2B一个问gydF4y2B一个，gydF4y2B一个ygydF4y2B一个-gydF4y2B一个vgydF4y2B一个＊gydF4y2B一个问gydF4y2B一个bgydF4y2B一个，gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个，gydF4y2B一个xgydF4y2B一个，gydF4y2B一个ygydF4y2B一个，gydF4y2B一个ugydF4y2B一个，gydF4y2B一个vgydF4y2B一个＝gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个，gydF4y2B一个rgydF4y2B一个，gydF4y2B一个ugydF4y2B一个，gydF4y2B一个vgydF4y2B一个，gydF4y2B一个米gydF4y2B一个，gydF4y2B一个ngydF4y2B一个肾小球囊性肾病gydF4y2B一个＝gydF4y2B一个bgydF4y2B一个返回gydF4y2B一个肾小球囊性肾病gydF4y2B一个，gydF4y2B一个xgydF4y2B一个，gydF4y2B一个ygydF4y2B一个defgydF4y2B一个modinvgydF4y2B一个（gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个，gydF4y2B一个米gydF4y2B一个)：gydF4y2B一个肾小球囊性肾病gydF4y2B一个，gydF4y2B一个xgydF4y2B一个，gydF4y2B一个ygydF4y2B一个＝gydF4y2B一个egcdgydF4y2B一个（gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个，gydF4y2B一个米gydF4y2B一个）gydF4y2B一个如果gydF4y2B一个肾小球囊性肾病gydF4y2B一个! =gydF4y2B一个1gydF4y2B一个：gydF4y2B一个返回gydF4y2B一个没有一个gydF4y2B一个#模逆不存在gydF4y2B一个其他的gydF4y2B一个：gydF4y2B一个返回gydF4y2B一个xgydF4y2B一个％gydF4y2B一个米gydF4y2B一个

马克·亨宁gydF4y2B一个

是否有一个正整数gydF4y2B一个 $ngydF4y2B一个$的gydF4y2B一个 $n ^ 7 - 77gydF4y2B一个$是斐波那契数吗?gydF4y2B一个

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如果gydF4y2B一个 $pgydF4y2B一个$质数是这个形式吗gydF4y2B一个 $7 k + 1gydF4y2B一个$，则有gydF4y2B一个 $k + 1gydF4y2B一个$7次幂(其中+1表示0)。这就给了残数有别于斐波那契残数的斗争机会。我们试一下最小的质数gydF4y2B一个 $7 k + 1gydF4y2B一个$也就是29。gydF4y2B一个

我们可以检查一下gydF4y2B一个 $N ^7 \equiv 0, 1, 12, 17, 28 \pmod {29}gydF4y2B一个$，这给了我们gydF4y2B一个

$N ^7 - 77 \equiv 9, 10, 11, 22, 27 \pmod{29}。gydF4y2B一个$

当观察以29为模的斐波那契数列的余数时，我们得到了重复序列gydF4y2B一个

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 5, 26, 2, 28, 1, 0, ldots。gydF4y2B一个$

快速检查一下，我们发现没有数字出现在两个序列中，因此答案是没有。gydF4y2B一个 $_ \广场gydF4y2B一个$

• 中国剩余定理gydF4y2B一个

• 求幂的最后一位gydF4y2B一个