多项式

一个多项式是一个数学表达式由变量，系数和加法，减法，乘法和非负整数指令组成的组成。

下面是一些多项式的例子:

$c \开始{数组}{}x + 3, &3x ^ 2-2x + 5, &-7, &2a ^ 3 b ^ 2-3b ^ 2 + 2 a - 1, & \压裂{1}{2}x ^ 2 - \压裂{2}{3}x + \压裂{3}{4}。结束\{数组}$

多项式是数学和数学“语言”的重要组成部分代数．它们几乎被用于数学的每个领域来表示数学结果中的数字操作．多项式在其他类型的数学表达式中也是“构建块”，例如理性的表达式．

日常生活中的许多数学过程都可以解释为多项式。杂货店账单上商品成本的总和可以解释为一个多项式。计算距离载体或物体可以被解释为多项式。计算周长，区域,体积几何图形可以解释为多项式。这些只是多项式的许多应用。

多项式是数学的一种特殊类型表达。

一个数学表达式是一个由变量、常数和对它们进行的数学运算所表示的数字。

下面是一些表达的例子:

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$数组{}{ccccc} \ \开始颜色{# 3 d99f6} {3 x ^ 2-2x + 5} & \ hphantom {\ ldots} & \颜色{# 3 d99f6}{\压裂{1}{2}x ^ 2 - \压裂{2}{3}x + \压裂{3}{4}}& \ hphantom {\ ldots} {# D61F06}{2 ^ & \颜色+ x ^ {1/2 }} \\ \\ \ 颜色{# D61F06}{\压裂{x} {y} + 2 y} & \ hphantom {\ ldots} &颜色\ {# D61F06} {6 x ^ {2} + 2 - 3} & \ hphantom {\ ldots} &颜色\ {# 3 d99f6} {x + 3} \ \ \ \ \颜色{# D61F06} {\ cos (x ^ 2 - 1)} &颜色\ hphantom {\ ldots} & \ {# 3 d99f6} {2 ^ 3 b ^ 2-3b ^ 2 + 2 a - 1} & \ hphantom {\ ldots}和{# 3 d99f6}{7} \颜色\ \ \ \ \{数组}结束$

上面的一些表达式是多项式（蓝色），有些表达不是（以红色为红色）。可以通过注意到哪种表达式识别多项式只有添加，减法，乘法和非负整数指令的操作。非多项式表达式将是包含其他操作的表达式。

解释为什么非多项式表达式不是多项式。

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我们可以将原因总结如下表:

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{non -多项式表达式}& \text{Reason it is not a多项式}\\ hline 2^{\color{#D61F06}{x}}+x^{\color{#D61F06}{1/2}} & \text{多项式不能包含可变指数。} \\ & text{它们也不能包含非整数指数。} \\ hline \frac{x}{\color{#D61F06}{y}}+2y & text{一般来说，多项式}可以\text{包含分数。然而，它们不能在分母中包含变量。} \\ hline 6x^{\color{#D61F06}{-2}}+2x-3 & text{多项式在变量上不能有负指数。}\\ hline \color{#D61F06}{\cos}(x^2-1) & text{多项式不能包含非多项式函数}\\ \text{包括三角函数如余弦函数。} \\ \hline \end{array}$

多项式是易于理解的数学对象，因此，数学家能够将数学过程表示为多项式是很方便的。在解决数学问题时，非多项式表达式往往会带来更多的挑战。有一个概念微积分，叫A.泰勒系列近似值，目标是近似a非多项式表达作为多项式表达。这是由于多项式的许多方便的性质。

一开始，多项式涉及的词汇表可能有点吓人。然而，这些“听起来复杂”的词通常用来代表简单的想法。

多项式的“构造块”被称为单项。

一个单项是一个多项式表达式，它包含变量和系数，不包含加减运算。

单项式常被称为术语如果它们是较大多项式的一部分。

确定每个多项式中的项。

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我们可以将答案总结如下:

$c c \开始{数组}{| | |}{多项式表达式}& \ \线\文本文本{条款}\ \ \线x + 3 & \文本{和}3 \ \ \线3 x ^ 2-2x + 5 & 3 x ^ 2 \ {} 2 x \文本{和}5 \ \ \线7 & 7 \ \ \ b线2 ^ 3 ^ 2-3b ^ 2 + 2 a - 1 & 2 ^ 3 ^ 2 b {} 3 b ^ 2 \ \文本文本{}2 \文本{和}1 \ \ \线\压裂{1}{2}x ^ 2 - \压裂{2}{3}x + \压裂{3}{4}& \压裂{1}{2}{}- x ^ 2 \文本\压裂{2}{3}{x \文本,And}\frac{3}{4} \\ \hline \end{array}$

注意，每一项可以是正的，也可以是负的，这个符号取决于该项是在多项式中相加还是在多项式中减去。每一项也有一个系数。

的系数一个术语是该术语的非可变因子。

确定每个术语的系数。

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答案如下:

$c c \开始{数组}{| | |}\线\{术语}& \文本{系数}\ \ \线x & 1 \ \ \线3 x ^ 2 & 3 \ \ \线2 x & 2 \ \ \ b线2 ^ 3 ^ 2 & 2 \ \ \线——\压裂{2}{3}x & - \压裂{2}{3}\ \ \线7 & 7 \ \ \线\{数组}结束$

注意，系数的“默认”值是 $1$．如果一项不包含变量，那么系数就是该项本身。

多项式通常被分类为学位．

的单项的次数是单项中每个变量的指数的总和。

的多项式的次数多项式中的所有单体的最大程度是多数。

确定上面讨论的每种多项式的程度。

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答案如下:

• $－7$常数单项式总是有一个度 ${# 3 d99f6} \颜色0$．它们也可以表示为，例如， $7 x ^ 0$作为 $x ^ 0 = 1$对于任何 $x \ neq 0$．
• $x + 3$：注意 $x = x ^ 1$．的程度 $x ^{\颜色{# D61F06} {1}}$是 ${# D61F06} 1 \颜色$．的程度 $3.$是 ${# D61F06} \颜色0$．多项式的次数是次数中较大的，也就是 ${# 3 d99f6} 1 \颜色$．
• $3 x ^ 2-2x + 5$：注意 $2 x = 2 ^ 1$．的程度 $3 x ^{\颜色{# D61F06} {2}}$是 ${# D61F06} 2 \颜色$．的程度 $2 x ^{\颜色{# D61F06} {1}}$是 ${# D61F06} 1 \颜色$．的程度 $5$是 ${# D61F06} \颜色0$．多项式的次数是这些次数中最大的 ${# 3 d99f6} 2 \颜色$．
• $2 ^ 3 b ^ 2-3b ^ 2 + 2 a - 1$：注意 $2a = 2a ^ 1$．的程度 $2 ^ {{# D61F06}{3}} \颜色b ^{\颜色{# D61F06} {2}}$是 ${# D61F06} 3 + \颜色\ {# D61F06} 2 = \颜色{# D61F06} 5$．的程度 $3 b ^{\颜色{# D61F06} {2}}$是 ${# D61F06} 2 \颜色$．的程度 $2a ^ {\ color {＃d61f06} {1}}$是 ${# D61F06} 1 \颜色$．的程度 $－1$是 ${# D61F06} \颜色0$．多项式的次数是这些次数中最大的 ${# 3 d99f6} \颜色5$．
• $\ frac {1} {2} x ^ 2- \ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4}$：注意 $- \压裂{2}{3}x = - \压裂{2}{3}x ^ 1$．的程度 $x ^ \压裂{1}{2}{{# D61F06}{2}} \颜色$是 ${# D61F06} 2 \颜色$．的程度 $- \ frac {2} {3} x ^ {\ color {＃d61f06} {1}}$是 ${# D61F06} 1 \颜色$．的程度 $\ frac {3} {4}$是 ${# D61F06} \颜色0$．多项式的次数是这些次数中最大的 ${# 3 d99f6} 2 \颜色$． $_ \广场$

多项式以这种方式分类是因为它们根据程度表现出不同的数学行为和性质。多项式的次数也影响求解的解决策略方程包含这个多项式。

$0$调用程度多项式常数．常数的值是不变的，所以它们被用来描述不变的量。

$1 ^ \文本{圣}$调用程度多项式线性多项式。它们被用来描述以稳定速率变化的量。它们也用于许多涉及长度的一维几何问题。

$2 ^ \文本{和}$调用程度多项式二次多项式。它们用于描述随着一定量的加速或减速而变化的数量。它们也用于涉及区域的许多二维几何问题。

$3 ^ \文本{rd}$调用程度多项式立方体多项式。它们被用于许多涉及体积的三维几何问题。

多项式没有特殊的名称 $4 ^ \ text {th}$程度或更高。高度多项式具有各种应用。

“常数”、“线性”、“二次”和“三次”这些术语在数学中很常见;它们不仅仅用于多项式。然而，每一个词的意思总是与某个多项式的次数有关。

多项式表示数字，因此，任何数学运算都可以在多项式上执行，就像它们在数字上执行一样。当多项式被加、减或乘时，结果是另一个多项式。当多项式被除时，结果是a理性的表达．

加法和减法

主要文章:合并同类项

多项式可以根据加法结合律进行加法。

有两个多项式: $(3 x ^ 2 2 x + 4)$和 $(3 x ^ 2 + 6 10倍)$这些多项式的和是多少?

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总和是 $(3 x ^ 2 2 x + 4) + (3 x ^ 2 + 6 10倍)$．

根据加法的结合律，项的分组并不重要。因此，可以在不改变结果的情况下消除括号。然后求和写成 $3 x ^ 2 2 x + 4 + 3 x ^ 2 + 6 10倍$．

结合类似的项，得到的和是 $4x-6.$． $_ \广场$

以类似的方式，多项式也可以被减去。

有两个多项式: $(2 x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1)$和 $(2 x ^ 2 + 3 + 4)$．这些多项式的差异是什么？

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不同的是 $(2 x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1) - (2 x ^ 2 + 3 + 4)$．

可以将减法重新解释为具有第二多项式的否定的总和。重新解释为总和，表达成为 $（2x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1）+（ - 2x ^ 2-3x-4）$．既然表达式是一个和，加法的结合属性使项的分组无关。括号可以去掉: $2 x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1-2x ^ 2-3x-4。$

结合类似的项，得到的区别是 $2 x ^法^ 2-2x-3$． $_ \广场$

乘法

主要文章:多项式相乘

两种多项式的倍增涉及将第一多项式的每个术语与第二多项式的每个术语乘以，然后求出所得单体。乘以术语时，必须记住指数乘积法则．

有两个多项式: $(x ^ 3 + 1)$和 $(x ^ 2 + 1)$．这些多项式的产品是什么？

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乘积写成 $（x ^ 3 + 1）（x ^ 2 + 1）。$

为了证明第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，把它写成 $x ^ 3 (x ^ 2 + 1) + 1 (x ^ 2 + 1)。$现在把类似的项相乘和合并， $x ^ 5 + x ^ 3 + x ^ 2 + 1。$没有相似的项，所以结果是 $x ^ 5 + x ^ 3 + x ^ 2 + 1$． $_ \广场$

部门

主要文章:多项式除法

除法多项式常常需要将除法重写为a理性的表达．

有两个多项式: $好几次(2 x ^ + 8)$和 $(3)$．把这些多项式的商写成有理表达式。

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用有理表达式表示的商是 $好几次\压裂{2 x ^ + 8}{3}。$ $_ \广场$

这通常是商数的首选写法。有时得到的有理表达式可以更进一步简化，但不是在这种情况下。

写多项式的商的另一个选择是把它们写成多项式和有理表达式的和多项式除法．

有两个多项式: $好几次(2 x ^ + 8)$和 $(3)$．用多项式除法将这些多项式的商写成多项式与有理表达式的和。

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长律如下：

因此，得到的商为 $2x + 3 + \ frac {17} {x-3}。$ $_ \广场$

主要文章:多项式因式分解

因子多项式是重新写入多项式作为多项式的等同产物的过程。有三种常见方式，其中可以考虑多项式：分组，替换和使用身份。

通过分组进行分解：

因素 $x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1$通过分组。

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我们有

$\ begin {对齐} x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1＆=（x ^ 3 + x ^ 2）+（x + 1）\\＆= x ^ 2（x + 1）+1（x +1）\\＆=（x ^ 2 + 1）（x + 1）。\ _ \ square \ END {对齐}$

保理的替换：

因素 $2{(y+1)}^2 + 6(y+1) + 4。$

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让 $x =（y + 1），$那么多项式就变成 $2 x ^ 2 + 6 x + 4 = (2 x + 4) (x + 1)。$
用在 $x = y + 1$给了 $(2 y + 6) (y + 2)。\ _ \广场$

保理与身份：

因素 $x ^ 2-25。$

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回忆一下平方恒等式的区别: $a ^ 2-b ^ 2 =（a-b）（a + b）。$然后我们有

$x ^ 2-25 = (x5) (x + 5)。\ _ \广场$

因素 $X ^{4} + X ^{2} + 1$．

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回想一下身份： $^ 2 + 2 ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2。$如果要用这个身份 $x ^ {2}$项的系数应该是 $2$．使系数 $2$通过减去 $x ^ 2$最后:

$X ^{4} + X ^{2} + 1= X ^{4} + 2x^{2} + 1 -x^{2}。$

然后考虑完美的方形三组给予

$(x^{2} + 1)^{2} - x^{2}。$

这现在是平方的差异：

$\ big（x ^ {2} + 1 + x \ big）\ big（x ^ {2} + 1 - x \ big）。$

现在通过降下的程度来重新订购条款，我们有

$大(x^{2} +x+1)\大(x^{2}-x+1)\大)\ _ \广场$

因素 $x ^ {4} + y ^ {4}$．

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如前所述，这可以通过添加术语并减去相同术语来实现。所需的身份再次是完美的方形身份，所以应该有 $y ^ 2 x ^ {2} {2}$项在中间。加减这一项:

$X ^{4} + 2x^{2}y^{2} + y^{4} - 2x^{2}y^{2}。$

完美平方三项式因子:

$(x^{2} + y^{2})^{2} - 2x^{2}y^{2}。$

现在把平方差分解为因子:

$大(x ^ \ {2} + y ^ {2} + \ sqrt {2} xy \大)\大(x ^ {2} + y ^ {2} - \ sqrt {2} xy \大)。\ _ \广场$

一个多项式函数是A.函数它是一个多项式。

一个函数 $p (x)$是A.多项式函数如果它可以写成

$p (x) = a_nx ^ n +现代x ^ {n} {n} + \ cdots + a_1x + a_0。$

在这种形式， $A_0, a_1， \cdots, a_{n-1}， a_n$是不变系数，和 $n$为非负整数。

更简单地，如果使用添加，减法，乘法和非负整数指令进行评估，则函数是多项式函数。多项式功能也可以是多变量的。例如， $问(x, y) = 3 x ^ 2 y + 2 xy-6x + 9$是一个多项式函数。

主要文章:其余因子定理

的剩余定理和因子定理是多项式函数的重要结果，分别涉及这些函数的求值和这些函数的零。

剩余定理

当一个多项式 $p (x)$除以 $(入)$，余数为 $p（a）$．

让 $p (x)$是一个多项式函数。当 $p (x)$除以 $(入)$，其结果为多项式函数与有理表达式的和: $\ dfrac {p (x)} {x} =问(x) + \ dfrac {r} {x},$在哪里 $q（x）$表示得到的商多项式，和 $r$代表结果剩余部分。将此方程的两侧乘以 $(入)$产量 $p (x) = (x) (x) + r。$插入 $x =一个$,我们有 $p（a）=（a-a）q（x）+ r。$

因此， $r = p (a)$． $_ \广场$

因子定理

让 $f (x)$是一个多项式函数 $f (c) = 0$对于一些常数 $c。$然后 $（X-C）$是…的一个因素 $f (x)$．反之亦然。

余数是什么时候 $f (x) = x ^ 3 + 5 ^ 2 + 3$除以 $x + 1 ?$

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直接根据余数定理，余数是

$f(1) = 1 + 5 + 3 = 7。\ _ \广场$

主要文章:牛顿的身份

牛顿的身份，也称为牛顿总结或者Newton-Girard公式，给出了一种计算多项式方程的根的幂级数的有效方法，而无需计算根本身。

让 $\ alpha_1.$和 $\ alpha_2.$是多项式方程的根

$x ^ 2 + x + 1 = 0。$

什么是值 $\ alpha_1 ^ 3 + \ alpha_2 ^ 3？$

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自 $a = 1, b = 1,$和 $c = 1,$由牛顿总结

$\{对齐}开始P_0 & = a₁^ 0 + a₂^ 0 = 2 \ \ P_1 & = a₁^ 1 + a₂^ 1 = \压裂{b}{一}= 1 \ \ P_2 & = a₁^ 2 + a₂^ 2 = \压裂{b}{一}P_1 - \压裂{c}{一}P_0 = 1 \ \ P_3 & = a₁^ 3 + a₂^ 3 = \压裂{b}{一}P_2 - \压裂{c}{一}P_1 = 2。\ \ _ \广场结束{对齐}$