无理数gydF4y2Ba
无理数gydF4y2Ba是gydF4y2Ba实数gydF4y2Ba不能用二的比例来表示gydF4y2Ba整数gydF4y2Ba.更正式地说,它们不能以……的形式表达gydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 是整数,gydF4y2Ba .这与gydF4y2Ba有理数gydF4y2Ba,可以表示为两个整数之比。无理数的一个特征是gydF4y2Ba小数部分gydF4y2Ba不重复或终止。gydF4y2Ba
历史gydF4y2Ba
主要文章:gydF4y2Ba无理数的历史gydF4y2Ba
第一个认识到生命存在的人gydF4y2Ba无理数gydF4y2Ba可能会因为他的发现而死。希帕萨斯是古希腊毕达哥拉斯学派的哲学家。据说,他想用他老师的gydF4y2Ba著名的定理gydF4y2Ba 求单位正方形的对角线长度。这揭示了一个正方形的边与它的对角线是不可通约的,并且这个长度不能表示为两个整数的比例。其他毕达哥拉斯学派独断地相信只有正有理数才能存在。他们被不可通约的想法吓坏了,以至于在一次海上航行中把希帕索斯扔到了海里,并发誓要将无理数的存在作为他们教派的官方秘密。然而,有充分的理由相信希帕索斯的死亡只是一个虚构的神话。在毕达哥拉斯和希帕索斯之后800年,有关这一事件的历史文献很少。直到希帕索斯时代之后大约300年gydF4y2Ba欧几里得gydF4y2Ba能证明……的不合理性吗gydF4y2Ba
毕达哥拉斯很可能是手工测量了一个单位正方形的对角线。然而,他们会把这样的测量看作是一个近似的精确有理数,给出了对角线的真实长度。在希帕索斯之前,毕达哥拉斯学派没有理由怀疑有真实的数字,这些数字不仅在实践中,而且在原则上是无法测量或计算的。数字是毕达哥拉斯学派哲学和宗教的精神基础。宇宙学、物理学、伦理学和精神学都是以“一切都是数字”为前提的。他们相信所有的东西——天空中的星星的数量,音阶的音高,美德的品质——都可以用有理数来描述和理解。gydF4y2Ba
无理数的例子gydF4y2Ba
无理数在数学中经常出现。例子包括:gydF4y2Ba
- 底边为1的直角三角形的斜边有长度gydF4y2Ba 这是不合理的。gydF4y2Ba
- 更普遍的是,gydF4y2Ba 对任何整数都是无理数gydF4y2Ba 这不是完全平方。为了证明,我们将证明它gydF4y2Ba 后面的部分是无理数吗gydF4y2Ba非理性的gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
- 这一比率gydF4y2Ba 圆周与直径之比是不合理的。gydF4y2Ba
- 基地gydF4y2Ba 自然对数是无理数。gydF4y2Ba
为了更好地理解,请查看以下示例:gydF4y2Ba
是gydF4y2Ba 理性或非理性的吗?gydF4y2Ba
我们有gydF4y2Ba
根据上述性质2,gydF4y2Ba 是无理数,因为3不是完全平方。因此gydF4y2Ba 是无理数。gydF4y2Ba
试试下面的问题:gydF4y2Ba
无理数的性质gydF4y2Ba
- 对无理数和有理数求和得到无理数。来看看为什么这是真的,假设gydF4y2Ba 是不合理的,gydF4y2Ba 是理性的,和呢gydF4y2Ba 是有理数gydF4y2Ba .然后我们有gydF4y2Ba ,由于两个有理数的差是有理数,这意味着gydF4y2Ba 是理性的。这是自相矛盾的gydF4y2Ba 是非理性的。因此,总和gydF4y2Ba 必须是非理性的。gydF4y2Ba
- 无理数与任何非零有理数相乘得到无理数。我们如上所述的论证是为了证明gydF4y2Ba 是理性的,那么gydF4y2Ba 是否理性,与假设相矛盾gydF4y2Ba 是非理性的。因此,该产品gydF4y2Ba 必须是非理性的。gydF4y2Ba
- 的gydF4y2Ba最小公倍数gydF4y2Ba(LCM)的两个无理数可以存在,也可以不存在。gydF4y2Ba
- 两个无理数的和或乘积可能是有理数;例如,gydF4y2Ba
因此,与有理数集不同,无理数集在乘法下不是封闭的。gydF4y2Ba
以下是基于上述属性的一些例子:gydF4y2Ba
是gydF4y2Ba 理性或非理性的吗?gydF4y2Ba
自gydF4y2Ba 这是有理数。gydF4y2Ba
表明,gydF4y2Ba 是不理性的。gydF4y2Ba
我们用反证法给出一个证明。如果gydF4y2Ba 是理性的,那么gydF4y2Ba ,这意味着gydF4y2Ba 也是合理的。自gydF4y2Ba ,我们获得gydF4y2Ba 是理性的。因此,gydF4y2Ba 也是理性的,这是矛盾的。gydF4y2Ba
我们推广上面的结果来证明gydF4y2Ba 理性是否当且仅当gydF4y2Ba 是一个完全平方。gydF4y2Ba
给定的整数gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ,如果gydF4y2Ba 是理性的,那么gydF4y2Ba 是一个整数。特别是,唯一的理性gydF4y2Ba 整数的根源gydF4y2Ba 是整数。gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 是coprime整数。然后取幂并清算分母gydF4y2Ba .如果gydF4y2Ba 质数能除数吗gydF4y2Ba ,然后gydF4y2Ba 分gydF4y2Ba ,所以gydF4y2Ba 分gydF4y2Ba 因此gydF4y2Ba 分gydF4y2Ba .自gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 质数,没有质数能整除两个质数吗gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba .因此,没有质数除法gydF4y2Ba ,这意味着gydF4y2Ba .因此,gydF4y2Ba 是一个整数。gydF4y2Ba
下面是一些可以尝试的问题:gydF4y2Ba
阅读以下声明:gydF4y2Ba
1)gydF4y2Ba
是有理数。gydF4y2Ba
2)gydF4y2Ba
是无理数。gydF4y2Ba
3)gydF4y2Ba
是有理数。gydF4y2Ba
把你的答案作为真实陈述的序号的平均值。gydF4y2Ba
例如,如果所有的陈述都是正确的,答案是gydF4y2Ba
细节和假设:gydF4y2Ba
- 不一定是指数常数gydF4y2Ba 不一定等于3.14159…gydF4y2Ba
非理性的gydF4y2Ba
下面你可以看到非理性的证明gydF4y2Ba
我们用这个方法gydF4y2Ba反证法gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
假设gydF4y2Ba 为有理数:gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 是互素整数,即。gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 素数因子不相同吗gydF4y2Ba .换句话说,gydF4y2Ba 是一个不可约分数。gydF4y2Ba
解出上面的方程gydF4y2Ba
如你所见,gydF4y2Ba 是偶数,因为它是双的gydF4y2Ba .如果gydF4y2Ba 甚至gydF4y2Ba 也是偶数,因为奇数的平方是奇数,偶数的平方是偶数。gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba 是偶数,我们可以写成gydF4y2Ba 这意味着gydF4y2Ba
如你所见,gydF4y2Ba 甚至是以同样的理由吗gydF4y2Ba 是多少。等等!这里有一个矛盾。我们说gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 是互素整数吗gydF4y2Ba 不可约,但gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 都是不能构成不可约分数的偶数。因此,这是一个不可能的分数gydF4y2Ba 不能写成两个整数之比。gydF4y2Ba