抽象代数gydF4y2Ba

抽象代数gydF4y2Ba是一个广泛的数学领域，涉及代数结构，如gydF4y2Ba组gydF4y2Ba，gydF4y2Ba环gydF4y2Ba，gydF4y2Ba向量空间gydF4y2Ba,gydF4y2Ba代数gydF4y2Ba．gydF4y2Ba在12小时的时钟上，gydF4y2Ba $9 + 4 = 1gydF4y2Ba$，而不是通常算术中的13gydF4y2Ba

粗略地说，抽象代数是研究当数字系统的某些属性被抽象出来时会发生什么;例如，改变基本的定义gydF4y2Ba算术gydF4y2Ba只要操作是一致的，操作就会产生一个称为环的结构。gydF4y2Ba

例如，12小时钟就是这样一个对象的例子，其中算术运算被重新定义以使用gydF4y2Ba模运算gydF4y2Ba(模量为12)。更进一步的抽象级别——只考虑一个操作——允许将时钟理解为一个组。在任何一种情况下，抽象都是有用的，因为许多属性都可以被理解，而不需要考虑手头的特定结构，这在考虑结构之间的关系时尤其重要;一个概念gydF4y2Ba群同构gydF4y2Ba是一个例子。gydF4y2Ba

我们可以抽象出“通常”数字系统中几乎所有的属性，这样做的代价是产生的对象——被称为agydF4y2Ba岩浆gydF4y2Ba(它由一个集合和一个二进制操作组成，不需要满足闭包以外的任何属性)——太一般了，没什么意思。在另一个极端，可以抽象出几乎没有属性，这允许找到许多结果，但结果对象(通常的数字系统)太具体了，不能解决更一般的问题。gydF4y2Ba

大多数抽象代数都致力于研究那些在一般性和结构之间有合理平衡的对象gydF4y2Ba组gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba环gydF4y2Ba(下文将更详细地讨论)其中大部分基本gydF4y2Ba属性gydF4y2Ba算术的一部分被保留了下来，但是它们的细节是自由的。不过，一些更高层次的抽象有时是有用的;gydF4y2Ba拟群gydF4y2Ba，例如，都与gydF4y2Ba拉丁方块gydF4y2Ba,gydF4y2Ba独异点gydF4y2Ba常用于gydF4y2Ba计算机科学gydF4y2Ba这些都是简单的例子gydF4y2Ba类别gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

主要文章:gydF4y2Ba群理论gydF4y2Ba魔方的可能动作形成一个(非常大的)gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba．gydF4y2Ba作为一个抽象的概念，群论是有用的gydF4y2Ba对称gydF4y2Ba，这使得它适用于广泛的领域gydF4y2Ba多项式的根gydF4y2Ba(如gydF4y2Ba伽罗瓦理论gydF4y2Ba)及解决方法gydF4y2Ba魔方gydF4y2Ba都是突出的例子。gydF4y2Ba

非正式地,gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba集合是否配备了二进制操作gydF4y2Ba $\保监会gydF4y2Ba$，这样操作该组中的任意两个元素也会生成该组中的一个元素。例如，gydF4y2Ba整数gydF4y2Ba在加法和非零下形成一个群gydF4y2Ba实数gydF4y2Ba在乘法下形成一个群。的gydF4y2Ba $\保监会gydF4y2Ba$运算需要满足一些类似于这些“正常”数字系统的属性:它应该是这样的gydF4y2Ba联想gydF4y2Ba(这本质上意味着操作的顺序无关紧要)，并且应该有一个gydF4y2Ba身份gydF4y2Ba元素(在上面的第一个例子中为0，在第二个例子中为1)。更正式地说，组是一组具有某种操作的集合gydF4y2Ba $\ cdotgydF4y2Ba$使下列公理成立;请注意,gydF4y2Ba $\ cdotgydF4y2Ba$不gydF4y2Ba必然地指乘法;相反，它应该被视为一个关于两个变量的函数(实际上，gydF4y2Ba $\ cdotgydF4y2Ba$甚至可以指加法):gydF4y2Ba

组公理gydF4y2Ba

1）gydF4y2Ba结合性。gydF4y2Ba对于任何gydF4y2Ba $x, y, z \在G中gydF4y2Ba$，我们有gydF4y2Ba $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
2）gydF4y2Ba的身份。gydF4y2Ba存在一个gydF4y2Ba $e \in GgydF4y2Ba$，以致于gydF4y2Ba $E \cdot x = x \cdot E = xgydF4y2Ba$对于任何gydF4y2Ba $x \in GgydF4y2Ba$．我们说gydF4y2Ba $egydF4y2Ba$的单位元素是什么gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
3）gydF4y2Ba逆。gydF4y2Ba对于任何gydF4y2Ba $x \in GgydF4y2Ba$，存在一个gydF4y2Ba $y \in GgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $X \cdot y = e = y \cdot XgydF4y2Ba$．我们说gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$的倒数gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

同样值得注意的是，要强调闭包公理，因为在使用闭包时验证闭包是很重要的gydF4y2Ba子组gydF4y2Ba(完全包含在另一组中的组):gydF4y2Ba

4）gydF4y2Ba关闭。gydF4y2Ba对于任何gydF4y2Ba $x, y \in GgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $x * ygydF4y2Ba$也在gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

组的其他示例包括gydF4y2Ba

• $Z \ mathbb {} _n”gydF4y2Ba$，整数的集合gydF4y2Ba $\{0,1， \ldots, n-1\}gydF4y2Ba$对加法求模gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$
• $S_ngydF4y2Ba$的排列集合gydF4y2Ba $\{1,2， \ldots, n\}gydF4y2Ba$通过操作gydF4y2Ba作文gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

$S_3gydF4y2Ba$值得特别注意的是，有一个群体不是这样的gydF4y2Ba可交换的gydF4y2Ba，这意味着gydF4y2Ba $A \cdot b = b \cdot AgydF4y2Ba$做gydF4y2Ba不gydF4y2Ba一般。正式来说,gydF4y2Ba $S_3gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba其它gydF4y2Ba(一个gydF4y2Ba阿贝尔群gydF4y2Ba是一个运算是可交换的)。当操作不清楚上下文时，将以表单形式编写组gydF4y2Ba $文本(\ {},{op} \文本)gydF4y2Ba$；例如，具有乘法功能的非零实数可以写成gydF4y2Ba $(\ mathbb {R} ^ * \ cdot)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

大部分的群论(和抽象代数一般)是围绕一个概念gydF4y2Ba群同态gydF4y2Ba，这本质上意味着从一个基团到另一个基团的映射，该映射保留了基团的结构。换句话说，两个元素乘积的映射应该与两个映射的乘积相同;直观地说，两个元素的乘积在映射下不应该改变。形式上，同态是一个函数gydF4y2Ba $\phi: G \右tarrow HgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba

$\φ(g_1里面)\ cdot_H \φ(g_2) = \φ(g_1里面\ cdot_G g_2),gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $\ cdot_HgydF4y2Ba$手术是在gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\ cdot_GgydF4y2Ba$手术是在gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．例如,gydF4y2Ba $\ (g) = g \pmod ngydF4y2Ba$群同态的例子来自gydF4y2Ba $Z \ mathbb {}gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $Z \ mathbb {} _n”gydF4y2Ba$．可能不同操作的概念是必要的;例如,gydF4y2Ba $\φ(g) = e ^ ggydF4y2Ba$群同态的例子来自gydF4y2Ba $(\ mathbb {R}, +)gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $(\ mathbb {R} ^ {*}, \ cdot)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

主要文章:gydF4y2Ba环理论gydF4y2Ba

环gydF4y2Ba是最低层次的抽象之一，本质上是通过同时覆盖加法和乘法函数来获得的(与只使用一个操作的组相比)。因此，在某种意义上，一个环是多个组的组合，因为一个环可以被看作是它的任意一个操作的组。这意味着对群的分析也适用于环，但是环有额外的属性可以处理(代价是环不太一般，需要更多的条件)。gydF4y2Ba

环的定义与群的定义相似，但有一个额外的条件，即环的定义gydF4y2Ba分配律gydF4y2Ba同样适用:gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba环gydF4y2Ba是一个集合gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$与两个操作一起gydF4y2Ba $+gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\ cdotgydF4y2Ba$满足以下属性(环公理):gydF4y2Ba

(1）gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba阿贝尔群gydF4y2Ba加法。也就是说,gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$在加法下是封闭的，有一个加性恒等式(称为gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$)，每个元素gydF4y2Ba $在R \gydF4y2Ba$有一个加性逆gydF4y2Ba $——在R \gydF4y2Ba$，加法是结合律和交换律。gydF4y2Ba

（2）gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$对乘法封闭，乘法是结合律gydF4y2Ba $a、b、c\in R\quad a\cdot (b\cdot c) =(a\cdot b) \cdot c。gydF4y2Ba$

(3)乘法分布于加法:gydF4y2Ba $\forall a,b,c\in R\\ a\cdot \left(b+c \right) =a\cdot b+a\cdot c\quad text{and}\quad left(b+c \right) \cdot a=b\cdot a+c\cdot a。gydF4y2Ba$

环通常表示为gydF4y2Ba $\ (R +离开了。\右)gydF4y2Ba$通常它只被写成gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$当操作被理解时。gydF4y2Ba

例如，整数gydF4y2Ba $Z \ mathbb {}gydF4y2Ba$形成一个环，就像对整数取模一样gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$ $（gydF4y2Ba$用gydF4y2Ba $Z \ mathbb {} _n”)。gydF4y2Ba$不太明显的是gydF4y2Ba方阵gydF4y2Ba一个给定的大小也形成一个环;这个环是非交换环。交换环理论，或者gydF4y2Ba交换代数gydF4y2Ba比非交换环更容易理解。gydF4y2Ba

在群中，环同态可以定义为保持结构的映射gydF4y2Ba这两个gydF4y2Ba操作。gydF4y2Ba

环被广泛应用于gydF4y2Ba代数数论gydF4y2Ba，其中”gydF4y2Ba整数gydF4y2Ba被重新想象为略有不同的对象(例如，gydF4y2Ba高斯整数gydF4y2Ba)，以及对以下概念的影响gydF4y2Ba质因数分解gydF4y2Ba进行了分析。特别有趣的是gydF4y2Ba算术基本定理gydF4y2Ba，其中涉及到唯一因子分解的概念;在其他环中，这可能不成立，比如gydF4y2Ba

$6 = 2 \ cdot 3 = \大(1 +大概{5}\ \大)、大(1 -大概{5}\ \大)。gydF4y2Ba$

在这一领域发展起来的理论解决了从gydF4y2Ba平方和gydF4y2Ba定理,gydF4y2Ba费马最后定理gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

抽象代数也有大量的应用gydF4y2Ba物理gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba计算机科学gydF4y2Ba通过分析gydF4y2Ba向量空间gydF4y2Ba．例如，gydF4y2Ba傅里叶变换gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba微分几何gydF4y2Ba它们的基本结构都是向量空间;事实上，gydF4y2Ba庞加莱猜想gydF4y2Ba(粗略地说)是关于a的基本基的一种说法吗gydF4y2Ba廖gydF4y2Ba确定流形是否为球体。gydF4y2Ba

与向量空间相关的是gydF4y2Ba模块gydF4y2Ba，它们本质上与向量空间相同，但定义在环上而不是在a上gydF4y2Ba场gydF4y2Ba(因此更普遍)。模块与gydF4y2Ba表象理论gydF4y2Ba，将群的元素视为向量空间的线性变换;这可以使一个抽象的对象(群体)变得更加具体，在某种意义上，通过将群体翻译成一个易于理解的对象，可以更好地理解群体gydF4y2Ba线性代数gydF4y2Ba(如gydF4y2Ba矩阵gydF4y2Ba可以看作是线性变换，反之亦然)。gydF4y2Ba

将各种代数结构之间的关系形式化gydF4y2Ba范畴论gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

• 群论导论gydF4y2Ba
• 环理论gydF4y2Ba