另一个有用的例子是子组gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba的倍数的集合gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba配备补充:gydF4y2Ba
{gydF4y2Ba...gydF4y2Ba,gydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2Ba−gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2Ba0gydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2Ba...gydF4y2Ba}gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba为任意正整数。这些都是gydF4y2Ba只有gydF4y2Ba整数集合的非平凡子群,它们有助于建立一些经典的数论包括的概念gydF4y2Ba最大公约数gydF4y2Ba和gydF4y2Ba最小公倍数gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
整数相加组的子组gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba表示gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba+gydF4y2Ba)gydF4y2Ba都是以gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba对于某个正整数gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
考虑一个群gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba的gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba+gydF4y2Ba.那么0一定在里面gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba,因为0是恒等式gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba+gydF4y2Ba.如果gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba不包含除0以外的任何元素,那么gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba是平凡的群体。否则,假设gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba包含另一个元素gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba.要么gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba或gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba会是积极的,所以gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba包含积极因素。让gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba中最小的正整数gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
有必要证明这一点gydF4y2Ba
- 每个整数倍gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba是在gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba;gydF4y2Ba
- 没有其他号码gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
第一个很容易说明:因为gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba是群的公理吗gydF4y2Ba关闭gydF4y2Ba应用,所以gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba+gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba+gydF4y2Ba⋯gydF4y2Ba+gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba=gydF4y2BakgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是在gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba对于任何正整数gydF4y2Ba
kgydF4y2Ba.的倒数gydF4y2Ba
kgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是gydF4y2Ba
−gydF4y2BakgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,所以gydF4y2Ba
−gydF4y2BakgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba∈gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba也因此任意的倍数gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba是在gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
现在假设另一个数gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba在gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba.然后gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba可以写成这种形式吗gydF4y2Ba
问gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba+gydF4y2BargydF4y2Ba(例如,by thegydF4y2Ba辗转相除法gydF4y2Ba),自gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba不是的倍数吗gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
rgydF4y2BagydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.但gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba问gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba∈gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba,所以gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba−gydF4y2Ba问gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba=gydF4y2BargydF4y2Ba∈gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba,这违反了假设gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba最小的正整数在吗gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
所以gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba的倍数gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
上述证明表明任意子群等于gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba是子组中最小的整数。这给出了以下推论:gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba+gydF4y2BaZgydF4y2BabgydF4y2Ba被定义为gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba+gydF4y2BaZgydF4y2BabgydF4y2Ba=gydF4y2Ba{gydF4y2Ba米gydF4y2Ba+gydF4y2BangydF4y2Ba∣gydF4y2Ba米gydF4y2Ba∈gydF4y2BaZgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2BangydF4y2Ba∈gydF4y2BaZgydF4y2BabgydF4y2Ba}gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
也就是说,这些元素是一个元素的和gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba和一个元素gydF4y2Ba
ZgydF4y2BabgydF4y2Ba.这是gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba+gydF4y2Ba.因此gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba+gydF4y2BaZgydF4y2BabgydF4y2Ba=gydF4y2BaZgydF4y2BadgydF4y2Ba
对于一些整数gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba是gydF4y2Ba最大公约数gydF4y2Ba的gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba和gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这也显示了gydF4y2BaBezout的身份gydF4y2Ba:gydF4y2Ba
对于任何gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba,gydF4y2BabgydF4y2Ba,存在整数gydF4y2Ba
rgydF4y2Ba,gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba
一个gydF4y2BargydF4y2Ba+gydF4y2BabgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba=gydF4y2Ba肾小球囊性肾病gydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2BabgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
因为gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是gydF4y2Ba
一个gydF4y2BargydF4y2Ba对于一些整数gydF4y2Ba
rgydF4y2Ba的元素gydF4y2Ba
ZgydF4y2BabgydF4y2Ba是gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba对于一些整数gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba被命名为的gydF4y2Ba最大公约数gydF4y2Ba因为gydF4y2Ba
-
dgydF4y2Ba分gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba和gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba
(gydF4y2Ba作为gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba,gydF4y2BabgydF4y2Ba的元素gydF4y2Ba
ZgydF4y2BadgydF4y2Ba,因为gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba,gydF4y2Ba0gydF4y2Ba+gydF4y2BabgydF4y2Ba∈gydF4y2BaZgydF4y2BadgydF4y2Ba的元素gydF4y2Ba
ZgydF4y2BadgydF4y2Ba的倍数gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,即gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba的公因数是gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba,gydF4y2BabgydF4y2Ba;gydF4y2Ba
- 如果gydF4y2Ba
egydF4y2Ba分gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba和gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba,它也分为gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba
(gydF4y2Ba因为如果gydF4y2Ba
egydF4y2Ba∣gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2BabgydF4y2Ba,gydF4y2Ba然后gydF4y2Ba
egydF4y2Ba∣gydF4y2Ba一个gydF4y2BargydF4y2Ba+gydF4y2BabgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba=gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,即没有比…更大的公因数gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
同样的,gydF4y2Ba
ZgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba∩gydF4y2BaZgydF4y2BabgydF4y2Ba=gydF4y2BaZgydF4y2Ba升gydF4y2Ba对于一些整数gydF4y2Ba
升gydF4y2Ba.它被称为gydF4y2Ba最小公倍数gydF4y2Ba的gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba和gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba.原因与上述分析类似。gydF4y2Ba