∞

∞是概念大于任何数的对象。当用在上下文中“…我nf我n我tely small," it can also describe an object that is小于任何数量。重要的是要特别注意无穷大不是一个号码;相反，它只是一个抽象的概念。试图把无穷大当作一个数字，不加特别的注意，可能会导致一个数字悖论．

无限是不是一个号码!

“无穷大”经常被用来描述基数的集或其他对象(如列表或序列(指项)没有有限数量的元素。必须注意避免混淆，因为非直观的结果经常会出现:例如，整数集和偶数集具有相同的大小，尽管一个包含在另一个中。

Infinity还用于描述某些功能的限制行为，其中函数“接近无穷大”意味着它不会在没有绑定的情况下增长。例如， $f (x) = x ^ 2$接近无穷大 $x$越来越大,但 $f (x) = \压裂{2 x + 1} {x + 1}$不接近无穷大 $x$变大(相反，它接近2，如在理论中限制）。

无限是由符号表示的 $\ infty$．

无穷大的概念在各种背景下非常重要，最重要的是微积分和集理论．它也很有用几何(通过分析无限闭合点)不平等(通过分析一个无限小变化的影响)，以及许多其他领域，一个无限小变化的影响可以被分析。

尽管无穷大会导致许多违反直觉的结果，但这个概念本身相对简单:

无穷大不是数字，但如果是，那将是最大的数字。

当然，从严格意义上讲，这样一个最大的数是不存在的:如果某个数 $n$是最大的数字，然后 $n + 1$会更大，导致矛盾。因此无穷是a概念而不是A.号码．换句话说，Infinity是没有最大数量的概念。无穷大用于描述毫无终止的数量。

常见的无穷可视化包括

• 线的长度(或雷)延伸到永远;
• 需要一个人沿着圆圈行驶的时间;
• 数字的数目无理数,尤其是 $\ PI.$；
• 在任何边界内的点数，通常是一个圆靶。

术语“无穷大”也是有时候滥用指一个异常大的数，在实际应用中可以认为是无限的。例如，可能的数量国际象棋位置通常被认为是无限的，尽管这在严格意义上不是真的 $\大($事实上，大致有 $10 ^ {120}$这类职位 $\大)。$类似地,宇宙通常被认为是无限的，但事实上这是一个悬而未决的问题。

因为无穷大不是数字，所以它需要特殊的算术规则，以保持一致。这是一个有用的视图，如衡量理论，扩展了实数通过添加两个数字 $\ infty$和 $- - - - - - \ infty$，这满足了一些额外的规则：

$\ begin {对齐} a + \ infty＆= infty + a \\＆= \ infty &&（\ text {for任何} a \ text {exides} - \ infty）\\\\ a - \ infty＆= -\ idty + a \\＆= - \ infty &&（\ text {for任何} a \ text {exides} \ infty）\\\\ a \ cdot \ infty＆= \ infty \ cdot a \\＆= \ idty&&（\ text {for sondo} a）\\\\ a \ cdot \ indty＆= infty \ cdot a \\＆= - \ indty &&（\ text {for aight} a）\\\\ \ frac {}} {\ idty}＆= \ frac {a} { - \ idty} \\＆= 0 &&（\ text {for Real} a）\\\\\ \ frac {\ infty} {a}＆= infty&&（\ text {for sontive} a）\\\\ \ frac {\ infty} {a}＆= - \ idty。&&（\ text {for aight} a）\结束{aligned}$

值得注意的是 $\ frac {1} {0}$是不是 $\ infty$．另外，涉及多个无穷大的运算 $（$如 $\ infty - \ idty$和 $\压裂{\ infty} {\ infty})$是通常没有明确定义．

重要的是，注意这是一个延长为使无穷可以作为一个数来处理而特意选择的实数;没有这个背景，无限仍然是a概念而不是一个数字。例如，以下部分继续将无穷大视为一个概念而不是一个数字，因为上面的度量理论上下文不再适用。

最常见的是，“无穷大”一词用来指任意大的数;即一个无限增长的数字。因此,算术涉及无穷大可以执行，约定是 $\ infty$表示需要多大的数字。例如,尽管 $\ infty \ \ infty$是一组毫无意义的符号，它能被理解为什么呢 $n \ times n$对于一个非常大的数字 $n$．正式地，这样的表达式写为

$\lim_{n \right \ inty} n^2，$

读作“the ?限制作为 $n$去 $\ infty$的 $n ^ 2$这个数字本身比其他任何数字都大，所以可以这样写 $\lim_{n \rightarrow \ inty} n^2 = n$．限制也可以有有限的结果;例如， $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$．

这个概念在比较表达式的“快”程度时很有用趋于无穷，或者(非正式地说)变大。例如,尽管 $2 \ \ infty$和 $\ infty$基本上代表了相同的概念（这两个“数字”比任何其他）大，似乎在某种意义上应该更大，但实际上（在正确的解释下），这就是这种情况。更正式，

$\ lim_ {n \ lightarrow \ infty}（2 \ cdot n）= \ idty，\ quad \ lim_ {n \ lightarrow \ infty}（n）= \ infty$

但

$\frac{n \右tarrow \infty}(2 \cdot n)}{\lim_{n \右tarrow \infty}(n)} = = 2，$

所以前一个表达是“twice”第二个。

注意，这也说明了考虑的一个缺陷 $\ infty$作为一个数字:上面的例子表明 $\ frac {\ infty} {\ infty}$可以是2，即使它似乎应该是1.还有几种其他这样的算术功能，导致看似不合逻辑的结果，所谓的不确定的形式：

$\开始{数组}{c} & \压裂{0}{0},& \压裂{\ infty} {\ infty},四维\ cdot \ infty,四维^ 0 & \ infty ^ 0 & 1 ^ {\ infty}, & \ infty - \ infty \{数组}结束$

对于适当选择的函数，它们都可以取任何值(例如 $\ frac {\ infty} {\ infty}$上面展示）。

这些考虑，其中函数是在无穷远处求值的，形成了微积分．

的基数的集它包含它包含的元素数。例如，集合 ${1,2,3,4,5,6 \}$， $^2, e, e^2, i， -1\}$, $\ {\ color {＃d61f06} {\ text {红色}}，\ color {＃ec7300}，\ color {＃cebb00} {\ text {黄色}}，\ color {＃20a900}{\ text {green}}，\ color {＃3d99f6} {\ text {blue}}，\ color {＃69047e} {\ text {purple}} \}$所有有基本的6.一种方式来表明这一点是简单地计算每个集合中的元素，但对于更大的套件（而是不可能的），这可能是困难的。通常，可以使用更容易地找到集合的基数一对一的对应(也称为双射)，这意味着将两个集合中的元素配对:

这表明这组颜色的基数是6。这种方法将非常有用，例如，在快速查找集合的基数时 $\{10,20,30,40,50,60 \}$．

一个包含无限个元素的集合具有无限的基数。例如，正整数的集合

${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10， \ldots\}$

有无限的基数。类似地，集合有理数也有无限的基数，也是如此实数，偶数的集合等等。

从直观上看，自然数的集合似乎比偶数的集合含有更多的元素，因为前者包含后者:

$\ {2, 4, 6, 8, \ ldots \} \子集\ {1,2,3,4,5,6,7,8,\ ldots \},$

但事实上，这两种套装都有相同基数。可以从上面的一对一对应方法看到这一点（因为计算每个集合中的元素数是不可能的）：

事实上，它也可以表明这套有理数和自然数的集合有相同的基数，但是集合实数有较大基数比自然数量。

这意味着一个相当违反直觉的结果：

有几种不同的种类异议。

这是特别重要的集理论和数学的形式化，如连续统假设．

虽然Infinity的概念显得简单，但其影响可能导致高度反向的结果。最着名的是芝诺悖论，其中有三个主要的：

1.阿基里斯和乌龟

阿喀琉斯(一个非常快的战士)和乌龟正在进行一场比赛。因为阿基里斯比乌龟快得多，所以他让乌龟先跑了100米。过了一段时间，阿喀琉斯跑完了100米，而乌龟只跑了10米。但在阿喀琉斯跑完接下来的10米后，乌龟又跑完了1米。当阿喀琉斯到达那个位置时，乌龟又向前移动了一次，每次阿喀琉斯到达乌龟之前的位置时都是这样。因此阿喀琉斯永远也追不上乌龟。

2.二分法悖论

假设阿喀琉斯跑向一个固定的点(例如终点线)。首先，他必须走到终点的一半路程。然后他会走剩下距离的一半，然后再走剩下距离的一半，以此类推。但是他必须完成无数的步骤才能到达终点，所以阿喀琉斯永远不会到达终点。

3. arrow悖论

考虑飞行中的箭头。在任何实例及时，箭头处于某个固定位置，它不能移动：

• 到另一个点，因为它没有时间移动，
• 到它是，因为它已经存在，

因此，在任何时候都不会发生任何运动，而且箭根本不能完成任何运动。

这三个结论显然都是荒谬的(因为运动每天都有规律发生)，但芝诺推理的缺陷并不明显。事实上，解决这些矛盾需要一个更加健壮的框架命题逻辑和微积分，特别是正式的 $\ε- \三角洲$的定义限制．

涉及无穷大的附加悖论包括罗素悖论和伽利略的悖论，这指出了这一点

有相同数量的广场因为有数字，但大多数数字不是正方形。

这个（现代语言）是一个关于基数从上一节。

• 集理论
• 微积分概述
• 限制
• 无限的钱