阿贝尔群gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba阿贝尔群gydF4y2Ba是一个gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba组成法则是gydF4y2Ba可交换的gydF4y2Ba，即群体法gydF4y2Ba $\保监会gydF4y2Ba$满足gydF4y2Ba $G \circ h = h \circ GgydF4y2Ba$对于任何gydF4y2Ba $g hgydF4y2Ba$在集团。gydF4y2Ba

交换群通常比非交换群更容易分析，因为当群是交换群时，给定群的许多感兴趣的对象会简化为特殊情况。例如,gydF4y2Ba共轭性类gydF4y2Ba由单元素集(包含一个元素的集合)和每gydF4y2Ba子群gydF4y2Ba阿贝尔群的gydF4y2Ba正常的gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba阿贝尔群gydF4y2Ba是一组gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$与二进制运算相结合gydF4y2Ba $circ: G \乘以G \右转GgydF4y2Ba$(即。gydF4y2Ba $\保监会gydF4y2Ba$包含gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$并返回元素gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$)，满足下列性质:gydF4y2Ba

组公理gydF4y2Ba

1）gydF4y2Ba结合性。gydF4y2Ba对于任何gydF4y2Ba $x y z在G中gydF4y2Ba$的关系gydF4y2Ba $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)gydF4y2Ba$成立。gydF4y2Ba

2）gydF4y2Ba的身份。gydF4y2Ba存在一个gydF4y2Ba $在G \gydF4y2Ba$,这样gydF4y2Ba $E \circ x = xgydF4y2Ba$对于任何gydF4y2Ba $x \ GgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $egydF4y2Ba$被称为一个gydF4y2Ba单位元素gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．也可以证明gydF4y2Ba $egydF4y2Ba$必然是独特的，因此通常被称为gydF4y2Ba的gydF4y2Ba身份的元素gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

3）gydF4y2Ba逆。gydF4y2Ba对于任何gydF4y2Ba $x \ GgydF4y2Ba$，存在一个gydF4y2Ba $y \ GgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $y = y \circ XgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$被称为一个gydF4y2Ba逆gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．也可以证明gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$必然是独特的，因此通常被称为gydF4y2Ba的gydF4y2Ba逆的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．习惯上它也用来指…的反义词gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $x ^ {1}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

4）gydF4y2Ba关闭。gydF4y2Ba对于任何gydF4y2Ba $x y在G里gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $x \保监会ygydF4y2Ba$也在gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．这是由定义得出的gydF4y2Ba $\保监会gydF4y2Ba$立竿见影，但值得注意的是建设gydF4y2Ba子组gydF4y2Ba必须考虑到这个公理。gydF4y2Ba

5）gydF4y2Ba交换性。gydF4y2Ba对于任何gydF4y2Ba $x, y \ GgydF4y2Ba$的关系gydF4y2Ba $X \circ y = y \circ XgydF4y2Ba$成立。gydF4y2Ba

定义a只需要前四个条件gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba；最后一个交换性是阿贝尔群和非阿贝尔群的区别。gydF4y2Ba

交换群最简单的例子是gydF4y2Ba循环组gydF4y2Ba，它们是由单个元素生成的组，因此gydF4y2Ba同构gydF4y2Ba来gydF4y2Ba $Z \ mathbb {} _n”gydF4y2Ba$；回想一下,gydF4y2Ba $Z \ mathbb {} _n”gydF4y2Ba$被定义为gydF4y2Ba

$Z \ mathbb {} _n”gydF4y2Ba$，整数的集合gydF4y2Ba $\{0,1， \ldots, n-1\}gydF4y2Ba$，用加模的群运算gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

它们之所以这样命名，是因为连续地将群定律应用于生成器，在群的各元素之间形成了一个循环;发电机的功率gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $Z \ mathbb {} _5gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $g ^ 0 g ^ 1 g ^ 2 g ^ 3 ^ 4 g, g ^ 5 = g ^ 0 g ^ 1, g ^ 2 g ^ 3 g ^ 4, \ ldotsgydF4y2Ba$制作元素gydF4y2Ba $g^0, g^1, g^2, g^3, g^4\}gydF4y2Ba$．自gydF4y2Ba $g ^ ag) ^ g b = g ^ bg ^ = ^ {a + b}gydF4y2Ba$在美国，这些基团是交换的。gydF4y2Ba

虽然所有的循环群都是交换群，但并不是所有的交换群都是循环的。例如,gydF4y2Ba克莱恩四组gydF4y2Ba $Z \ mathbb {} _2 \ * \ mathbb {Z} _2gydF4y2Ba$是abel式的，但不是循环式的。gydF4y2Ba

相反，可逆组gydF4y2Ba矩阵gydF4y2Ba用矩阵乘法的群律不构成阿贝尔群(它是)gydF4y2Ba其它gydF4y2Ba)，因为一般来说gydF4y2Ba $MN =纳米gydF4y2Ba$对矩阵gydF4y2Ba $M, NgydF4y2Ba$．的gydF4y2Ba对称群gydF4y2Ba $S_ngydF4y2Ba$也是非abel的吗gydF4y2Ba $n \组3gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

环gydF4y2Ba也是abel群的例子，关于它们的加法运算。进一步地，环的单位就其乘法运算形成一个交换群。例如,gydF4y2Ba实数gydF4y2Ba形成一个可加的阿贝尔群，并将非零实数(记为gydF4y2Ba $R \ mathbb {} ^ {*}gydF4y2Ba$)形成一个可乘的交换群。gydF4y2Ba

如前所述，交换群形成了许多群性质的特殊情况，例如(从引言中)共轭类是单例集的事实。同样的,gydF4y2Ba

• 的gydF4y2Ba中心gydF4y2Ba组(与组中所有元素交换的元素的集合)等于它本身。反之亦然:如果一个群的中心与群本身相等，这个群就是交换群。gydF4y2Ba
• 的gydF4y2Ba换向器gydF4y2Ba(定义为gydF4y2Ba $h ^ g ^ {1} {1} ghgydF4y2Ba$)的任何两个元素是恒等式。gydF4y2Ba
• 的gydF4y2Ba派生的子群gydF4y2Ba是平凡的。gydF4y2Ba

交换群也形成agydF4y2Ba各种各样的代数gydF4y2Ba,这意味着gydF4y2Ba

• 任何gydF4y2Ba子群gydF4y2Ba阿贝尔群的也是阿贝尔群。gydF4y2Ba
• 任何gydF4y2Ba商集团gydF4y2Ba阿贝尔群的也是阿贝尔群。gydF4y2Ba
• 的gydF4y2Ba直积gydF4y2Ba两个交换群也是交换群。gydF4y2Ba

最后，集合gydF4y2Ba同态gydF4y2Ba从一个交换群到另一个交换群，用群定律形成另一个交换群gydF4y2Ba

$(f+g)(x) = f(x) +g (x)的四次方。gydF4y2Ba$

阿贝耳群可以根据它们来分类gydF4y2Ba订单gydF4y2Ba(组中元素的数量)作为gydF4y2Ba直和gydF4y2Ba循环组。更具体地说,gydF4y2Ba

克罗内克的分解定理。gydF4y2Ba序的交换群gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$可以写成这种形式吗gydF4y2Ba $Z \ mathbb {} _ {k_1} \ oplus \ mathbb {Z} _ {k_2} \ oplus \ ldots \ oplus \ mathbb {Z} _ {k_m},gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $k_igydF4y2Ba$是质数的幂吗gydF4y2Ba $k_igydF4y2Ba$用,gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．这种表示法直到求和的排列都是唯一的。gydF4y2Ba

例如，一个15阶的交换群只能写成gydF4y2Ba $Z \ mathbb {} _3 \ oplus \ mathbb {Z} _5gydF4y2Ba$，这意味着所有15阶的交换群是同构的。一个明确的例子是gydF4y2Ba ${0, 5, 10\} \oplus \{0, 3, 6, 9, 12\}gydF4y2Ba$．还有两个特殊情况值得注意:gydF4y2Ba

• 有秩序的组gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$一定是阿贝尔和同构的gydF4y2Ba $Z \ mathbb {} _pgydF4y2Ba$，因此是循环的。gydF4y2Ba
• 有秩序的组gydF4y2Ba $p ^ 2gydF4y2Ba$是交换的，和同构的gydF4y2Ba $Z \ mathbb {} _ {p ^ 2}gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $Z \ mathbb {} _p \ * \ mathbb {Z} _pgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

此外，根据上面的克罗内克分解定理，得出了阶非同构交换群的个数gydF4y2Ba $n = \ prod_i p_i ^ {e_i}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba

$a(n) = P(e_i)，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $P (n)gydF4y2Ba$分区的个数是多少gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$；换句话说,gydF4y2Ba $一个(n)gydF4y2Ba$是每个指数的分区数的乘积吗gydF4y2Ba质因数分解gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

• 群理论gydF4y2Ba
• 子群gydF4y2Ba
• 环理论gydF4y2Ba