为了确保定义良好,我们必须进行检查
f∘g(x)有道理。例如,如果
f(x)=x
和
g(x)=x−1,然后
f∘g(0)是没有正确定义的,因为我们不能拥有
−1
.因此,我们要检查的条件是上域
g(x)在…的范围之内
f(x).在后面的部分中,我们将查看不满足此条件的情况。
现在,我们假设
g(x)等于的定义域
f(x),满足这个条件。我们考虑函数
f:Y→Z和
g:X→Y,它允许我们定义函数
f∘g:X→Z.
让我们看看下面的函数组合示例,其中
f:R→R和
g:R→R是由
f(x)=x2和
g(x)=x+1.我们来看看如何求出
f(g(x))通过插入
x=1,2,3.,4,5:
这使我们对正在发生的事情有一种直观的感觉。在代数上,我们计算它
f∘g(x)=f(x+1)=(x+1)2=x2+2x+1.
我们也可以这样做
g∘f(x)并显示
g∘f(x)=g(x2)=x2+1.
观察到
f∘g=g∘f,这是一个常见的错误。我们说函数复合不是交换的。
如果
f={(1,1),(2,3.),(3.,2),(4,4)}和
g={(1,2),(2,1),(3.,4),(4,3.)}是什么
f∘g?
我们需要找到
f∘g(x)为
x=1,2,3.,4:
f∘g(1)f∘g(2)f∘g(3.)f∘g(4)=f(2)=3.=f(1)=1=f(4)=4=g(3.)=2.
因此,
f∘g={(1,3.),(2,1),(3.,4),(4,2)}.
□
考虑到功能
f:R→R和
g:R→R给出的
f(x)=x2+2x和
g(x)=x+1.是什么
f∘g(x)?
我们有
f∘g(x)=f(x+1)=(x+1)2+2(x+1)=x2+2x+1+2x+2=x2+4x+3..□
这个函数
米(t)是工厂运营时每月生产的椅子数量
t每天工作几个小时。功能
P(c)每月的利润是通过销售获得的吗
c每个月的椅子。让工厂每天运转8小时,每月的利润是多少?
如果工厂每天工作8小时,生产的椅子数量是
米(8).如果
米(8)椅子卖了,那么每月的利润是多少
P(米(8)).
□
注:更一般地,我们知道每月的营业利润
t每天的小时是
P(米(t)).
考虑到功能
f:R+→R+和
g:R+→R+给出的
f(x)=x+1和
g(x)=x1.是什么
f∘g(x)和
g∘f(x)?
我们有
f∘g(x)g∘f(x)=f(x1)=x1+1=xx+1=g(x+1)=x+11.□
另外一个问题是:如果
f:R→R和
g:R→R定义为
f(x)=2x2+3.和
g(x)=3.x−2,然后找到
1)2)3.)f∘g(x)g∘f(x)f∘f(0).
我们有
1)f∘g(x)2)g∘f(x)3.)f∘f(0)=f(g(x))=f(3.x−2)=2(3.x−2)2+3.=2(9x2−12x+4)+3.=18x2−24x