线性代数

线性代数是数学研究的一个领域，它主要关注于研究矢量空间和线性变换他们之间。

线性代数最初是作为一种求解方法出现的线性方程组．像下面这样的问题出现在所有形式的数学、科学和工程中，给线性代数一个非常广泛的应用范围:

解下列线性方程组 $x$， $y$, $z$：

$\begin{array}{r c r c r c r l} x & + & 2y & + & z & = & 12 \\ 2x & - & y & + & z & = & 1 \\ x & + & y & - & 3z & = & -4 &. \\ \end{array}$

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有没有很多方面为了解决这些类型的方程组，一个特别有趣的方法是把这三条线看作一个线性变换并观察它的对应关系矩阵：

$\开始{数组}{r c r c r c r} x & + & 2 y & + & z & = & 12 \ \ 2 x和z - & y & + & & = & 1 \ \ x & + & y & - & 3 z & = & 4 \ \ \{数组}\意味着结束\开始{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ \ 2 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & 3 \ {pmatrix}结束\ {pmatrix}开始结束x \ \ \ \ z \ {pmatrix} = {pmatrix} \开始12 \ \ 1 \ \ 4 \ {pmatrix}结束。$

然后, $\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}$是向量空间中的元素吗 $R \ mathbb {} ^ 3$，该矩阵描述了由的线性变换 $R \ mathbb {} ^ 3$本身。找到矩阵的逆然后产生答案：

${对齐}\ \开始开始{pmatrix} \压裂{2}{19}& \压裂{7}{19}& \压裂{3}{19}\ \ \压裂{7}{19}& - \压裂{4}{19}& \压裂{1}{19}\ \ \压裂{3}{19}& \压裂{1}{19}& - \压裂{5}{19}\ {pmatrix}结束\ cdot \开始{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ \ 2 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & 3 \ {pmatrix}结束\ {pmatrix}开始x \ \ \ \ z \ {pmatrix}结束& = {pmatrix} \ \开始压裂{2}{19}& \压裂{7}{19}&\压裂{3}{19}\ \ \压裂{7}{19}& - \压裂{4}{19}& \压裂{1}{19}\ \ \压裂{3}{19}& \压裂{1}{19}& - \压裂{5}{19}\ {pmatrix}结束\ cdot \ {pmatrix}开始结束12 \ \ 1 \ \ 4 \ {pmatrix} \ \ \ \ \ Rightarrow \ {pmatrix}开始x y z \ \ \ \ \ {pmatrix} & =结束\开始{pmatrix} 1 \ \ 4 \ \ 3 \ {pmatrix}结束。\ \ _ \广场结束{对齐}$

然而，线性代数不仅仅是操纵方程。线性方程通常被用来“线性化”其他数学对象，通过减少或扩展对象到一个具有线性性质的空间。

线性代数是用来解决方程系统，创建线性模型,方程近似解．许多科学和工程领域需要数值方法并且线性代数提供了绝大多数这些数字工具。人们甚至可以争辩，没有从线性代数中受益的技术科目。线性代数尤为至关重要的一些领域是数据科学，结构工程，机器学习，图像处理，线性规划，流体力学，控制理论，网络流，以及工程设计。在数学中，线性代数方法被用于代数的所有领域和许多分析领域，具有深远的例子模块理论，表象理论，傅里叶分析,功能分析．

在计算机出现之前，科学家和应用数学家的主要任务之一是为类似的表达式找到更好的近似 $\ sin x.$．求的输出 $\ sin x.$例如， $x = 7295$将需要到图书馆查阅一个值表，并且不会计算出像今天这样多的数字。学生们被教了很多计算非线性函数的技巧和算法，比如 $\ sqrt {x}$，因为没有工具（计算器或计算机）来为它们执行此操作。

现在许多学生学习基本的算术运算。今天的学生可以做任何普通计算器能做的事情，这是合理的。然而，学生不太可能会计算基本的加法和乘法以外的运算:例如，计算 $\ sqrt {x}$或值 $\ sin x.$．那么这个故事的重点是双重的：

1. 学生们现在被教导线性思考(即，主要是在基本的算术运算方面)，正因为如此，他们对学习线性代数比学习运算更有准备 $\ sin x.$得到了和 $x + y$．加法被视为比正弦功能更重要。
2. 这些线性工具都是必要的。计算器和计算机使用从线性代数派生的方法，以便近似值 $\ sqrt {x}$或 $\ sin x.$．电脑也是线性思维!

由几个向量定义的向量空间是一个可以通过对它们进行常规算术运算得到的所有东西的集合(这里，这意味着标量乘法和向量加法)。直观上，这与学生以任何方式组合数字(或向量)的图像相吻合。这样做，学生将永远不会离开向量空间(同样的直觉适用于字段)．

计算(或近似)的常用方法 $\ sin x.$来自于gram - schmidt过程．它提供了一种方法来回答这样的问题:找到五次多项式 $p (x)$最佳近似 $\ sin x.$在该区域 $[\ pi，\，2 \ pi]$在最小化最小二乘“ 错误。

线性代数学家剖析这个例子，认识到所讨论的向量空间是至多度的所有实值多项式的空间 $5$，配备有 $L ^ 2$规范。然后，问题成为Gram-Schmidt过程的直接应用。

主要文章:向量空间

一个向量空间可以被认为是一个“坐标系”，通常是由实数组成的。有些线性代数方法只在笛卡尔坐标空间中使用 $R \ mathbb {} ^ n$．向量空间是向量的多个副本的复合场，没有“向量乘法”的概念。抽象地说，向量空间是不能合并或简化的元素的倍数的和的集合，称为A基础．

向量空间提供了一个“坐标数学”可以工作的系统。它还包含了“线性”的概念。也就是说，矢量空间的现代定义和构造是数世纪数学思想进步的结果，旨在以简单、可扩展的方式解决方程组。

领域对向量空间很重要。粗略地说，字段是一个数字系统。它与实数相似，因为运算的顺序相似，存在倒数，也存在倒数。

正式，一个字段是一组 $F \ mathbb {}$一起加入 $+$和乘法 $\时代$满足以下条件的操作:

• 结合性。对所有 $a, b, c在\mathbb{F}中$，以下持: $a + (b + c) &= (a + b) + c \\ a \times (b \times c) &= (a \times b) \times c。$

• 换向。对所有 $a，b \ in \ mathbb {f}$，以下持: $\begin{aligned} a + b &= b + a \\ a \times b &= b \times a. \end{aligned}$

• 身份。存在一个元素 $0 \ \ mathbb {F}$这一切都是如此 $一个\ \ mathbb {F}$， $A + 0 = A$．存在一个元素 $1 \ in \ mathbb {f}$这一切都是如此 $b \ \ mathbb {F}$， $1乘以b = b$．

• 相反的。（仔细！）所有 $一个\ \ mathbb {F}$，有一个元素 $b_1 \中\ mathbb {F}$这样 $a + b_1 = 0$．对所有非零 $一个\ \ mathbb {F}$，有一个元素 $b_2 \中\ mathbb {F}$这样 $A乘以b_2 = 1$． $（$传统上， $B_1.$被称为 $- a$和 $B_2.$被称为 $一个^{1})。$
• 分配性。对所有 $a, b, c在\mathbb{F}中$，以下是成立的: $A \乘以(b + c) = (A \乘以b) + (A \乘以c)$

与实际数字一起工作的大量直觉携带到其他领域。例如，两个数字 $x$和 $y$用, $xy = 0$当且仅当 $x = 0.$， $y = 0$， 或两者 $= 0.$．然而，下面的“常识”语句适用于实数，但不适用于所有字段。(具体来说，它适用于所有且仅适用于具有特性的字段 $0$．）

让 $x$是领域的一个元素。没有价值 $n$这样 ${x + x + dots + x}_{n \text{times}} = n \cdot x = 0。$

特别是，有有限的领域 $p$任何质数的元素 $p$满足相同的规则模运算．(事实上，有有限的字段 $p ^ k$元素的任何正整数 $k$，但这些都比较难构建。)当然, $x = 1$和 $n = p$产量 $p + 1 + 1 + p + cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0$．注意，任何数字 $k$等于 $K \ Equiv - （p-k）\ pmod p$，所以这也相当于把一个数加到它的负数上。

类似地，从笛卡儿坐标系中得到的许多直觉也适用于一般的向量空间。

形式上，是一个向量空间 $V$集合和场在一起吗 $F \ mathbb {}$还有两个运算，称为向量加法和标量乘法:

$\begin{aligned} \text{Vector add} + \text{:}& (v， \， w) \mapsto v + w \\ \text{Scalar multiplier} \cdot \text{:}& (alpha， \， v) \mapsto \alpha \cdot v， \end{aligned}$

在哪里 $v$和 $w$向量和 $\α$是字段的一个元素吗 $F \ mathbb {}$．这些操作满足以下规则：

• 添加剂联想。对所有 $u，v，w \在v$， $U + (v + w) = (U + v) + w。$
• 添加剂换向。对所有 $v, w \in v$， $V + w = w + V。$
• 添加剂的身份。存在一个元素 $在V 0 \$这样 $V + 0 = V$对所有 $在v v \。$
• 添加剂的逆。对所有 $v \ in v$，存在一个元素 $在v$这样 $V + w = 0。$
• 标量乘法的关联性。对所有 $a，b \ in \ mathbb {f}$和 $v \ in v$， $A \cdot (b \cdot v) = (A \乘以b) \cdot v。$
• 标量乘法的恒等式。对所有 $v \ in v$， $1 v = v$， 在哪里 $1$是乘法的身份 $F \ mathbb{}。$
• 分配律除以向量加法。对所有 $一个\ \ mathbb {F}$和 $v, w \in v$， $A \cdot (v + w) = A \cdot v + A \cdot w。$
• 在现场添加的分配。对所有 $a，b \ in \ mathbb {f}$和 $v \ in v$， $(a + b) \cdot v = a \cdot v + b \cdot v。$

一个线性组合向量的 $V_1， \， v_2， \， \导，v_k$在某个向量空间中 $V$在字段 $F \ mathbb {}$是一笔 $A_1 v_1 + \ dots + a_k v_k，$在哪里 $a_i \ in \ mathbb {f}$对于每一个人 $I = 1， \， 2， \，导，k。$

1. 考虑表单中所有复数的空间 $x + iy,$在哪里 $x$和 $y$是实数。然而，请注意，在这个空间中没有“复乘法”的概念，因为向量不能相乘，而且在大多数意义上，这个空间与 $R \ mathbb {} ^ 2$，二维笛卡尔坐标。这说明复数通常用平面表示。
2. 考虑坐标空间 $（\ alpha，\，\ beta，\，\ gamma）$在哪里 $\α$， $β\$, $\γ$是复杂的数字。配备组件添加和复制标量乘法，这是矢量空间 $\ mathbb {c} ^ 3$．
3. 考虑表单所有表达式的空间 $A_1 x_{i_1} + a_2 x_{i_2} + \dots + a_n x_{i_n}$对于某个自然数 $n$,自然数 $I_1， \， i_2， \， \导，\，i_n$，形式变量 $x0， \， x_1， \， x_2， \， \$．让 $a_1，\，a_2，\，\ dots，\，a_n$是某个领域的元素 $F \ mathbb {}$．这是一个无限大的向量空间。

主要文章:基地

到目前为止，向量空间和坐标系之间的类比还没有得到充分的解释。在一个坐标系中，有一个维数和一个相关联的数坐标．在矢量空间中，可能有一个类似的维度概念，但需要提出前两个问题：

• 是否存在元素不能用坐标表示的向量空间?
• “坐标”到底是什么意思?

因此，在坐标方面只能出现任何载体的一种可能方法，并且每个向量应该具有坐标表示。此外，表示应该是有限的。在向量空间中，必须满足这些约束的坐标必须跨度空间和存在线性无关的．这样的一组被称为基础，并且复数“基础”是“基础”（译文）。

一套 $\ mathbb{年代}$传染媒介空间中的元素被称为线性无关的如果没有线性组合 $a_1 \ cdot v_1 + a_2 \ cdot v_2 + \ dots + a_k \ cdot v_k = 0，$在哪里 $v_i \中\ mathbb{年代}$， $ai$是底层字段的一个元素吗 $a_i \ ne 0$对所有 $我$ $(k$一个正整数是否一定是有限的 $）$．等价地，当且仅当一组元素中没有一个可以表示为其他元素的倍数和时，一组元素是线性无关的。注意，这直接意味着 $\ textbf {0}$不能成为任何线性独立集的元素。

一套 $\ mathbb{年代}$向量空间元素的集合跨越这个空间(或，被称为a生成集合矢量空间）如果有任何元素 $v$矢量空间可以表示为 $v = a_1 \ cdot v_1 + a_2 \ cdot v_2 + \ dots + a_k \ cdot v_k$对于一些载体 $v_i \中\ mathbb{年代}$和标量 $ai$对所有人来说 $我\ le k$ $(k$为正整数 $）$．

一个基础可以等效地定义，以任何以下方式：

1. 基是线性无关并张成空间的向量的集合。
2. 一个基础是一个最大线性无关组。也就是说，向量空间中的任何其他元素都不能被添加到这个集合中来创建一个不同的线性无关集合。
3. 一个基础是一个最小生成集合。也就是说，集合中的任何元素都不能被删除以创建另一个集合，该集合的元素张成向量空间。

所有的非平凡向量空间都有许多基底，并且给定向量空间的每一基底都必须有相同数目的元素。例如, $R \ mathbb {} ^ 3$有很多基底，一个是在坐标上的法向基底，由 $（1，\，0，\，0），$ $\ \(0, 1日,0)$, $(\ \ 0, 0, 1)$，另一个(用相同的坐标表示)是 $（1，\，2，\，1），$ $（2，\， - 1，\，1），$和 $1 (1 \ \ 1)$．一般来说，如果将有限的向量集合(它们的坐标表示)放入行中所生成的矩阵是平方的和可逆的，那么它就是一组基。

一个向量空间 $V$据说有维度 $k$如果它有一个基底 $k$元素。

由于向量空间中的所有基具有相同数量的元素，因此维数的概念是明确定义的。(也就是说，向量空间只有一维。)

主要文章:线性变换

在数学的任何领域，研究中心对象的关键问题之一就是它们如何相互作用。在这里，向量空间是研究的中心对象线性变换它们之间是映射。

一个线性变换 $T$从向量空间 $V$矢量空间 $W$，两者在一个领域 $F \ mathbb {}$，是一个函数 $T:\， V \到W$满足任何 $你，v \ v$和 $alpha \ \ \ mathbb {F}$，

• $T(u + v) = T(u) + T(v)$
• $T(v) = T(v)$

发生线性变换的常见情况是在坐标平面上 $R \ mathbb {} ^ n$．一个线性变换 $T: \mathbb{R}^2 \到\mathbb{R}^2$可以看作是平面的旋转和膨胀/收缩。一般来说，来自向量空间的线性变换 $V$其本身被称为自同态的 $V$．

一个线性变换 $t：\ mathbb {r} ^ n \ to \ mathbb {r} ^ k$必须采取a的形式 $k \ times n$矩阵。

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考虑一下 $(1 \ 0 \ \点,\,0),$ $(0 \ 1 \ \点,\,0),$通过 $(0 \ 0 \ \点,\,1)$在线性变换下 $T$．因为 $R \ mathbb {} ^ n$是可以用这些坐标的线性组合唯一地表达的，每个元素的像同样可以用这些坐标的像的线性组合来表达。因此, $k \ times n$矩阵 $米$通过放在一起形成 $n$长度的柱矢量 $k$（对应于坐标的图像）满足任何列向量 $v$在 $R \ mathbb {} ^ n$，

$T (v) = Mv。\ _ \广场$

线性代数所采用的方法可以用以下简化评估来描述:

1. 将数学对象的某些方面简化为线性关系的集合。
2. 一定要指定所讨论的向量空间:它的底层场是什么?它的尺寸是多少?它的一个基底是多少?
3. 利用线性代数中的定理来回答有关物体的问题。

此类方法现在普遍存在的数学领域，但大部分思维方式可以追溯到线性代数的起源。其成功的大部分应归因于在整个数学中广泛使用线性关系。

这是一个组合学中的著名问题，可以通过知道矩阵的秩不大于它的一个因子的秩来解决。

有 $n$住在怪镇的市民他们的主要职业是组建各种俱乐部，这在某种程度上开始威胁到城市的生存。为了限制俱乐部的数量，市议会颁布了以下看似无害的规定:

• 每个俱乐部必须有一个奇怪的数量的成员。
• 每两个俱乐部必须有一个甚至共有成员的数量。

怪人镇最多能拥有多少个俱乐部?

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在第一次阅读这个问题时，人们可能会注意到(在某种意义上)有 $2 ^ n$可能的俱乐部，每个可能的公民群体一个。然而，这并没有充分考虑到额外的限制。为了做到这一点，以更数学的方式重申规则是有帮助的。

有 $n$元素一个基础．他们的主要工作是组织各种各样的组织vectors.，在某些时候开始威胁到非常生存向量空间．为了限制向量的数量，向量空间委员会颁布了以下规则:

• 每个向量必须有一个奇模的平方(与自身的点积)。
• 每两个（独特）的矢量必须具有偶数产品。

既然这个问题已经从数学上重新表述过了，那么它到底意味着什么呢?底层的场是什么，基底是什么意思?由于规则以一种只有向量元素的奇偶性相关的方式进行了重申，因此问题简化为模运算，潜在的领域是 $\ mathbb {z} / 2 \ mathbb {z} \ cong \ mathbb {f} _2$，两个元素的场。

现在，假设有 $米$在Oddtown的vector(俱乐部)，并考虑 $m \ times n$矩阵 $一个$通过放置 $米$向量彼此重叠。然后, $现代{i, j} = 1$如果 $我^ \文本{th}$俱乐部包含 $j ^ \文本{th}$公民。然后，考虑时，理事会施加的规则 $一个^ T$:它是一个 $m \ times m$矩阵 $1$在对角线上，没有别的地方。因此，从线性代数中， $a ^ t = \ text {id} _m$其秩不大于其因子秩的最小值，所以 $m \le \text{rank}(A) = n$．

oddtown的最大俱乐部数量可能是 $n$． $_ \广场$

泛函分析主要涉及在无限向量空间上构建度量/拓扑结构。这些向量空间通常称为函数空间，它们是建立在诸如 $mathcal {c} \ big（（a，\，b），\，\ mathbb {r}大）$，在某开区间上的所有连续实值函数的空间 $(一,\ b)$．这个集合可以看作是场上的一个向量空间 $R \ mathbb {}$，并在其上定义一个范数，以添加拓扑性质。功能分析的核心集中在所谓的 $p L ^$-空间，它处理某些类的可积函数。

• 基地
• 功能分析
• 线性变换
• 矩阵
• 向量空间