矩阵

一个矩阵是按行和列排列的数字矩形数组。例如，左矩阵有两行三列，而右矩阵有三行两列:

$\开始{pmatrix} 1 2 3 4 5和6 \ \ \ {pmatrix}, {pmatrix} 1、2点\ \ \开始3和4 \ \ 5 6 \ {pmatrix}结束。$

矩阵在许多领域都很有用，并且构成了线性代数．它们的应用包括解线性方程组、寻径图论的几个应用群理论(特别是表象理论)．它们在表示方面也非常有用线性变换(特别是旋转)，因此复数；例如，矩阵

$\ {pmatrix} a&-b开始\ \ b和a \ {pmatrix}结束$

表示复数 $a + bi$．

一个矩阵是定义了加法和乘法的任何对象的矩形数组。一般来说，这些对象都是数字，但同样有效的符号矩阵，如

$M = \begin{pmatrix} \clubsuit & \circ & \blacksquare \\ text{\S} & \checkmark & \bigstar \end{pmatrix}$

只要有一个合适的理解(例如) $\选中标记\ * \ bigstar$而且 $\ \ clubsuit blacksquare +$是这样的。更正式地说，矩阵的元素可以从任意场．然而，通常最好将矩阵视为实数．

一般来说，在矩阵中，垂直元素被称为列水平元素被称为行．的大小矩阵的数量是由行而且列矩阵。例如，上面的矩阵有2行3列，因此它是a $2 \ * 3$矩阵。行数和列数相同的矩阵称为矩阵方阵尤其值得关注。

矩阵的元素由它们所在的行和列指定。例如, $\注销记录$在上述矩阵中 $米$在位置 $(2, 2):$的 $2 ^ \文本{和}$行和 $2 ^ \文本{和}$列。更明确, $M_{2,} = \选中标记$．当元素由某个公式关联时，这种表示法特别方便;例如，矩阵

$M = \开始{pmatrix} 2 3 4 \ \ 3 4 5 \ \ 4 5和6 \ {pmatrix}结束$

可以更简洁地写为 $M_ {i, j} =我+ j$为 $1 \leq i,j \leq 3$，或者更紧凑地说 $M = (i + j) _ {3 3}$ $（$在哪里 $3, 3$表示矩阵的大小 $)．$的 $我^ \文本{th}$矩阵的行也可以表示为 $M_{我*},$和 $j ^ \文本{th}$列的 $M_ {*, j}。$

在给定的矩阵中 $m \ n,$有 $m \ cdot n$元素存在。例如，在一个3 × 3矩阵中，元素的个数是 $3 \乘以3 = 9，$在2 × 4矩阵的情况下 $2 \乘以4 = 8$元素存在。

最后，定义一个只有一列的矩阵为a是值得的列向量，因为它们在表示中的点时特别有用 $n$维平面。

矩阵有几个简单的运算和一个有点复杂的运算(乘法)。第一个是加法:定义矩阵加法只有在两个大小相同的矩阵上，通过添加相应的元素来工作:

是什么

$\begin{pmatrix}2&0&5\\1&6&8\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 &5 & 7 \\1& 0& 2\end{pmatrix}?$

---

矩阵是按元素顺序添加的，所以结果是

$\begin{pmatrix} 2+3 & 0+5 & 5+7 \ 1+1 & 6+0 & 8+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 12 \\ 2 & 6 & 10 \end{pmatrix}。\ _ \广场$

如果 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 6 & 1 & 5 \end{pmatrix}$而且 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}，$然后找到一个矩阵 $X$这样 $A + b - 2x = 0$．

---

我们有

$\开始{对齐}+ B - 2 X = 0 \意味着X & = \ dfrac {A + B} {2 } \\ & = \ dfrac12 \境(\开始{pmatrix} 2 & 3 & 1 \ \ 6 & 1 & 5 \ {pmatrix} +结束\开始{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ \ 0 & 1 & 3 \ {pmatrix} \节目结束 ) \\ & = \ dfrac12 \ {pmatrix} 3 & 5 & 0开始\ \ 6 & 2 & 8 \ {pmatrix结束 } \\ & = \ 开始{pmatrix} \ dfrac32 & \ dfrac52 & 0 \ \ 3 & 1 & 4平方\ {pmatrix}结束。\ _ \ \{对齐}结束$

更正式地说，我们可以这样说:

之和 $年代$的两个矩阵 $A、B$同样大小的满足的关系

$S_{i,j} = A_{i,j} + B_{i,j}$

对所有 $我,我$在矩阵的大小之内。

矩阵相乘也是可能的标量，即单个数字，按元素顺序相乘:

是什么

$3.5 \开始{pmatrix} 2 5等于\ \ 1 6和8 \ {pmatrix} ?$

---

每个元素都乘以3.5，所以结果是

$\begin{pmatrix} 3 & 3.5 \cdot 2 & 3.5 \cdot 0 & 3.5 \cdot 5 \ 3.5 \cdot 1 & 3.5 \cdot 6 & 3.5 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 17.5 \\ 3.5 & 21 & 28 \end{pmatrix}。\ _ \广场$

更正式地说，我们可以这样说:

该产品 $P$的一个常数 $c$和矩阵 $一个$满足的关系

$P_{i,j} = c \cdot A_{i,j}$

对所有 $我,我$在矩阵的大小之内。

最后，还有更复杂的操作矩阵乘法．定义了两个矩阵的乘积只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同时;换句话说，它只可能相乘 $m \ n$而且 $n \乘以p$矩阵大小。在定义产品时，出现这种情况的原因就很明显了:

该产品 $P$一个 $m \ n$矩阵 $一个$和一个 $n \乘以p$矩阵 $B$满足

$P_{i,j} = A_{i，*} \cdot B_{*，j}$

对所有 $我,我$在矩阵的大小之内。

在这里 $现代{我*}$表示 $我^ \文本{th}$行 $一个$，这是一个向量, $B_ {*, j}$表示 $j ^ \文本{th}$列的 $B$，它也是一个矢量。因此,点 $(\ cdot)$在这个意义上指的是向量的乘法，由点积．请注意, $我$而且 $j$上定义 $1 \leq I \leq m$而且 $1 \leq j \leq p$，所以乘积 $P$将是一个 $m \乘以p$矩阵。

这个规则看起来相当武断，所以最好用一个例子来说明:

是什么

$\开始{pmatrix} 1 2 3 4 5和6 \ \ \ {pmatrix}结束\ {pmatrix} 1、2点开始\ \ 3和4 \ \ 5 6 \ {pmatrix} ?$

---

首先，注意第一个矩阵是 $2 \ * 3$第二点是 $3 \ * 2$，所以它们的乘积确实是有定义的，将会是a $2 \ * 2$矩阵。首先考虑到 $1, - 1$产品元素:

$\开始{pmatrix} \颜色{# 20 a900} {P_ {1 1}} & P_ {1,2} \ \ P_ {2, 1} &P_{2,} \结束{pmatrix} = {pmatrix} \开始1 2 3 4 5和6 \ \ \ {pmatrix}结束\ {pmatrix} 1、2点开始\ \ 3和4 \ \ 5 6 \ {pmatrix}结束。$

它等于点积 $1 ^ \文本{圣}$第一个矩阵的行 $1 ^ \文本{圣}$第二矩阵的列，即。

$\开始{对齐}\ {pmatrix} \颜色开始{# 20 a900} {P_ {1 1}} & P_ {1,2} \ \ P_ {2, 1} &P_ {2,} \ {pmatrix} & =结束\ {pmatrix} \颜色开始{# D61F06} {1} {# D61F06}{2} & \颜色& {# D61F06}{3} \颜色\ \ 4 5和6 \结束开始{pmatrix} {pmatrix} \ \颜色{# 3 d99f6}{1} 2 \ \颜色\ {# 3 d99f6}{3}和4 \ \ \颜色{# 3 d99f6}{5}结束6 \ {pmatrix} \ \ \ \ \颜色{# 20 a900} {P_{1 1}} & =(\颜色{# D61F06}{1,2,3}{# 333333}{) \颜色\ cdot(} \颜色{# 3 d99f6} {1, 3,{5} \颜色# 333333 }{)} \\ &= \ ~颜色{# D61F06} {1} {# 333333} {\ cdot} \颜色\颜色{# 3 d99f6}{~ 1 ~} \{# 333333}{+} \颜色{# D61F06} {~ 2 ~} {# 333333} {\ cdot} \颜色\颜色{# 3 d99f6}{~ 3 ~} \{# 333333}{+} \颜色{# D61F06} {~ 3 ~} {# 333333} {\ cdot} \颜色\颜色{# 3 d99f6}{~ 5} \ \ & = 22。结束\{对齐}$

所以结果的左上角是22。矩阵的其余部分可以用同样的方式填充;例如,

$\ {pmatrix}开始P_{1} &颜色\ {# 20 a900} {P_ {1,2}} \ \ P_ {2, 1} &P_{2,} \结束{pmatrix} = {pmatrix} \颜色\开始{# D61F06} {1} {# D61F06}{2} & \颜色& {# D61F06}{3} \颜色\ \ 4 5和6 \结束{pmatrix} {pmatrix} 1 & \颜色\开始{# 3 d99f6} 2 \ \ 3 & {# 3 d99f6}{4} \颜色\ \ 5 & {# 3 d99f6}{6} \颜色\ {pmatrix}结束。$

最后的结果是

$P = \ {pmatrix} 22 28开始\ \ 49 &64 \ {pmatrix}结束。\ _ \广场$

如果 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$而且 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}，$然后找到 $AB$而且 $英航$．你能从最后两个矩阵中得出什么结论?

---

这两个 $一个$而且 $B$方阵是有序的吗 $3 \乘以3$．因此这两个 $AB$而且 $英航$是定义良好的，并且矩阵是相同的阶数吗 $3 \乘以3$．

$\{对齐}开始AB & = \ {pmatrix}开始1 & 2 & 3 \ \ 2 & 3 & 1 \ \ 3 & 1 & 2 \ {pmatrix} \ cdot \结束开始{pmatrix} 1 & 0 & 2 \ \ 0 & 1 & 2 \ \ 1 & 2 & 0 \ {pmatrix结束 } \\ & = \ 开始{pmatrix} 1 \ cdot 1 + (2) \ cdot 0 + 3 \ cdot 1 & 1 \ cdot 0 + (2) \ cdot 1 + 3 \ cdot 2 & 1 \ cdot 2 + (2) \ cdot 2 + 3 \ cdot 0 \ \ 2 \ cdot 1 + 3 \ cdot 0 + (1) \ cdot 1 & 2 \ cdot 0 + 3 \ cdot 1 + (1) \ cdot 2 & 2 \ cdot 2 + 3 \ cdot 2 + (1) 0 \ \ (3) \ \ cdot cdot 1 + 1 0 + 2 \ \ cdot cdot 1 & 3 \ cdot 0 + 1 \ cdot 1 + 2 \ cdot 2 &3 \ cdot 2 + 1 \ cdot 2 + 2 \ cdot 0 \ {pmatrix结束 } \\ & = \ 开始{pmatrix} 4 & & 2 \ \ 1 & 1 & 10 \ \ 1 & 5 & 4 \结束英航& = {pmatrix} \ \ \ \ \ {pmatrix}开始1 & 0 & 2 \ \ 0 & 1 & 2 \ \ 1 & 2 & 0 \ {pmatrix}结束\ cdot \开始{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ \ 2 & 3 & 1 \ \ 3 & 1 & 2 \ {pmatrix结束 } \\ & = \ 开始{pmatrix} 5 & 0 & 7 \ \ 4 & 5 5、4 & 1 & 3 \ \ \ {pmatrix}结束。结束\{对齐}$

很明显，你可以看到 $AB \ neq英航$．因此，我们可以得出结论矩阵的乘法不一定是可交换的． $_ \广场$

目前仍不清楚为什么矩阵乘法是这样定义的。一个主要原因是在使用线性方程组。每个方程的系数可以组合成系数矩阵，变量可以排列成列向量。系数矩阵和列向量的乘积本身就是列向量，即每个方程的值。例如，方程组

$\left\lbrace \begin{aligned} x + 2y + 3z &= 9 \\ 3x + y + 4z &= 12 \ 2x + 4y - z &= 4 \end{aligned}右。$

这种形式可以写得更简洁吗

$\开始{pmatrix} 1 2 3 \ \ 3 1和4 \ \ 2 &4&-1 \ {pmatrix}结束\ {pmatrix}开始结束x \ \ \ \ z \ {pmatrix} = {pmatrix} 9 \ \ \开始12 \ \四\ {pmatrix}结束。$

这是一个非常有用的转变除了节省空间;特别是，如果可以“除法”矩阵，那么很容易找出除法是什么 $x, y, z$是通过除以系数矩阵。不幸的是，定义除法需要花费更多的精力，因此对它的进一步解释留到后面的部分。

关于矩阵乘法的一个警告是，理解以下内容是非常重要的:

矩阵乘法是不交换。换句话说，确实如此不一般事实 $AB = BA$．

最简单的理解方法是矩阵乘法只在 $m \ n$而且 $n \乘以p$矩阵;颠倒它们的顺序就得到 $n \乘以p$矩阵和一个 $m \ n$矩阵, $p$不一定等于 $米$．即使在这种情况下(如方阵)，乘法一般也不是可交换的。矩阵 $A、B$这确实满足了 $AB = BA$(适当地)叫什么通勤矩阵．

做这两个矩阵 $开始\ {pmatrix} 1 & 1 \ \ 0四维\ {pmatrix}结束$而且 $开始\ {pmatrix} 2四维\ \ 1 & 1 \ {pmatrix}结束$上下班吗?

---

没有,因为

$\开始{pmatrix} 1 & 1 \ \ 0四维\ {pmatrix}结束\ {pmatrix}开始结束2四维\ \ 1 & 1 \ {pmatrix} = {pmatrix} \开始3 & 1 \ \ 0四维\ {pmatrix}结束$

但

$\开始{pmatrix} 2四维\ \ 1 & 1 \ {pmatrix}结束\ {pmatrix} 1 & 1 \ \ 0开始结束四维\ {pmatrix} = {pmatrix} \开始2 2 \ \ 1 & 1 \ {pmatrix}结束。\ _ \广场$

最后，值得注意的是一个特殊的矩阵单位矩阵

$I_n = \ {pmatrix}开始1 0 1 0 0 0 \ ldots&0 \ \ \ ldots&0 \ \ 0 0 1 \ ldots&0 \ \ \ vdots& \ vdots& \ vdots& \ ddots& \ vdots \ \ 0 0 0 \ ldots&1 \ {pmatrix},$

这是一个 $n \ n$矩阵，除了主对角线，其他地方都是0，主对角线包含所有的1。例如,

$I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}， \qquad I_3 = \begin{pmatrix}1&0 &0\\0&1 &0\\0& 0&1\end{pmatrix}。$

它满足这个性质

$Ia = ai = a$

对于任何 $n \ n$矩阵 $一个$．从上面的定义可以清楚地看出原因。

矩阵中两个有用的函数是转置和行列式．的转置一个 $m \ n$矩阵 $一个$是一个 $n \乘以m$矩阵 $^ T$使…行 $一个$是 $^ T$，和列 $一个$是一排排的 $^ T$．例如,

$开始\ {pmatrix} 1 2 3 4 5和6 \ \ \ {pmatrix}结束^ T = \开始{pmatrix} 1和4 \ \ 2和5 \ \ 3 6 \ {pmatrix}结束。$

转置满足一些有用的性质:

• $(a + b) t = a ^ t + b ^ t$
• $(AB) ^ ^ T = B TA ^ T$
• $(^ T) ^ T =。$

第二个是最有用的，因为它(大概)意味着左乘法适用的属性也适用于右乘法。

更有趣的是行列式一个矩阵。对于行列式，有几种同样有效的定义，尽管在这一点上，如果不理解行列式应该计算什么，所有的定义似乎都是任意的。

形式上，行列式是一个函数 $文本\{侦破}$从方阵集合到满足3个重要性质的实数集合:

• $文本\{侦破}(I) = 1;$
• $文本\{侦破}$在矩阵行中是线性的;
• 如果一个矩阵的两行 $米$是相等的, $\侦破(M) = 0。$

第二个条件是最重要的。这意味着矩阵的任何一行被写成另外两个向量的线性组合，行列式可以通过“分割”这一行来计算。例如，在下面的例子中，第二行 $(0、2、3)$可以写成 $2 \cdot (0,1,0) + 3 \cdot (0,0,1)$,所以

${侦破}\ \文本开始{pmatrix} 1 0 0 \ \ 0 2 3 \ \ 0 0 1 \ {pmatrix} = 2结束\ cdot \文本{侦破}\开始{pmatrix} 1 0 0 1 0 1 0 0 0 \ \ \ \ \ {pmatrix} + 3结束\ cdot \文本{侦破}\ {pmatrix} 1 0 0开始\ \ 0 0 1 \ \ 0 0 1 \ {pmatrix} = 2。$

一个关键定理证明了这一点:

只有一个函数满足上述3种关系。

不幸的是，这对于除了最简单的矩阵之外的所有矩阵都是非常困难的，所以使用另一种定义更好。主要有两种:行列式的未成年人而且由行列式排列．

第一个，余子式行列式，用递归．基本情况很简单:a的行列式 $1 \ * 1$矩阵的元素 $一个$仅仅是 $一个$．注意，这与上面的条件是一致的，因为

$\text{det}\ end{pmatrix}=a \cdot \text{det}\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}=a$

因为 ${侦破}\ \文本开始{pmatrix} 1 \ {pmatrix} =我结束$．递归步骤如下:表示by $现代{ij}$的元素所形成的矩阵 $我^ \文本{th}$行和 $j ^ \文本{th}$列。例如,

$= \开始{pmatrix} 1 2 3 \ \ 4 5和6 \ \ 7 8和9 \ {pmatrix}结束\意味着现代{11}= {pmatrix} \开始5 6 8和9 \ \ \ {pmatrix}结束。$

那么行列式如下所示:

a的行列式 $n \ n$矩阵 $一个$是

$文本\{侦破}(A) = \ sum_ {i = 1} ^ n (1) ^ {i + 1}现代文本{侦破}{1,}\(现代{1})=现代{1 1}{侦破}\文本现代{11}现代{1,2}{侦破}\文本现代{12}+ \ cdots。$

例如,

它的行列式是什么 $\ \ {pmatrix}开始方式\ \建发集团有限公司{pmatrix} ?$

---

我们写

$\text{det}\ \c&d\end{pmatrix} = a ~\text{det}\ start {pmatrix}d\end{pmatrix} -b ~\text{det}\begin{pmatrix}c\end{pmatrix} = ad-bc。\ _ \广场$

不幸的是，这些计算可能相当乏味;已经为 $3 \乘以3$矩阵，公式太长了，在实践中很难记住。

另一种定义使用排列。让 $\σ$是的排列 $\{1, 2, 3, ldots, n\}$, $年代$这些排列的集合。

然后an的行列式 $n \ n$矩阵 $一个$是

$\ sum_{\σ\ S} \离开文本{胡志明市}(\σ)(\ \ prod_ {i = 1} ^ {n}现代{我\σ(i)} \右)。$

这个公式可能看起来比上一个公式更吓人，但实际上它更直观。它本质上是这样说的:

选择 $n$的元素 $一个$这样就不会有两个在同一行，也不会有两个在同一列，把它们相乘，也可以乘以 $－1$如果排列的符号是奇数。行列式是所有选项的和 $n$元素。

当矩阵包含许多0时，这个定义特别有用，因为大多数乘积都消失了。

下面是一个例子:

它的行列式是什么 $\ \ {pmatrix}开始方式\ \建发集团有限公司{pmatrix} ?$

---

有两种排列 $第1、2 \ \ {}:$ $第1、2 \ \ {}$本身和 $\ {2 1 \}$．第一个是正号(因为它有0次转置)，第二个是负号(因为它有1次转置)，所以行列式是

$\文本{侦破}(A) = \ sum_{\σ\ S} \离开文本(\{胡志明市}(\σ)\ prod_ {i = 1} ^ {n}现代{我\σ(i)} \右)= 1 \ cdot现代{1 1}现代{2,}+ (1)\ cdot现代{1,2}现代{2,1}= ad-bc。$

不出所料，这与上面的结果相同。 $_ \广场$

行列式是一个非常重要的函数，因为它满足许多额外的性质，这些性质可以从上述的三个条件推导出来。它们如下:

1. 可乘: $文本\{侦破}(AB) ={侦破}\文本(一)\文本{侦破}(B)。$
2. 行操作下的不变性:如果 $一个“$矩阵是由任意一行的倍数加到另一行形成的吗 $文本\{侦破}(A) ={侦破}\文本(“)。$
3. 不变性在转置: $文本\{侦破}(A) ={侦破}\文本(^ T)。$
4. 行交换下的符号更改:If $一个“$那么，矩阵是由交换两行位置形成的吗 $文本\{侦破}(')= - \文本{侦破}(A)。$

如下一节所示，乘法性质具有特殊的重要性。

在矩阵乘法部分的最后，有人指出，“除”矩阵将是一项极为有用的操作。为了创建一个除法，理解数字除法的定义是很重要的:

除以一个数 $c$等于乘以一个数 $c \压裂{1}{}。$

也就是说，除以 $c$等于乘以一个数 $d$这样 $cd = 1$．这就解释了除法“应该”做什么:除以 $c$然后乘以 $c$等于什么都不做，也就是乘以1。上面的定义确保了这一点。

矩阵“除法”，如果它存在，应该遵循同样的原则:乘以一个矩阵，然后除以它，应该等于什么都不做。然而，在矩阵乘法中，等于什么都不做就是乘以 $我$．

这就引出了一个自然的定义:

的逆一个矩阵的 $一个$是一个矩阵 $一个^ {1}$这样 $AA ^{1} = ^{1} =我$．

一个很自然的问题是是否所有的矩阵都有逆。不幸的是，答案是否定的，但这并不奇怪:也不是所有的数字都有倒数(不可能被0除)。的确，前一节的行列式的乘法性质表明了这一点:since $AA ^{1} =我$，

$\开始{对齐}\文本{侦破}\大(AA ^{1} \大)& ={侦破}\文本(I) \ \ \文字{侦破}(A){侦破}\ \文本大(^{1}\大)& ={侦破}\文本(I) \ \ & = 1。结束\{对齐}$

所以它是必要的 $文本\{侦破}(A)$非零。把它作为充分条件有些困难，但它确实是这样的:

一个矩阵有逆当且仅当它的行列式不为零。

值得记住的是 $2 \ * 2$案例:

矩阵的逆 $\ \ {pmatrix}开始方式\ \建发集团有限公司{pmatrix}结束$，如果存在，则为

$\压裂{1}{ad-bc} \ {pmatrix} d&-b开始\ \ c&a \ {pmatrix}结束。$

这并不难证实。

一般情况下，逆矩阵可以通过分析代数余子式矩阵,一个 $n \ n$矩阵 ${咖啡}\文本(A)$令人满意的

${咖啡}\文本(一)_ {i, j} = (1) ^ {i + j}{侦破}\文本现代{他},$

在哪里 $现代{他}$指的是通过去除 $j ^ \文本{th}$行和 $我^ \文本{th}$列从 $一个$．这个矩阵满足这个性质

${咖啡}\文本(A) = ~{咖啡}(A) = \ \文本文本{侦破}(A)。$

这提供了另一个原因 $一个$是可逆的当且仅当它的行列式不为零。同样值得注意的是 $2 \ * 2$代数余子式矩阵 $\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a \end{pmatrix}$，这与上面的公式一致。

点击此处查看完整文章:用矩阵求解线性系统．

以上部分提供了求解线性方程组的一般方法:

1. 在系数矩阵中排列系数 $一个$．
2. 把变量排列成一个向量 $v \ mathbf {}$．
3. 将结果值排列到另一个向量中 $\ mathbf {b}$．现在的目标是解出这个方程 $一个\ mathbf {v} = \ mathbf {b}。$
4. 计算 $一个^ {1}$的逆 $一个$，例如，通过上一节的辅助因子方法。
5. 两边同时乘以 $一个^ {1}$在左边。然后 $\ mathbf {v} = ^ {1} \ mathbf {b}$，这是一个简单的矩阵乘法。

有一个潜在的陷阱: $一个$不存在。这意味着行列式 $一个$是0，所以有两行 $一个$互为倍数的;这意味着原始方程组有两个互为倍数的方程。这意味着要么没有解，要么无穷解。

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