平方和定理
关于两平方和的费马定理
在这种情况下 ,关于两个平方和的费马定理说这是一个奇数主要的 是否可表示为两个平方和当且仅当 对于某个正整数 .形式上,关于两个平方和的费马定理说
对于奇素数 当且仅当
比如奇数质数 , , 都等于吗 .根据费马定理关于两个平方和的预测,每一个都可以表示为两个平方和: , , .另一方面,奇数质数 , , 都等于吗 不能表示为两个平方和。
证明
关于两个平方和的费马定理的第一个证明是由莱昂哈德·欧拉在1749年给出的。它使用的技术是无限下降法证明,直观地利用了正整数从下有有限界这一事实。完整的证明是相当复杂的,所以下面是欧拉证明的一般轮廓。
使用Diophantus的身份为了证明两个数的乘积,每个数都是两个平方和,它本身也是两个平方和。
再次使用丢番图的恒等式,证明一个数是两个平方和,并且可以被一个质数整除,这个质数是两个平方和,这意味着商是两个平方和。
利用2的结果,反证法如果一个数可以写成两个平方和,并且可以被一个不是两个平方和的数整除,这意味着商有一个因子不是两个平方和。
通过无限下降,证明如果 和 都是相对质数,那么每一个因子 是两个平方和。
使用费马小定理,证明了每个质数的形式 是两个平方和。
应用程序
如果是奇数 可以用乘积来表示吗 其中的所有因子 等于 ,然后 可以表示为两个平方和。这相当于说 可以表示为两个平方和,如果所有的质因数是 一致, 指数是偶数。发现 和 这样 意味着 ,它是两个平方和,所以证明简化为证明它 当 质数的乘积是全等的吗 .通过重复应用费马定理和Brahmagupta-Fibonacci恒等式,证明相对简单Diophantus的身份.
先前结果的一个应用是合数它可以表示为两个平方和,相对容易分解。欧拉分解法需要表示一个数字 作为两个不同的平方和的和,即。 .利用这些知识,该算法确定地确定的重要因素 .不幸的是,该算法的使用有限,因为没有简单的方法来确定是否 质因数是否等于 有奇数指数。
勒让德的三平方定理
在这种情况下 ,勒让德的三平方定理他说自然数 是否可表示为三个平方和当且仅当 为整数 和 .形式上,勒让德的三平方定理是这样说的:
为
当且仅当
例如, , , 不能用形式表示 对于某些整数 和 .正如勒让德的三平方定理所预测的,每个都可以表示为三个平方的和: , , .另一方面,蛮力会揭示这一点 , , 不能表示为三个平方和。
勒让德三平方定理的证明相当复杂,因此不在这里介绍。事实上,这是一个证明 是在1770年被发现的,比勒让德发现他的第一个证据早了整整28年 .
拉格朗日四平方定理
在这种情况下 ,拉格朗日四平方定理也被称为巴切特猜想,它说每一个正整数 可以表示为四个平方和。形式上,拉格朗日四平方定理是这样说的:
为
例如, , , .
有了勒让德的三平方定理,证明拉格朗日的四平方定理就相当简单了。
如果 ,然后 等于 或 ,当 或 ,分别。
别的, 等于 或 ,所以 可以表示为三个平方和。自 根据勒让德的三平方定理,这意味着 四个平方和。
对于这种情况 ,因为 可以表示为三个平方和吗 自 根据勒让德的三平方定理, 能表示为四个平方和吗 来 是3的平方和。自 ,那么 它是四个平方和。
对于这种情况 请注意 .因此,如果存在四个平方和 ,则它存在于 同样,因为 .反复分裂 通过 最终会得到一个等于的数 , ,或 ,可以通过前三步表示为四个平方和。
表达 作为四个平方和。
提示:用上面的拉格朗日四平方定理的证明。
自 ,则适用第四种情况,答案为 在哪里 .因此,我们需要找到 满足 .自 ,则适用第三种情况,并且 .一个快速猜测和检查 第二种情况下,自从 揭示了 .因此, .