对称
对称描述一个物体的几个部分是相同的,这样就可以翻转、旋转和/或移动物体,而不会最终改变它的样子。对称是一种非常强大和美丽的解决问题的工具,它随处可见:在艺术、建筑、自然和数学的所有领域!二维对称的三种基本类型是反射,旋转,翻译.在愉快地阅读了这一页之后,您将能够识别所有形式的二维对称。
事实上,很快你就不能了停止看到对称!它无处不在,甚至在这一页的字母中。
以上是英语字母表中的几个字母,它们有不同的对称风格(一个旋转和两个不同的反射)。
我们将在下面详细探讨所有美丽的对称类型。
旋转
旋转对称可以在自然、艺术、数学和实用的人造物体的一些最美丽的方面看到。在这里,我们将定义旋转对称,描述旋转对称的“阶数”,并讨论几个有趣的旋转对称的例子。
旋转对称:一个物体具有旋转对称,如果它在被旋转(旋转)某一特定的量后看起来没有变化,小于360度的旋转。自旋的中心点叫做对称点的旋转。
让我们来看看字母表中具有旋转对称性的字母。
把你正在看的书翻过来(180度旋转),很多字母,比如S和Z,都不会“受到影响”。
我们的下一步将是检查订单一个物体的旋转对称。让我们从旋转对称顺序的正式定义开始。
旋转对称阶
当一个物体具有旋转对称时订单这种对称性指的是物体经过精确的旋转后,在不同位置上的数量,物体看起来和它最初的样子完全一样。
例如,请看下面的图表:
所以一个物体的旋转对称可以有2,3,4,5,6,…,或任何其他整数 除了……我们忘记提1阶旋转对称的例子了吗?不,我们没有,这是故意的。第1阶的旋转对称并不存在,因为如果一个形状在我们旋转时只与自身匹配一次(即它在一个完整的旋转后与自身匹配),那么就根本不存在对称。
世界上最高的摩天轮,也被称为伦敦眼,其旋转对称的顺序是什么?
世界最高的摩天轮伦敦眼具有32阶的旋转对称性。
下面所示的平行四边形的旋转对称的顺序是什么?
在平行四边形中,对边平行,对角线彼此等分。
我们将这个平行四边形旋转 在每一个连续的回合,直到一个完整的革命,然后看看有多少次它达到相同的外观,原来的。
平行四边形在一次完全旋转中两次获得相同的外观,即后一次 旋转和之后的 旋转。平行四边形的旋转对称的顺序也是2。
你能找出下图中美丽花朵的旋转对称顺序吗?
当旋转一个完整的周期时,它看起来是相同的5次。因此,花的旋转对称阶为5。
Brilliant的logo是否具有旋转对称?如果是,那么它的顺序是什么?
以曲线三角形为焦点。因为三角形的曲线是不均匀的,所以每一边看起来都不一样。因此,Brilliant的标志不具有旋转对称。
我们已经讲了几个旋转对称的例子,下面是基于相同概念的一些问题:
反射
我们已经讨论了几个有趣的关于旋转对称的场景。为了继续我们的旅程,现在我们将继续讨论反射对称和它出现的许多地方。我们将从定义反射对称开始。
反射对称:一个物体具有反射对称,如果存在一条线,物体可以被翻转(反射),使它在翻转前后看起来完全相同。物体翻转的那条线叫做对称轴(复数:对称轴).
一个物体可以有0,1或多个对称轴。对称轴有时也叫a线的对称。
例如,字母A和M,每个都有一个垂直的对称轴,
字母E和K都有水平对称轴,
字母H和X有水平和垂直的对称轴。
我们如何知道某条线是否是物体的对称轴呢?这很简单:对称轴本质上就像一面镜子。在轴的位置,如果我们放置一个镜子,我们应该得到相同的形状。让我们来看一个例子。
讨论等腰三角形的对称性。
我们可以看到,如果我们在中间画一条垂直线,那么三角形就会被分成两部分,这两部分互相反射。因此,等腰三角形具有反射对称。
注意:我们如何识别给定物体的对称轴?嗯,这是一种技能,而且越练习越好!
许多几何图形都有一个或多个对称轴:正方形、矩形、抛物线、双曲线、圆、椭圆等等(数不胜数!)但很容易看到额外的对称轴。例如,有一个问题,如果不仔细考虑,大多数人都会答错!
矩形的对角线是对称轴吗?
一个常见的误解是,所有将图形分成两个全等部分的线都是对称线。情况并非总是如此!例如,(非正方形)矩形的对角线为不对称的线条
注意:如果你在对角线上反射一个矩形的左下角,你形成的图形就叫做风筝。
这个规则的五角星有多少条对称线?
五角星有5条对称线。我们可以在下图中清楚地看到它们。有一条对称线穿过这颗星的5个点。
令人惊讶的事实是,反射对称在自然界也是丰富的,这迫使我们热爱对称,我们可以享受它的乐趣。这里有一个有趣的事实:世界上99%以上的动物都有反射对称,包括我们熟悉的智人物种!
说明人体具有反射对称。
从外面看,第一眼看上去,人体朝前的角度似乎是对称的。我们可以在中心画一个垂直的对称轴。
你在上面看到的兰花的图像也具有反射对称。
许多人造建筑也表现出反射对称。对称看起来很漂亮,也很吸引人的眼睛。难怪那么多著名的建筑都是对称的。让我们通过以下例子来环游世界:
世界七大奇迹之一:泰姬陵
美丽的阿德莱德工作室
这里有几个问题供你自己尝试,可以检验你对对称轴的理解。
我们现在可以很容易地计算出一个物体或图形的对称性。让我们做一个例子和一个问题来抓住我们对对称线数的理解。
梅赛德斯-奔驰的标志有多少条对称的线条?
试着数数对称线的数目不看圆.如果圆不在这里,我们有三条线从一点延伸,我们可以很容易地算出来 线的对称。
考虑一个正则 百分度, 为偶数。这个形状有多少对称线?
将有几个不同的行数:
已经有 对称的线条,每一条都穿过一边,从另一边离开。为了不重复计算,我们用边数除以 .
我们将也有另一个 每条线都穿过一个 -gon的角和从相反的离开。
因此,一个 -偶数 有 反射对称的线条。
令人惊讶的是,雪花也具有对称性。让我们通过例子和问题来更加熟悉雪花。
讨论雪花的对称性。
所有雪花都具有6级旋转对称。雪花是对称的,因为它们反映了水分子在固态(结晶过程)中排列的内部顺序。固态的水分子,比如冰和雪中的水分子,彼此之间会形成弱键(称为氢键)。这些有序的排列形成了基本对称的六角形雪花。
翻译
哇!通过上面的部分,我们发现我们被对称的物体包围着,甚至是许多活的!我们还需要进一步讨论一种对称性:平移对称.让我们从平动对称的定义开始,然后我们将继续把对称形象化并对其进行处理。
平移对称:平移对称是指图案在某一特定方向移动(“平移”)某一特定距离之前和之后看起来相同。具有平移对称的图案看起来就像是由一个有印记的人创造的,在表面上沿着直线移动,并在移动时以一定的间隔进行印记。一个例子如下:
如果一个物体或图案可以向某个方向滑动,并最终在运动结束时保持不变,那么这个物体或图案就具有平移对称。例如,无限连续的椭圆序列(.........)具有平移对称。
让我们来做一些平移对称的有趣的例子。
的图像 在PPM(百万分之一)中具有平移对称,如上图所示。原因如下:
二氧化碳 是一种重要的温室气体,通过砍伐森林和燃烧化石燃料等人类活动以及呼吸作用和火山爆发等自然过程释放出来。
这种季节性循环是由于北半球广阔的陆地,其中包含了大部分陆地植被。其结果是在北方的春季和夏季,植物吸收二氧化碳时,大气中的二氧化碳减少 作为光合作用的一部分。随着北半球秋冬季节大气中二氧化碳的增加,这种模式发生了逆转。在寒冷的月份里,每年的碳峰值出现在每年的植被死亡和树叶掉落和分解时,这将把它们的碳释放回空气中。
有几种人造物体具有平移对称。这里我们列出了其中的一些,但你可以自由地探索具有平移对称的物体,并从中获得乐趣。
路灯
火车轨道
设计壁纸
这里有一个跨国对称的特殊情况:在平移和反射之间的组合称为滑移反射.
滑动反射:滑动反射是两种变换的组合:在直线上的反射和在直线上的平移。
只有无限条才能具有平移对称或滑动反射对称。对于平移对称,你可以将整条带子滑动一段距离,图案就会落在自己身上。对于滑动反射对称,你可以在某条线上反射图案,然后沿着这条线的方向滑动,它看起来没有变化。而且模式必须在两个方向上永远持续下去。
例如,请参见以下内容:
主要文章:弗里兹模式
结合对称
我们已经逐一讨论了所有的对称类型,现在让我们在同一个问题中应用不同类型的对称!
让我们从一些有趣的例子开始,这些例子使用了反射对称和旋转对称,但没有平移对称。
m·c·埃舍尔
我们将通过提及一位了不起的艺术家来结束这一页,他花了大量的时间来探索对称,并创造了令人惊叹的设计,结合了对涉及令人敬畏的创造力的数学的高级理解!
M. C.埃舍尔是一位荷兰数学家,他一生的大部分时间都致力于研究数学镶嵌.他创作的绘画通过几何和图案展示了数学之美。
非周期彭罗斯拼图
彭罗斯瓷砖是由一组非周期原始瓷砖产生的非周期瓷砖,以数学家和物理学家罗杰·彭罗斯的名字命名,他在20世纪70年代研究了这些瓷砖。彭罗斯瓷砖的非周期性意味着没有平移对称,即一个移动的副本将永远不会匹配原始。一个彭罗斯瓷砖可以用这两个5阶反射对称和旋转对称,如下例所示。
讨论圆的不同对称性。
反射对称:在一个圆中有无限多的反射对称线。
旋转对称:旋转对称的数量级也是无限的,因为你可以将一个圆旋转任意大小,它将保持不变。
只要一个问题,我们将完成我们所有的目标,通过这一页。我们开始吧:
一个人在图的上半部分画了3个小三角形 .然后他在每一半上画了5个三角形 ,每一半留8 .当上半部分折叠在中线上,2对 三角形与三对相重合 三角形。还有2个 - 对。
有多少 对一致吗?
每一半有16个小三角形,每一半有3个小三角形 三角形,5 三角形,和8 三角形。也有两对 三角形,所以2 每边使用三角形,剩下1 三角形,5 三角形,和8 每一半都有三角形。还有,有3对 三角形,使用3 每边都有三角形,所以是1 三角形,2 三角形,和8 每一半都有三角形。还有2 - 对。这个显然不能用2 一边是三角形,因为每一边只有1,所以我们必须用1 三角形和1 每边是三角形,剩下2 三角形和7 三角形。剩下的 三角形不能与其他三角形相匹配 三角形表示多于3个 所以剩下的 三角形必须成对 三角形,收益率为4 - 一对,剩下的一对 三角形。这个使用2 三角形和2 每边都有三角形,剩下5个 每个三角形,它们必须相互配对,所以有5个 - 对。
让我们通过解决以下问题来完成这个页面的目标: