群同构定理gydF4y2Ba

在gydF4y2Ba群理论gydF4y2Ba，据说有两组gydF4y2Ba同构gydF4y2Ba如果存在一个双射gydF4y2Ba同态gydF4y2Ba(也称为同构)。同构两个组之间的同构gydF4y2Ba $G_1里面gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $G_2gydF4y2Ba$(非正式)gydF4y2Ba $G_1里面gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $G_2gydF4y2Ba$是同一组，只是写成了两种不同的写法。gydF4y2Ba

很多团体来自gydF4y2Ba商gydF4y2Ba结构与以更直接和简单的方式构造的组同构。有三个标准同构定理通常用于证明商群及其子群的事实。gydF4y2Ba

这个定理是三个定理中最常用的。给定两个群之间的同态性gydF4y2Ba第一同构定理gydF4y2Ba给出了两个相关群之间诱导同构的构造。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$分成两组，让gydF4y2Ba $结肠\φ\ G \ HgydF4y2Ba$是群同态。然后gydF4y2Ba内核gydF4y2Ba $φ\ textrm {ker} (\)gydF4y2Ba$是正常的子群吗gydF4y2Ba $克,gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba

$φG / \ textrm {ker} (\) \ simeq \ textrm {Im}(\φ)。gydF4y2Ba$

在这里gydF4y2Ba $φ\ textrm {Im} (\)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba图像gydF4y2Ba的同态gydF4y2Ba $\φ,gydF4y2Ba$哪个是的子群gydF4y2Ba $H。gydF4y2Ba$同构的gydF4y2Ba $\波浪号{\φ}gydF4y2Ba$是完全自然的:让gydF4y2Ba $N = \ textrm {ker}(\φ),gydF4y2Ba$ $\波浪号{\φ}gydF4y2Ba$发送一个元素gydF4y2Ba $gNgydF4y2Ba$的商gydF4y2Ba $G / NgydF4y2Ba$对这个形象gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$下gydF4y2Ba $\φ。gydF4y2Ba$也就是说,gydF4y2Ba $\波浪号{\φ}(gN) = \φ(g)。gydF4y2Ba$

的gydF4y2Ba第二同构定理gydF4y2Ba涉及两个商组，涉及子组的积和交集。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$组成一个小组，让gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$成为一个子群体，让gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$成为一个正常的子群体。然后gydF4y2Ba $HN = \{HN: h \in h, n \in n \}gydF4y2Ba$是子群吗gydF4y2Ba $克,gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba

$H/(H \cap N);gydF4y2Ba$

的gydF4y2Ba第三个同构定理gydF4y2Ba在分析商群的正规子群时非常有用。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$组成一个团队，然后gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$正规子群。然后gydF4y2Ba

的子群体之间有一种自然的一一对应关系gydF4y2Ba $G / NgydF4y2Ba$和子组gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$包含gydF4y2Ba $N。gydF4y2Ba$通信匹配子组gydF4y2Ba $KgydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$包含gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$与子群gydF4y2Ba $K / NgydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $G / N。gydF4y2Ba$

(2)这种对应保持了常态性:的正常子群gydF4y2Ba $G / NgydF4y2Ba$的正常子群gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$包含gydF4y2Ba $N。gydF4y2Ba$这是一个子群gydF4y2Ba $KgydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$包含gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$是正常的gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$当且仅当gydF4y2Ba $K / NgydF4y2Ba$是正常的gydF4y2Ba $G / N。gydF4y2Ba$

(3)对应保持商:如果gydF4y2Ba $KgydF4y2Ba$是正常的子群吗gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$包含gydF4y2Ba $N,gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $(G / N) / (K / N) \ simeq G / K。gydF4y2Ba$

考虑到集团gydF4y2Ba $GL_2 ({\ mathbb R})gydF4y2Ba$可逆矩阵。的gydF4y2Ba行列式gydF4y2Ba同态是从哪里来的gydF4y2Ba $GL_2 ({\ mathbb R})gydF4y2Ba$对乘法组gydF4y2Ba ${} \ mathbb R ^ *gydF4y2Ba$非零实数的。它也是满射的gydF4y2Ba $一个\ 0,gydF4y2Ba$的行列式gydF4y2Ba $\small \begin{pmatrix} a&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$)．第一个同构定理是这么说的gydF4y2Ba $GL_2({\mathbb R})/N \simeq {\mathbb R}^*，gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$是行列式同态的核心。在这里,gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$仅仅是同态传递给恒等矩阵的集合吗gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$的gydF4y2Ba ${} \ mathbb R ^ *,gydF4y2Ba$即有行列式的矩阵子群gydF4y2Ba $1.gydF4y2Ba$这就是所谓的gydF4y2Ba $SL_2 ({\ mathbb R})。gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $GL_2 ({\ mathbb R}) / SL_2 ({\ mathbb R}) \ simeq {\ mathbb R} ^ *gydF4y2Ba$通过第一个同构定理。gydF4y2Ba

第三同构定理的一个重要结论是gydF4y2Ba $GL_2 ({\ mathbb R})gydF4y2Ba$包含gydF4y2Ba $SL_2 ({\ mathbb R})gydF4y2Ba$是正规的，因为商群是交换的，所以它的所有子群都是正规的。的第三同构定理也给出了子群的完整描述gydF4y2Ba $GL_2 ({\ mathbb R})gydF4y2Ba$包含gydF4y2Ba $SL_2 ({\ mathbb R})gydF4y2Ba$;它们由行列式位于子群中的矩阵组成gydF4y2Ba ${} \ mathbb R ^ *。gydF4y2Ba$

假设gydF4y2Ba $x, ygydF4y2Ba$都是正整数gydF4y2Ba $x | y。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $y{\mathbb Z} \subseteq x{\mathbb Z}。gydF4y2Ba$求出商的阶gydF4y2Ba $x {\ mathbb Z} / {\ mathbb Z}。gydF4y2Ba$

---

这是第三同构定理的一个应用。让gydF4y2Ba $G = {\mathbb Z}， H = x{\mathbb Z}， N = y{\mathbb Z}。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $G / H \ simeq (G / N) / (H / N)。gydF4y2Ba$现在gydF4y2Ba $| | G / H = xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $| G / N | = y,gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $H / N | | = y / x。gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

证明gydF4y2Ba $\text{lcm}(a,b) \text{gcd}(a,b) = abgydF4y2Ba$利用第二个同构定理和前面的例子。gydF4y2Ba

---

让gydF4y2Ba $G= {\mathbb Z}， H = a{\mathbb Z}， N = b{\mathbb Z}。gydF4y2Ba$群律是加法，因此第二同构定理成为gydF4y2Ba $\frac{a{\mathbb Z} + b{\mathbb Z}}{b{\mathbb Z}} \simeq \frac{a{\mathbb Z}}{a{\mathbb Z} \cap b{\mathbb Z}}。gydF4y2Ba$现在gydF4y2Ba $a{\mathbb Z} \cap b{\mathbb Z} = \text{lcm}(a,b){\mathbb Z}gydF4y2Ba$，因为它是两者的倍数的集合gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $b。gydF4y2Ba$

另一方面，gydF4y2Ba $a{\mathbb Z} + b{\mathbb Z}gydF4y2Ba$所有整数的集合是这种形式吗gydF4y2Ba $ax + by,gydF4y2Ba$ $x,y \in {\mathbb Z}。gydF4y2Ba$初等数论中一个著名的结果叫做gydF4y2BaBezout的身份gydF4y2Ba表示这个集合由的倍数组成gydF4y2Ba ${gcd} \文本(a, b)。gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $文本\压裂{\ {gcd} (a, b) {\ mathbb Z}} {b {\ mathbb Z}} \ simeq \压裂{一个{\ mathbb Z}} {{lcm} \文本(a, b) {\ mathbb Z}}。gydF4y2Ba$取两边的阶数，用前面的例子给出gydF4y2Ba $文本\压裂{b} {\ {gcd} (a, b)} = \压裂{\文本{lcm} (a, b)} {},gydF4y2Ba$结果如下。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

第一同构定理的证明:gydF4y2Ba

为了证明第一定理，我们首先要确定gydF4y2Ba $\ operatorname {ker} \φgydF4y2Ba$是正常子组(wheregydF4y2Ba $\ operatorname {ker} \φgydF4y2Ba$同态的核是什么gydF4y2Ba $\φgydF4y2Ba$，映射到目标组的单位元素的所有元素的集合gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$)．这意味着我们需要证明对于任何同态，单位元在核中，核中元素的逆也在核中，核中两个元素的乘积也在核中，对于任意gydF4y2Ba

$g \in g, n \in \operatorname{ker} \phi \longrightarrow g^{-1} ng \in \operatorname{ker} \phigydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

看一下单位元素gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $\ operatorname {ker} \φgydF4y2Ba$,可以考虑gydF4y2Ba $\phi(e_G g)， g \in ggydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $e_GgydF4y2Ba$的单位元素gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．一方面:gydF4y2Ba

$\phi(e_G g) = \phi(e_G) \phi(g)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

但另一方面，gydF4y2Ba

$\phi(e_G) = \phi(g)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

所以我们必须gydF4y2Ba

$\phi(e_G) \phi(g) = \phi(g) \forall g \in g \Longrightarrow \phi(e_G) = e_H \Longrightarrow e_G \in \operatorname{ker} \phigydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

我们同样证明了逆的存在性gydF4y2Ba $\ operatorname {ker} \φgydF4y2Ba$:如果gydF4y2Ba $N \in \operatorname{ker} \phigydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba

$\ \φ(n ^{1})φ(n) = \φ(n ^ {1} n) = \φ(e_G) = e_HgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

$\phi(n^{-1}) \phi(n) = \phi(n^{-1})gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba

$\phi(n^{-1}) = e_H \forall n \in \operatorname{ker} \phi \Longrightarrow n^{-1} \in \operatorname{ker} \phigydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

闭包很容易证明:gydF4y2Ba

$\phi(n_1 n_2) = \phi(n_2) = e_H \Longrightarrow (n_1)(n_2) \in \operatorname{ker} \phi \forall n_1, n_2 \in \operatorname{ker} \phigydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

证明gydF4y2Ba $\ operatorname {ker} \φgydF4y2Ba$内是正常的gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$，注意，对于任何gydF4y2Ba $N \in \operatorname{ker} \phigydF4y2Ba$和任何gydF4y2Ba $在g g \gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

$\φ(g ^ {1} n g) = \φ(g ^{1}) \φ(n) \φ(g) = \φ(g ^{1}) \φ(g) = \φ(g ^ {1} g) = \φ(e_G) = e_HgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

所以gydF4y2Ba $g^{-1} n g \in \operatorname{ker} \phi \forall g \in g, n \in \operatorname{ker} \phigydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

证明gydF4y2Ba $\ operatorname {Im} \φgydF4y2Ba$也是一组可以通过类似的手段来完成的。为了简单起见，让我们参考gydF4y2Ba $\ operatorname {ker} \φgydF4y2Ba$作为gydF4y2Ba $KgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\ operatorname {Im} \φgydF4y2Ba$作为gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$．商集团gydF4y2Ba

$G / KgydF4y2Ba$

定义为一组余集gydF4y2Ba $g K, g \in ggydF4y2Ba$，乘以gydF4y2Ba $(a K)(b K) = (ab) KgydF4y2Ba$．证明了这个群和之间的同构gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$，考虑同态性gydF4y2Ba

$\widetilde{\phi} \colon G/K \longrightarrow H， \widetilde{\phi} (a K) = \phi(a) \forall a \in GgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

根据函数像的定义，任何函数都是满射的，或者说映上它的像，所以我们只需要证明它gydF4y2Ba $\ widetilde{\φ}gydF4y2Ba$是单射的，或一对一的:gydF4y2Ba

$\widetilde{\phi}(a K) = \widetilde{\phi}(b K) \Longrightarrow a K = b KgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

从方程开始gydF4y2Ba

$φ= \ \φ(a) (b)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

两边左乘gydF4y2Ba $\φ(b ^ {1})gydF4y2Ba$得到:gydF4y2Ba

$\phi(b^{-1} a) = e_H \Longrightarrow b^{-1} a \in KgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这意味着gydF4y2Ba

$B ^{-1} a = fgydF4y2Ba$对于一些gydF4y2Ba $在K f \gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba

$a = b f \in b KgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $b = a f^{-1} \in a KgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

因为关闭gydF4y2Ba $KgydF4y2Ba$在乘法运算中，表示形式的每一个元素gydF4y2Ba $a f'， f' \in KgydF4y2Ba$也会在gydF4y2Ba $b KgydF4y2Ba$．但这些恰恰是gydF4y2Ba $一个KgydF4y2Ba$．所以gydF4y2Ba $a K \子集b KgydF4y2Ba$．第二个关系向我们展示了这一点gydF4y2Ba $b K \子集a KgydF4y2Ba$．所以我们必须gydF4y2Ba $b K = a KgydF4y2Ba$．这就完成了第一个同构定理的证明。gydF4y2Ba

第二同构定理的证明:gydF4y2Ba

这个证明依赖于第一同构定理。这很容易看出来gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$内是正常的gydF4y2Ba $接下来的gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $H \ N帽gydF4y2Ba$内是正常的gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$．既然同构的两边都是商群，如果我们能构造同构就好了gydF4y2Ba $\ ph_1 \colon HN \longrightarrow K_1gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $\operatorname{ker} \phi_1 = NgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $\phi_2 \colon H \longrightarrow K_2gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $\operatorname{ker} \phi_2 = H \capgydF4y2Ba$，然后证明gydF4y2Ba $\operatorname{Im} \phi_1 \simeq \operatorname{Im} \phi_2gydF4y2Ba$．幸运的是，一个正常子群的许多等价定义之一是存在一个同态，它的核是那个子群。让gydF4y2Ba $\ phi_1gydF4y2Ba$是同态的gydF4y2Ba $接下来的gydF4y2Ba$一些组gydF4y2Ba $KgydF4y2Ba$哪个满足这个性质gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$．所有的元素gydF4y2Ba $接下来的gydF4y2Ba$可以表示为gydF4y2Ba $h \in h, n \in ngydF4y2Ba$．注意:gydF4y2Ba

$\phi_1 (hn) = \phi_1 (h) \phi_1 (n) = \phi_1 (h)gydF4y2Ba$，当且仅当，这将不同于单位元gydF4y2Ba $范围内随意抽查,h \ NgydF4y2Ba$．这意味着gydF4y2Ba

$\ operatorname {Im} \ phi_1 = \ {\ phi_1 (h) | h \在接下来的 \} = \{ \ phi_1 (h) | h在h \ \}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

现在考虑同样的同态作用于子群gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $接下来的gydF4y2Ba$．它的核是所有的元素gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$哪些也是元素gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$,或gydF4y2Ba $H \ N帽gydF4y2Ba$．当它作用于这个基团时，它的像被定义为gydF4y2Ba $\ operatorname {Im} \ phi_1 | _H = \ {\ phi_1 (h) | h在h \ \}gydF4y2Ba$等于的像gydF4y2Ba $\ phi_1gydF4y2Ba$当它被应用到gydF4y2Ba $接下来的gydF4y2Ba$．所以这两个商群gydF4y2Ba

$HN / NgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $H / (H \帽N)gydF4y2Ba$

都同构于同一个基团，gydF4y2Ba $\ operatorname {Im} \ phi_1gydF4y2Ba$．因此它们彼此是同构的。gydF4y2Ba