商集团gydF4y2Ba

当gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba正规子群gydF4y2Ba的gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba $克,gydF4y2Ba$的gydF4y2Ba商集团gydF4y2Ba $G / NgydF4y2Ba$由"gydF4y2Ba坍缩的元素gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$的身份。gydF4y2Ba“更准确地说，是布景gydF4y2Ba $G / NgydF4y2Ba$定义为一组等价类，其中两个元素gydF4y2Ba $g hgydF4y2Ba$是等价的，如果gydF4y2Ba叠合组gydF4y2Ba $gNgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $接下来的gydF4y2Ba$都是一样的。gydF4y2Ba

到目前为止最著名的例子是gydF4y2Ba $G = mathbb Z, N = N \mathbb Z，gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$是某个正整数，群运算是加法。然后gydF4y2Ba $G / NgydF4y2Ba$是加性基团gydF4y2Ba ${\ mathbb Z} _n”gydF4y2Ba$的整数gydF4y2Ba模gydF4y2Ba $n。gydF4y2Ba$因此商群构造可以看作模算术对任意群的推广。实际上是商群gydF4y2Ba $G / NgydF4y2Ba$读”gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$国防部gydF4y2Ba $N。gydF4y2Ba$＂gydF4y2Ba

商gydF4y2Ba $G / HgydF4y2Ba$一个定义明确的集合是什么时候gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$是不正常的。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$成为一个团体gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$子群。然后gydF4y2Ba $G / HgydF4y2Ba$是左陪集吗gydF4y2Ba $gH = \{gH \冒号h \in h \}，gydF4y2Ba$作为gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$运行的元素gydF4y2Ba $G。gydF4y2Ba$

这一套用于证明gydF4y2Ba拉格朗日定理gydF4y2Ba为例。事实上，拉格朗日定理的证明证明了如果gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是有限的,那么gydF4y2Ba $| | G / H = | | G / H | |。gydF4y2Ba$请注意,gydF4y2Ba $g_1H = g_2H \Leftrightarrow H = g_1^{-1}g_2H \Leftrightarrow g_1^{-1}g_2gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$是正常的，那套呢gydF4y2Ba $G / NgydF4y2Ba$具有自然的群体结构;因为gydF4y2Ba $Ng_2 = g_2NgydF4y2Ba$ $(g_1N)(g_2N) = g_1g_2NN = g_1g_2N。gydF4y2Ba$这给出了陪集乘法的公式。这个公式的另一种表达方式是:gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$的正规子群是gydF4y2Ba $克,gydF4y2Ba$然后函数gydF4y2Ba $G到G/NgydF4y2Ba$给出的gydF4y2Ba $\π(g) = gNgydF4y2Ba$是一组gydF4y2Ba同态gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

商群的定义使用陪集，但用它们有些笨拙。表示陪集通常比较容易gydF4y2Ba $gNgydF4y2Ba$的符号gydF4y2Ba $g \上划线gydF4y2Ba$；然后gydF4y2Ba ${\眉题g_1里面}{\眉题g_2} ={\眉题{g_1g_2}}gydF4y2Ba$像预期的那样。重要的一点是，无论哪个代表都是如此gydF4y2Ba $g_1里面,g_2gydF4y2Ba$选择:如果gydF4y2Ba ${\眉题{g_1里面'}}={\眉题{g_1里面}}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba ${\眉题{g_2 '}} ={\眉题{g_2}},gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $g_1'g_2 ' = g_1里面n_1 g_2甲烷= g_1里面g_2 \大((g_2 ^ {1} n_1 g_2)甲烷\大)在g_1g_2N \,gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $\眉题{g_1'g_2 '} = \眉题{g_1g_2}。gydF4y2Ba$另一种说法是:包含两个陪集代表的乘积的陪集独立于代表的选择。gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$是不正常的。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $G = S_3,gydF4y2Ba$的gydF4y2Ba对称群gydF4y2Ba在三个符号。让gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$为由置换生成的二元子群gydF4y2Ba $(12)。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $G / HgydF4y2Ba$由三个陪集组成:gydF4y2Ba

• $H = {id， (12)\}gydF4y2Ba$

• $(13) H = \ {(13), (123) \}gydF4y2Ba$

• $(23) H = \ {(23), (132) \}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

自gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$是不是正常，它不继承集团结构吗gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$；换句话说，两个陪集代表的乘积将落在一个不独立于代表的选择的陪集上。gydF4y2Ba

例如,在gydF4y2Ba $id \ HgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $(13) \ H (13),gydF4y2Ba$这两个代表的乘积是gydF4y2Ba $(13),gydF4y2Ba$这是在gydF4y2Ba $(13) H。gydF4y2Ba$而是采取gydF4y2Ba $(12) \ HgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $(13) \ H (13),gydF4y2Ba$我们发现gydF4y2Ba $(12)(13) = (132) \in (23)HgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

当gydF4y2Ba $G = mathbb ZgydF4y2Ba$(与加法给出的组律一致)和gydF4y2Ba $N = 6{\mathbb Z}，gydF4y2Ba$商gydF4y2Ba $G / NgydF4y2Ba$是的陪集的集合吗gydF4y2Ba $N。gydF4y2Ba$通常选择的陪集代表是gydF4y2Ba $0、1、2、3、4、5gydF4y2Ba$．比如陪集gydF4y2Ba $1 + 6 {\ mathbb Z}gydF4y2Ba$略gydF4y2Ba ${\overline{1}} \in {\mathbb Z}_6，gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba ${\ mathbb Z} _6左= \ \{{\眉题{0}},{\眉题{1}},{\眉题{2}},{\眉题{3}},{\眉题{4}},{\眉题{5}}\右\}。gydF4y2Ba$添加在gydF4y2Ba ${\ mathbb Z} _6gydF4y2Ba$像预期的那样:gydF4y2Ba ${\眉题{一}}+{\眉题{b}} ={\眉题{a + b}}。gydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $a + b > 6,gydF4y2Ba$减去gydF4y2Ba $6gydF4y2Ba$会在范围内给陪集代表吗gydF4y2Ba $\{0, 1, 2, 3, 4, 5 \}。gydF4y2Ba$例如,gydF4y2Ba ${\眉题{3}}+{\眉题{5}}={\眉题{8}}={\眉题{2}}。gydF4y2Ba$在这里gydF4y2Ba ${\眉题{8}}={\眉题{2}}gydF4y2Ba$因为gydF4y2Ba $8-2 \在6{\mathbb Z}，gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $8+6{mathbb Z} = 2+6{mathbb Z}。gydF4y2Ba$

主要文章:gydF4y2Ba群同构定理gydF4y2Ba

的三个基本gydF4y2Ba同构定理gydF4y2Ba都涉及商群。最重要和最基本的是第一同构定理;第二个和第三个定理本质上是由第一个定理推导出来的。这里有一些应用该定理的例子。gydF4y2Ba

(第一同构定理)gydF4y2Ba一群同态gydF4y2Ba $G到HgydF4y2Ba$引发一个同构gydF4y2Ba ${\眉题{\φ}}\结肠G / \文本{ker}φ(\)\ \文字{im}(\φ)gydF4y2Ba$自然的定义gydF4y2Ba ${\眉题{\φ}}({\眉题{g}}) = \φ(g)。gydF4y2Ba$

的gydF4y2Ba复数gydF4y2Ba $zgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $| | z = 1gydF4y2Ba$在乘法下形成一组。调用这个组gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$(单位圆)。表明,gydF4y2Ba ${mathbb R}/{mathbb Z}}gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $R \ mathbbgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\ mathbb ZgydF4y2Ba$分别表示实数和整数的相加组。gydF4y2Ba

---

考虑到功能gydF4y2Ba $\phi \冒号{\mathbb R}到CgydF4y2Ba$给出的gydF4y2Ba $(r) = e^{2\ ir}。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $\φgydF4y2Ba$显然是满射的，因为每个复数都有绝对值gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$可以写成gydF4y2Ba $e ^{我\θ}gydF4y2Ba$对于某个实数gydF4y2Ba $\θgydF4y2Ba$(通过gydF4y2Ba欧拉公式gydF4y2Ba）.的内核gydF4y2Ba $\φgydF4y2Ba$是实数的集合吗gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $E ^{2\ ir} = 1，gydF4y2Ba$即。gydF4y2Ba $cos(2 r) = 1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $sin(2 r) = 0。gydF4y2Ba$当且仅当gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$是整数，所以呢gydF4y2Ba $\text{ker}(\phi) = mathbb Z。gydF4y2Ba$

结果直接由第一个同构定理导出。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

第一个同构定理的另一个例子是一个非交换群及其商的有吸引力的非平凡的例子。gydF4y2Ba

考虑对称群gydF4y2Ba $S_4gydF4y2Ba$在四个符号。它置换了这个四面体的顶点:gydF4y2Ba保留了不相交的边对。gydF4y2Ba^{［1］gydF4y2Ba}有三对不相交的边:两条紫色边、蓝色/绿色边和红色/黄色边。顶点的任何排列都将以这样一种方式排列边以使这些对相互移动。例如，红色和黄色顶点的调换将固定紫色边对，但红色/黄色对将与蓝色/绿色对交换位置。gydF4y2Ba

所以任何排列gydF4y2Ba $S_4gydF4y2Ba$将有一个相关的排列这三个对象(边对)。这给出了一个函数gydF4y2Ba $从S_4到S_3。gydF4y2Ba$它是同态的(本质上是同态的，因为两边的群运算只是函数的复合)。它的内核gydF4y2Ba $两者的gydF4y2Ba$它包含四个要素，即同一性和三个双转位。(任何双换位将固定一对中的两条边，并将交换其他两对中的边。例如，交换黄色和红色的顶点，然后交换蓝色和绿色的顶点，将保持紫色的边对不变，但将交换蓝色和绿色的边，以及黄色和红色的边。这三对保持在相同的位置，即使其中的两条边可能交换了位置。)这一点不难证明gydF4y2Ba $\φgydF4y2Ba$是满射。gydF4y2Ba

第一个同构定理给出了一个同构gydF4y2Ba ${\overline{\phi}} \冒号S_4/V_4 \cong S_3。gydF4y2Ba$

1. Atiliogomes。gydF4y2Ba完全图K4的邻接点可区分的全着色gydF4y2Ba．2013年5月25日，从gydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Avd-total-coloring-of-complete-graph-K4.svggydF4y2Ba