决定因素GydF4y2Ba

这个GydF4y2Ba决定因素GydF4y2Ba一个正方形的GydF4y2Ba矩阵GydF4y2Ba是由矩阵的元素确定的值。在一个GydF4y2Ba $2 \ * 2GydF4y2Ba$矩阵，行列式由GydF4y2Ba

$\text{det}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad-bc，GydF4y2Ba$

而较大的矩阵有更复杂的公式。GydF4y2Ba

行列式，尽管其定义显然是人为的，但在数学中有很多应用;例如，它们出现在GydF4y2Ba鞋带配方GydF4y2Ba用于计算面积，它作为GydF4y2Ba共线性GydF4y2Ba条件为三个共线点定义一个面积为0的三角形。更一般而言，行列式可用于检测GydF4y2Ba线性独立性GydF4y2Ba某些载体(或缺乏)的。行列式在GydF4y2Ba多元微积分GydF4y2Ba（尤其是在GydF4y2Ba雅可比GydF4y2Ba)，在计算GydF4y2Ba叉积GydF4y2Bavectors。GydF4y2Ba

形式上，行列式是一个函数GydF4y2Ba $\文本{det}GydF4y2Ba$从方阵集到矩阵集GydF4y2Ba实数GydF4y2Ba，满足3个重要特性：GydF4y2Ba

• $文本\{侦破}(I) = 1GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba
• $\文本{det}GydF4y2Ba$在矩阵的行中是线性的。GydF4y2Ba
• 如果矩阵的两行GydF4y2Ba $MGydF4y2Ba$是相等的,GydF4y2Ba $\ det（m）= 0GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

第二个条件是到目前为止最重要的。这意味着矩阵的任何一行都被写成其他两个向量的线性组合，行列式可以通过“拆分”该行来计算。例如，在下面的示例中，第二行GydF4y2Ba $(0,2,3)GydF4y2Ba$可以写成GydF4y2Ba $2 \cdot (0,1,0) + 3 \cdot (0,0,1)GydF4y2Ba$所以GydF4y2Ba

$\text{det}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}=2\cdot\text{det}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0&0&0&1\end{pmatrix}+3\cdot\text{det}\begin pmatrix}1&0&0&0&0&1\end}=2。GydF4y2Ba$

一个关键定理表明GydF4y2Ba

只有一个函数满足上述三个关系。GydF4y2Ba

不幸的是，除了最简单的矩阵外，这对于所有的矩阵都是非常困难的，所以最好使用另一种定义。主要有两种选择:GydF4y2Ba未成年人行列式GydF4y2Ba和GydF4y2Ba置换行列式GydF4y2Ba．GydF4y2Ba

行列式是一个非常重要的函数，因为它满足从上述3个条件中导出的一些附加性质。它们是:GydF4y2Ba

1. 可乘:GydF4y2Ba $\ text {det}（ab）= \ text {det}（a）\ text {det}（b）GydF4y2Ba$
2. 行操作下的不变性：如果GydF4y2Ba $A'GydF4y2Ba$是通过将任意行的倍数添加到另一行而形成的矩阵，然后GydF4y2Ba $文本\{侦破}(A) ={侦破}\文本(的)GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba
3. 转置下的不变性：GydF4y2Ba $\text{det}（A）=\text{det}（A^T）GydF4y2Ba$
4. 行交换下的符号更改：如果GydF4y2Ba $A'GydF4y2Ba$是通过交换两行的位置形成的矩阵，然后GydF4y2Ba $\text{det}（A'）=-\text{det}（A）GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

乘法性质特别重要，部分原因是它在逆矩阵中的应用。GydF4y2Ba

这个GydF4y2Ba未成年人行列式GydF4y2Ba方法计算行列式使用GydF4y2Ba递归GydF4y2Ba．基本情况很简单:a的行列式GydF4y2Ba $1次1GydF4y2Ba$带元素的矩阵GydF4y2Ba $A.GydF4y2Ba$只是GydF4y2Ba $A.GydF4y2Ba$．注意，这与上面的条件一致，因为GydF4y2Ba

$\text{det}\begin{pmatrix}a\end{pmatrix} =a \cdot \text{det}\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}=a \GydF4y2Ba$

作为GydF4y2Ba $\text{det}\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}=IGydF4y2Ba$．递归步骤如下GydF4y2Ba $A{ij}GydF4y2Ba$的删除所形成的矩阵GydF4y2Ba $i^\text{th}GydF4y2Ba$争吵GydF4y2Ba $j^\text{th}GydF4y2Ba$列。例如,GydF4y2Ba

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\意味着A{11}=\begin{pmatrix}5&6\\8&9\end{pmatrix}。GydF4y2Ba$

然后，行列式由以下公式给出：GydF4y2Ba

行列式GydF4y2Ba $n \ nGydF4y2Ba$矩阵GydF4y2Ba $A.GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba

$文本\{侦破}(A) = \ sum_ {i = 1} ^ n (1) ^ {i + 1}现代文本{侦破}{1,}\(现代{1})=现代{1 1}{侦破}\文本现代{11}现代{1,2}{侦破}\文本现代{12}+ \ cdots。GydF4y2Ba$

例如，GydF4y2Ba

行列式是什么GydF4y2Ba $\开始{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}？GydF4y2Ba$

---

我们写GydF4y2Ba

$\ text {det} \ begin {pmatrix} a＆b \\ c＆d \ neat {pmatrix} = a〜\ text {det} \ begin {pmatrix} d \ neg {pmatrix} - b〜\ text {det} \ begin {pmatrix} c \结束{pmatrix} = ad-bc。\ _ \ squareGydF4y2Ba$

不幸的是，这些计算可能会变得相当乏味;已经为GydF4y2Ba $3次3次GydF4y2Ba$这个公式太长，在实践中记不住。GydF4y2Ba

另一种方法，GydF4y2Ba置换行列式GydF4y2Ba，使用矩阵元素的置换计算行列式。让GydF4y2Ba $\西格玛GydF4y2Ba$排列GydF4y2Ba $\{1, 2, 3, ldots, n\}GydF4y2Ba$,GydF4y2Ba $sGydF4y2Ba$这些排列的集合。GydF4y2Ba

然后是一个决定因素GydF4y2Ba $n \ nGydF4y2Ba$矩阵GydF4y2Ba $A.GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba

$\ sum_{\σ\ S} \离开文本{胡志明市}(\σ)(\ \ prod_ {i = 1} ^ {n}现代{我\σ(i)} \右)。GydF4y2Ba$

这看起来比以前的公式更令人恐慌，但实际上它更直观。它基本上说：GydF4y2Ba

选择GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$的元素GydF4y2Ba $A.GydF4y2Ba$这样的这样，没有两个是在同一行中，没有两个在同一列中，并且乘以它们，也可以乘以GydF4y2Ba $－1GydF4y2Ba$如果排列有奇数符号，行列式是所有选择的和GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$元素。GydF4y2Ba

当矩阵包含许多零时，此定义特别有用，因为大多数乘积都会消失。GydF4y2Ba

以下是一个例子：GydF4y2Ba

行列式是什么GydF4y2Ba $\开始{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}？GydF4y2Ba$

---

有两种排列GydF4y2Ba $\{1,2\}GydF4y2Ba$:GydF4y2Ba $\{1,2\}GydF4y2Ba$本身和GydF4y2Ba $\ {2 1 \}GydF4y2Ba$.第一个有正号（因为它有0个换位），第二个有负号（因为它有1个换位），所以行列式是GydF4y2Ba

$\文本{侦破}(A) = \ sum_{\σ\ S} \离开文本(\{胡志明市}(\σ)\ prod_ {i = 1} ^ {n}现代{我\σ(i)} \右)= 1 \ cdot现代{1 1}现代{2,}+ (1)\ cdot现代{1,2}现代{2,1}= ad-bc。GydF4y2Ba$

毫不奇怪，这与上述结果相同。GydF4y2Ba $_\方格GydF4y2Ba$

计算行列式的最简单的例子是GydF4y2Ba上三角GydF4y2Ba（及GydF4y2Ba下三角GydF4y2Ba）通过使用上面的置换方法：GydF4y2Ba

1. 三角行列式GydF4y2Ba

   • 上三角行列式(主对角线以下的元素为GydF4y2Ba零GydF4y2Ba）：GydF4y2Ba
     $X=\text{det}\begin{vmatrix}a&b&c&d\\0&f&g&h\\0&0&k&l\\0&0&p\end{vmatrix}=a\times f\times k\times p。GydF4y2Ba$
   • 下三角行列式（主对角线上方的元素为GydF4y2Ba零GydF4y2Ba）：GydF4y2Ba $X= text{det}\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0 \e & f & 0 & 0 \ i & j & k & 0 \ m & n & o & p \end{vmatrix}=a\times f\times k\times p。GydF4y2Ba$

2. 对角线行列式（位于主对角线下方和上方的元素为GydF4y2Ba零GydF4y2Ba）：GydF4y2Ba $X=\text{det}\begin{vmatrix}a&0&0&0\\0&f&0\\0&0&k&0\\0&0&0&p\end{vmatrix}=a\times f\times k\times p。GydF4y2Ba$

这是有用的，因为矩阵可以通过行操作转换成这种形式，而不影响行列式:GydF4y2Ba

求行列式的值GydF4y2Ba

$X=\begin{vmatrix}1&2&2&1\\1&2&4&2\\2&7&5&2\\-1&4&-6&3\end{vmatrix}。GydF4y2Ba$

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我们有GydF4y2Ba

$\开始{对齐}[X] = & \开始{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \ \ 1 & 2 & 4 & 2 \ \ 2 &7&5&2 \ \ 1 &4&-6&3 \ {bmatrix结束 } \\\\\\ \ }{{矩阵}\文本行_1 \ rightarrow \文本行}{_1 \ \ \文字}{行_2 - 2 \文本行}{_1 \ rightarrow \文本行}{_2 \ \ \文字}{行_3 - 2 \文本行}{_1 \ rightarrow \文本行}{_3 \ \ \{行}_4文本- 3 \文本行}{_1 \ rightarrow \文本{行}_4 \{矩阵}结束\Rightarrow &\begin{bmatrix} 1&2&2&1\\ -1&-2&0&0\\ 0&3&1&0\\ -4&-2&-12&0 \end{bmatrix} \\\\\\ \begin{matrix} \text{row}_1 \rightarrow \text{row}_1 \\ \text{row}_2 \rightarrow \text{row}_2 \\ \text{row}_3 \rightarrow \text{row}_3 \\ \text{row}_4 +12\text{row}_3 \rightarrow \text{row}_4 \end {matrix} \Rightarrow &\begin{bmatrix} 1&2&2&1\\ -1&-2&0&0\\ 0&3&1&0\\ -4&34&0&0 \end{bmatrix} \\\\\\ \begin{matrix} \text{row}_1 \rightarrow \text{row}_1 \\ \text{row}_2 \rightarrow \text{row}_2 \\ \text{row}_3 \rightarrow \text{row}_3 \\ \text{row}_4 +17\text{row}_2 \rightarrow \text{row}_4 \end {matrix} \Rightarrow &\begin{bmatrix} 1&2&2&1\\ -1&-2&0&0\\ 0&3&1&0\\ -21&0&0&0 \end{bmatrix} \\\\\\ \begin{matrix} \text{row}_4 \rightarrow \text{row}_1 \\ \text{row}_2 \rightarrow \text{row}_2 \\ \text{row}_3 \rightarrow \text{row}_3 \\ \text{row}_1 \rightarrow \text{row}_4 \end {matrix} \Rightarrow - &\begin{bmatrix} -21&0&0&0\\ -1&-2&0&0\\ 0&3&1&0\\ 1&2&2&1 \end{bmatrix}. \end{aligned}$

因此,GydF4y2Ba $\det{[X]}=X=-21（-2）（1）（1）=-42.\\平方GydF4y2Ba$

萨鲁斯法则GydF4y2Ba是计算a的行列式的捷径吗GydF4y2Ba $3次3次GydF4y2Ba$矩阵。GydF4y2Ba

1. 分别占据假设的第四行和第五行时重写前两行：GydF4y2Ba $\左| \begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{matrix}\right | \Rightarrow\left | \begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{matrix}\right}\\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\begin{matrix}1&2&3\\5&6\end{matrix}GydF4y2Ba$

2. 将对角线元素相乘：GydF4y2Ba ${矩阵}\左| \ \开始开始{矩阵}1 & 2 & 3 \ \ 4 & 5 & 6 \ \ 7 & 8和9 \{矩阵}结束\右| \ \ \{矩阵}开始1 & 2 & 3 \ \ 4 & 5 & 6 \端{矩阵}\端{矩阵}= 1 \ cdot 5 \ cdot 9 + 4 \ cdot 8 \ cdot 3 + 7 \ \ cdot cdot 2 6 3 \ cdot 5 \ cdot 7 6 \ cdot 8 \ cdot 1 - 9 \ cdot 2 \ cdot 4 = 0。GydF4y2Ba$

3. 从左到右的下降对角线有一个GydF4y2Ba $+GydF4y2Ba$符号，而从右到左的对角线有GydF4y2Ba $-\文本{}GydF4y2Ba$签名GydF4y2Ba

评估GydF4y2Ba

$\左| \开始{matrix}0&1&2\\3&5&5\\5&7&5\结束{matrix}\右|。GydF4y2Ba$

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我们有GydF4y2Ba

$\左手|\ begin {matrix} 0＆1＆2 \\ 3＆5＆5 \\ 5＆7＆5 \ end {marrix} \ leve |右箭头\左转|\ begin {matrix} 0＆1＆2 \\ 3＆5＆5 \\ 5＆7＆5 \ end {marrix} \ leve |q\\ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ begin {marrix} 0和1＆2 \\ 3＆5＆5 \ neg {marrix}GydF4y2Ba$

这给GydF4y2Ba

$(0\ * 5\ * 5)+(3\ * 7\ * 2)+(5\ * 1\ * 5)-(2\ * 5\ * 5)-(5\ * 7\ * 0)-(5\ * 1\ * 3)=2。\ _ \广场GydF4y2Ba$

• 矩阵GydF4y2Ba