共线点

在几何，一组点称为共线的如果它们都在一条线上。因为任意两点之间有一条直线，所以每对点都是共线的。证明某些点是共线的是一个特别常见的问题奥林匹克运动会，由于证明方法繁多。

共线性测试主要集中在确定给定的3个点是否 $A、B$, $C$共线。这是因为它很容易扩展:例如显示4个点 $A b c d$是否共线可以先显示 $A b c$是否共线 $B c d$也是共线的。

当点的坐标给定时，这个问题相对简单，虽然有时计算起来很困难。一个简单的测试就是求出直线的方程 $一个$而且 $B$使用标准方法，然后求两者之间的直线方程 $B$而且 $C$，并进行比较。

让 $A = (1,2)， b = (2,4)， c = (3,6)$．是 $A b c$共线吗?

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这条线的斜率 $一个$而且 $B$是 $\frac{4 - 2}{2 - 1} = 2$，得到直线之间的方程 $一个$而且 $B$ $Y = 2x + b$，和设置 $X = 1, y = 2$我们确定 $B = 0$．因此，直线方程就变成了 $Y = 2x$．相似地，两者之间的斜率 $B$而且 $C$是 $\frac{6 - 4}{3 - 2} = 2$，得到直线之间的方程 $B$而且 $C$也 $Y = 2x$．这是同一条线，所以 $A b c$共线。

这一点可以稍加改进:

另一种更先进的方法是利用多边形形成的 $一个$， $B$, $C$必然是简并，因此面积为0。的鞋带公式，使用一些线性代数，可用于求“三角形”的面积。 $美国广播公司$，如果它是0，这些点必然共线。这是一种常用的技术重心坐标在美国，明确地找到直线方程在计算上是困难的。

让 $A = (1,2)， b = (2,4)， c = (3,6)$．是 $A b c$共线吗?

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我们发现行列式矩阵的

$开始\ {pmatrix} 1 1 2 \ \ 1 2和4 \ \ 1 3和6 \ {pmatrix}结束$

是0。因此，通过鞋带公式的面积。 $三角形ABC \$是0，所以 $A b c$共线。

共线性在没有明确构造时是一个特别好的性质;特别地，有许多有趣的点被证明是共线的，因此证明共线的一种方法是证明这些定理的条件成立。例如，显示 $A b c$共线，我们可以这样构造构型 $A b c$交点是否由帕斯卡定理(即这些交点是共线的)。

• 对于一个给定的三角形，垂心，外心，和中心九点圆是总是共线(与三角形无关)。它们一起构成了欧拉线．
• 斯巴达王的定理给出三角形边的点共线的准则。
• 给定a上的6分二次曲线，通常为圆，帕斯卡定理说明某些交点是共线的。
• 蒙日定理给出了三个圆的共线点集合的判别准则。这是一个重大的胜利射影几何,Desargues的定理在特定的。

• 并发和共线性——解决问题
• 斯巴达王的定理
• 西姆森线定理
• 2圆的根轴