重心坐标

本文给出了一种求解几何问题的方法。

让我们来看一个简单的问题:

pic1

我们有一个三角形，并且知道关于它的一些信息。在图中的例子中，我们有两条边，第一条边按比例\(1:2\)划分，第二条边按比例\(3:5\)划分。我们需要计算出其他元素的比值，如cevian(除以它们的交点)和另一条边。

让我们从一些定义开始。

首先，我们将\(粒子\)\(系统\)定义为一对\((a, m) \)的有限集合，其中\(a \)是点(或向量)，\(m\)是标量。

一般来说，我们可以用任何复\(m\)(非零)来处理任何n维空间点，但为了我们的目标，我们将限制在正\(m\)和欧几里得平面下的点(在某些特殊情况下是欧几里得三维空间)。

粒子系统的一个元素我们简单地称为\(粒子\)，粒子的第一部分我们称为\(点\)，第二部分我们称为\(质量\)。

下一个定义是本文的主要定义。

Let \(\{(A_1, m_1)， (A_2, m_2)，…， (A_n, m_n)\} \)是一个粒子系统。我们将系统的\(center\) \(of\) \(mass\)定义为以下点\(C\):

\(\overrightarrow{OC} = \frac{m_1\overrightarrow{OA_1} + m_2\overrightarrow{OA_2} +…+ m_n\overrightarrow{OA_n}}{m_1 + m_2 +…+ m_n} \)的某个点\(O\)。

接下来是我们要用到的基本定理

质心满足三个条件:

1. 任何粒子系统都有唯一的质心。也就是说，它总是存在的，而不依赖于所选的点O。

2. 两个粒子系统的质心属于连接它们的点的线段，并将该线段分成与它们的质量成反比的两部分。也就是说，如果两点\(A\)和\(B\)有相应的质量\(A\)和\(B\)，它们的质心就是线段\(AB\)和\(AC: BC = B: A\)上的点\(C\)

3. 最后，如果我们从任何粒子系统中选择一个粒子子集，并将它们替换为一个单一的粒子，点是子集的质心，质量是子集粒子质量的和，整个系统的初始质心不会改变。换句话说，我们可以移动任何子系统的所有粒子到它们的质心系统的质心对这个操作是不变的。

证明这三个条件很容易(对感兴趣的人来说是个好任务)，让我们看看从中能得到什么好处。

首先让我们证明三角形几何的一个基本定理:三角形的中线相交于一点，中线与顶点之比为2:1。

pic2

为了证明我们在所有顶点上都加了\(1\)质量，并回顾了三个元素的粒子系统。如果我们取任意两个粒子并将它们移动到它们的质心(根据条件3)，那么我们就有了两个粒子的系统:一个是质量\(2\)的段的中间(根据条件2)，另一个是质量\(1\)的第三个顶点。因此，整个系统的质心将在中位数上除以\(2:1\)(条件2)。由于中心质量是唯一的(条件1)，我们已经证明了定理。\(_\square \)

定义:四面体的顶点与对边三角形面质心之间的一段，称为四面体的\(中\)。尝试证明四面体的所有中位数都有公点，并求出它们除以该点的比值。

一般来说，对于任何n维单纯形都可以使用上述方法。

现在我们来处理最初的问题。

pic3

我们所需要做的就是设置一个粒子系统，在三角形顶点上有点，质量定义为系统的质心是子午线的交点。

pic4

在我们的例子中，我们需要将质量\(10\)放在点\(A\)，质量\(5\)放在点\(B\)，质量\(3\)放在点\(C\)。让我们利用基本定理的第三个条件，移动点(A\)和点(B\)的粒子到它们的质心。

现在我们有两个质量分别为\(15\)和\(3\)的粒子。因此cevian \(CD\)按比例\(5:1 \)分割。

使用类似的方法，我们计算出其他部分的比率:

pic5

\(AO: OE = 4:5, BO: OF = 13:5, AF: FC = 3:10 \)

注意，我们求出了第三条边和第三条边的比例。

使用这种方法，我们可以很容易地处理上述六个部分中的任意两个段的任何比率值。然后我们求出其他四个比值值。

我们可以使用上面的方法来解决一些更高级的关于三角形的比例、长度和面积的问题，包括brilliant上发表的一些问题。