两个圆的根轴
2圆径向轴:
给定两个圆 而且 ,两个圆的根轴是对两个圆具有相等幂的点的集合。
回想一下一个点的力量 对于有圆心的圆 和半径 是由 .
根轴总是一条直线。这很容易用笛卡尔坐标证明。证明如下:
证明两个圆的根轴是一条直线。
在笛卡尔平面上,假设有两个圆 而且 有半径 而且 ,中心 而且 分别在哪里 (注意我们把它们的中心放在 -轴,因为我们总是可以建立一个两个中心在一个轴上的坐标系)。让 就是圆的根轴。对于任意一点 躺在 我们必须平等 因为幂相等。运用勾股定理(或距离公式),我们发现 而且 .所以方程变成了
请注意, 是常数。我们得到两件事:首先,由于最终方程是线性的,根轴是一条直线;其次,既然我们有了解 ,根轴平行于 的轴,因此垂直于 设在。但是, -axis是连接两个圆的圆心的线。
因此,根轴是一条垂直于连接两个圆的圆心的线。
应用上述结果,我们可以注意到另一件有趣的事情。注意,任何圆的圆周上的点都有力量 关于那个圈子,从那时起 因此 .所以,如果两个圆相交于两个不同的点(也就是说,彼此不相切),那么它们的根轴就是连接这些交点的线。因为交点相对于两个圆有相等的幂(零),所以它们必须位于根轴上。但由于根轴是一条直线,这条直线一定是连接这两点的那条线!
类似地,如果圆是切向的,那么根轴就是圆在接触点的公切,因为接触点位于根轴上,而切线垂直于连接两个圆心的直线。