投影几何

在透视图中绘制的立方体，激励投影几何

投影几何是一个扩展（或简化，取决于观点）欧几里德几何，其中没有距离或角度测量的概念。直观地，投影几何可以理解为只有点和线;换句话说，虽然欧几里德几何形状可以被非正式地被视为研究直线和指南针建筑，投影几何可以被视为研究只有直观结构。

令人惊讶的是，虽然最初在艺术的背景下构思，投影几何形状对欧几里德几何体具有重要应用。例如，诸如desargues'，冠毛的， 和帕斯卡定理是投影几何形状的后果，但对“正常”几何形状有很多兴趣;这是由于欧几里德平面可以自然地延伸到投影中。投影几何在避免特定配置的边缘案例中也是有用的，特别是平行线（如在投影几何形状中，没有平行线）。

一个投影飞机是由一组点，一组线，和发病率令人满意的三个属性:

1. 对于任意两点，都有一条直线与它们重合。
2. 对于任意两条直线，都有一个点与它们重合。
3. 有四个点，以致于任何一条线与它们中的两个以上重合。

最后一个条件并不是严格必需的;它的存在只是为了将退化情况排除在外。这是有用的，然而，为了避免不得不手动检查几个退化情况一遍又一遍;因此，一般认为这是为了方便。

第二个条件有一个重要的后果：

没有平行线在投影飞机上。

此外，第一个和第二个条件非常相似，只是在“点”和“线”的交换上有所不同。这就形成了定义关联属性的动机:它显示了二元性在点和线之间。

投射飞机的最简单（和最常用的）示例是扩展欧几里德平面，这是一个普通的欧几里得平面，它有两个额外的性质:

• 每一组平行线都有一个附加的点，这个点与每一条平行线相连。这一点是无限的点．
• 的在无限的线与无穷远处的每一个点都相关，并且只与这些点相关。

可以在射影平面上验证这一结果。由于这个射影平面与欧几里得平面的相似性(因此这个射影平面的性质在欧几里得平面上也普遍成立)，这通常被称为的射影平面。

射影平面不一定是无限大的。例如,3阶的射影平面包含13条线和13个点。更一般地说，是有序的射影平面 $n$包含 $n ^ 2 + n + 1$积分和 $n ^ 2 + n + 1$线条，所以每一点都是事件 $n + 1$线路和每一行都是事件 $n + 1$要点。值得注意的是，这提供了以下解决方案组合问题：

什么是最大数量 $n$-Element集合，使得任何两组都分享一个元素，并且没有每个集合出现的元素？

每一个 $n$-element set可以解释为与某个点关联的线的集合。

由于突出平面在一组点和一组线方面定义，因此等同的定义来自互换两者。正式说话，一个二元性 $\ rho.$点到线，线到点的映射，是否具有如果的性质 $P$是事件 $\ ell.$,然后 $\魔法^ \ρ$是事件 $p ^ {\ rho}$．最简单的例子是定义中的前两个属性：

1. 对于任意两点，都有一条直线与它们重合。
2. 对于任意两条直线，都有一个点与它们重合。

更一般地，这意味着投影飞机的任何属性相当于双在双重投射飞机．扩展的欧几里得平面是自对偶，也就是说，扩展的欧几里得平面的对偶性就是扩展的欧几里得平面本身，因此，扩展的欧几里得平面的任何性质都可以通过对偶性转化为附加的性质。例如,

Ceva的定理和menelaus'定理是对偶的，因此是“等价的”(意思是证明一个足以证明另一个)，在扩展的欧几里得平面上。不考虑退化情况(两个定理中的三角形都是退化的)，这意味着Ceva和Menelaus在“正”欧几里得平面中也是等价的。

虽然有一些射影平面不是自对偶的，但它们是很难构造的，是扩展的欧几里得平面最自然的延伸到任意的场地也是自我双重的。

一个极性射影平面的对偶性是退化，这意味着对偶性是它自身的逆(或者，等价地，应用两次对偶性得到原平面)。一个重要的例子来自于概念反转，定义如下：在欧几里德平面，修复一个圆圈 $O$半径 $r$．每一点 $P$，定义图像的 $P$成为这一点 $op.$这样 $OP \ CDOT OQ = R ^ 2$．映射 $p \ lightarrow q$是一个反转飞机。

现在定义二元性如下：每一行 $\ ell.$在飞机上没有穿过 $O$,让 $P$垂直于 $O$来 $P$,让 $问$image $P$在飞机的反转下。然后地图 $\ ell.$来 $问$．二元性还需要指向线的映射，因此制定了类似的定义：对于任何一点 $P \ neq O$在平面上, $P$是映射到通过的线吗 $问$ $（$的形象 $P）$垂直于 $op.$．由于这需要扩展到投影平面（扩展欧几里德平面），因此需要两个条件：

• $O$映射到无穷远处的直线上。
• 一条线路 $O$带斜坡 $米$映射到无穷大处与斜率平行线相关的点 $- \ frac {1} {m}。$

这种映射,从 $P$到了极性的 $P$从 $\ ell.$到了极* 的 $\ ell.$，定义极性(这相对容易验证)。这种特殊的极性有许多特性，但最重要和最普遍的事实是:

$P$位于…的两极 $问$如果并且只有 $问$位于…的两极 $P$．同等， $P$躺在杆子上 $\ ell.$当且仅当极点 $\ ell.$位于…的两极 $P$．

更一般地，可以通过将反转的定义扩展到任意的定义来定义额外的极性康斯科．

射影几何本身是有用的，它在欧几里得几何中也有重要的应用。在前面的一节中，我们对此有一些体会Ceva的定理和menelaus'定理结果是相同的。其他结果包括:

Desargues的定理

两个三角形在里面轴向角度如果并且只有他们在中央的角度来看．对于三角形来说，轴向透视意味着 $美国广播公司$和 $美国广播公司$， $AB \帽AB$， $公元前公元前\帽$， 和 $CA \帽CA$是共线的．中心透视意味着 $Aa、Bb、Cc$所有的观点都一致。

本定理直观地理解为艺术的定理;更具体地，在透视图上：

有趣的是，这个结果在全部射影平面，例如某些9阶有限射影平面。尽管如此，它在大多数情况下都是成立的在扩展的欧几里得平面上也是成立的。值得注意的是，这个定理的“iff”部分很容易从上面讨论的对偶原理得出，因此证明任意一个方向都足以证明定理。

另一个重要定理如下：

Pascal的定理

让 $A b c d e f$在任何圆锥形（通常是圆圈）上的六点。然后 $AB \ CAP DE，BC \ CAP EF，CD \ CAP FA$是线性的。

帕斯卡定理即使二次曲线上的点少于6点，考虑一些点相等的退化情况，也常常有用。在这个例子中，一条线 $BB$被理解为与圆圈的切线 $B$．值得注意的是，Pascal的定理有一个匡威：如果 $AB \ CAP DE，BC \ CAP EF，CD \ CAP FA$共线,那么 $A b c d e f$躺在一些圆锥上。这不一定是非常有用的信息，但如果已知五个点躺在圆锥上，那么第六个也必须（五点决定圆锥）。因此，Pascal定理的逆转可以用于显示某个圆圈的点，尤其是与退化策略相结合。

鉴于三角形 $三角形ABC \$和一个点 $米$，一条线路通过 $米$相交 $AB，BC，$和 $CA$在 $c₁,A_1,$和 $B_1.$， 分别。线条 $am，bm，$和 $厘米$相交的矩阵 $三角形ABC \$重新选择性地 $, B_2,$和 $C_2.$．证明这些线 $A_1A_2 B_1B_2,$和 $C_1C_2$在一个点上相交，这个点属于 $三角形ABC \$．

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让 $A_1A_2.$相交的矩阵 $美国广播公司$第二次在 $X$,让 $XB_2 \cap AC = B_1'$．通过Pascal的定理 $ACBB_2XA_2$ $（$这是有效的，因为这些点中的所有六个都在圈子上，围绕的围绕 $ABC），$我们得到那个 $AC \cap B_2X=B_1'， CB \cap XA_2=A_1，$和 $bb_2 \ cap a_2a = m$是线性的。但后来，自从 $B_1'$位于 $A_1M.$并且 $交流$，我们必须 $b_1'= a_1m \ cup ac = b_1$．所以 $x，b_1，b_2$是共线的吗 $X，C_1，C_2$是共线的,所以 $X$是交叉点 $A_1A_2、B_1B_2 C_1C_2$它按要求在圆周上。 $_ \广场$

本定理的投影双重是重要的：

Brianchon定理

让 $ABCDEF.$是六角形围绕圆锥部分（通常是圆圈）。然后 $广告,,CF$在某一点上一致。Brianchon的定理的插图

• 反转
• Pascal的Conics定理
• Desargues的定理