帕斯卡定理
帕斯卡定理是奥数几何中一个非常有用的定理,用来证明圆上三点相交的共线性。
声明
该定理表述如下:
帕斯卡定理
给定一个圆的周长上的6个点(可以是重合的) 和 按这个顺序绕圆,交点 和 , 和 , 和 共线。
证明
证明这个定理有许多不同的方法,但最简单的方法是使用斯巴达王的定理.
让 是…的交集 和 让 是…的交集 和 ,让 是…的交集 和 我们要证明这三点共线。
让 是…的交集 和 让 是…的交集 和 ,让 是…的交集 和 墨涅劳斯在 和行 ,我们有
墨涅劳斯在 和行 ,我们有
墨涅劳斯在 和行 ,我们有
把这些乘出来,得到
经过重新排列,我们得到
注意,根据一个点的幂,我们有
因此,上面的乘积简化为
墨涅劳斯说, 和 共线。
例子
考虑一个与三角形的圆周相切的圆 也和边相切 和 在 和 分别。表明, 穿过中心 的
一眼就能看出我们想要什么 是共线性的点,但这可能一开始看起来不明显,特别是因为在圆周上只有3个点。然而,如果我们把这个问题分解成小的、易于处理的部分,我们就可以解决这个问题。
让 是圆和小圆之间的切点(这个圆称为混合线圆)。我们扩展 相逢再圆于 .我们声称 ,证明如下:
让 再次与交线圆相交于 ,让 成为混合线圆的中心。由交替段定理, 等于这个角 tan等于 ,所以 .我们会打电话 和 .下面的角度追逐并不太难,留给读者作为练习。角度追逐结果为 , 和 ,我们从中得到 和 ,所以 .因此, 是等腰的,那么 .
这样,我们的要求得到了证明。从这个语句中,我们可以调用以下属性:
如果 圆周上有一个点吗 在小弧线上 当且仅当 角是的平分线吗 .
由这个性质,我们得到 角是的平分线吗 .类似地,如果 扩展为 , ,所以 角是的平分线吗 .现在我们终于可以应用帕斯卡定理了。根据帕斯卡定理 (按此顺序跟随线段并循环返回),我们得到 , 和 作为共线交点,我们做完了。
证明极和极的基本定理:
给定一个循环四边形 的交点 和 是 ,的交集 和 是 的交点 和 是 ,证明的极坐标 通过 和 .
首先,这里有一些定义。让 有半径的圆的圆心 , 一个任意点,我们称之为极.让 重点在于 (可能延伸)这样 .线路通过 垂直于 被称为极地的 .极和极的一个独特性质(有待读者证明)是如果 在圆圈里吗 弦的端点与中点的切线相交吗 .
解决这个问题的方法是帕斯卡的。请注意,即使两个或多个点是重合的,帕斯卡也可以应用。让我们考虑六边形的帕斯卡 .然后, , (经过重合点的直线与圆相切)和 共线。类似地,如果我们用Pascal's in ,我们有 , 和 .因此, , , 和 共线。类似的论点表明 , , 和 共线。从这里,利用事实 是切线,等等,明白了吗 平行于 ,我们可以从中收集 是一杆 .