斯巴达王的定理

斯巴达王的定理将一条直线切三角形的边所得到的比率联系起来。该定理的逆定理(即三角形上的三个点当且仅当它们满足某些条件时是共线的)也是正确的，并且在证明三个点是共线方面非常强大。

切瓦定理本质上是这个定理的对应物，可以用来证明三条直线在一点上是同时的。这两个定理具有相似的结构，广泛适用于各种几何问题类型。

共线点 $D, E, F$在 $AB,公元前,AC$分别

斯巴达王的定理说明一条线是否相交 $三角形ABC \$或者点上的延伸边 $D$， $E$, $F$，以下陈述成立:

$\压裂{广告}{DB} \ * \压裂{是}{EC} \ * \压裂{CF} {FA} = 1。$

墨涅劳斯定理的逆假设有三点 $D, E, F$站队(或延伸) $AB,公元前,AC$分别，使 $1$或 $3.$其中一个在边的延伸处。然后点 $D, E, F$共线当且仅当

$\压裂{广告}{DB} \ * \压裂{是}{EC} \ * \压裂{CF} {FA} = 1。$

的墨涅劳斯定理的逆在证明三点共线方面是非常有效的，特别是在奥林匹克问题中。

构造线 $AA’$， $BB”$, $CC '$它们垂直于黄线。

现在,因为 $\三角形AA d \sim \三角形BB d$， $\压裂{广告}{DB} = \压裂{AA}} {BB。$自 $\三角形AA'F\sim \三角形CC'F$， $\压裂{CF} {FA} = \压裂{CC}} {AA。$自 $\三角形BB'E\sim \三角形CC'E$， $\压裂{是}{EC} = \压裂{BB}} {CC。$

因此, $\压裂{广告}{DB} \ * \压裂{是}{EC} \ * \压裂{CF} {FA} = \压裂{AA '} {BB”}\ * \压裂{BB '} {CC '} \ * \压裂{CC '} {AA’}= 1。\ _ \广场$

注意:

1. 即使黄线与三角形完全不相交(这意味着黄线与三角形所有边的延伸部分相交)，等式仍然成立。
2. 如果黄线与三角形的一个顶点相交，则方程的分母上将出现0，这是没有定义的;为了解决这个问题，墨涅劳斯定理也可以改写为 $AD * BE * CF=DB * EC * FA$．

从顶点 $C$的直角 $三角形ABC \,$高度 $CK$掉了，进去了吗 $ACK \三角形$平分线 $CE$是画的。通过点的直线 $B$平行于 $CE$满足 $CK$点 $F$．证明这条直线 $英孚$将部分 $交流$在部分。

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自 $\角度BCE=90°- \压裂{\角度B}{2}$，我们有 $\角度BCE = \角度BEC$因此 $公元前是=$．因此,

$CF: KF = BE: BK = BC: BK， \quad AE: KE = CA: CK = BC: BK。$

让线 $英孚$相交 $交流$点 $D$．根据墨涅劳斯定理 $\压裂{广告}{CD} \ cdot \压裂{CF} {KF} \ cdot \压裂{KE} {AE} = 1$．考虑到这个事实 $Cf: kf = ae: ke，$我们得到了要求的表述。 $_ \广场$

下面的问题是调用该定理的一个很好的例子。请试一试!

墨涅劳斯定理的逆假设有三点 $D, E, F$站队(或延伸) $AB,公元前,AC$分别，使 $1$或 $3.$其中一个在边的延伸处。然后点 $D, E, F$共线当且仅当

$\压裂{广告}{DB} \ * \压裂{是}{EC} \ * \压裂{CF} {FA} = 1。$

这可以用来证明帕斯卡定理，其中指出

给定一个圆的周长上的6个点(可以是重合的) $A c e b f，$而且 $D$按这个顺序绕圆，交点 $AB$而且 $德$， $房颤$而且 $CD$, $公元前$而且 $英孚$共线。

让 $G$是…的交集 $CD \眉题{}$而且 $\眉题{FA},$让 $H$是…的交集 $\眉题{AB}$而且 $\眉题{},$,让 $我$是…的交集 $公元前\眉题{}$而且 $\眉题{EF}。$我们要证明这三点共线。

让 $U$是…的交集 $CD \眉题{}$而且 $\眉题{EF},$让 $V$是…的交集 $\眉题{AB}$而且 $\眉题{EF},$,让 $W$是…的交集 $\眉题{AB}$而且 $CD \眉题{}。$墨涅劳斯在 $\三角形UVW$和行 $HDE$，我们有

$\dfrac {VH}{WH} \cdot \dfrac {WD}{UD} \cdot \dfrac {UE}{VE} = 1。$

墨涅劳斯在 $\三角形UVW$和行 $AGF$，我们有

$\dfrac {VA}{WA} \cdot \dfrac {WG}{UG} \cdot \dfrac {UF}{VF} = 1。$

墨涅劳斯在 $\三角形UVW$和行 $BCI$，我们有

$\dfrac {VB}{WB} \cdot \dfrac {WC}{UC} \cdot \dfrac {UI}{VI} = 1。$

把这些乘出来，得到

$\dfrac {VH}{WH} \cdot \dfrac {WD}{UD} \cdot \dfrac {UE}{VE} \cdot \dfrac {VA}{WA} \cdot \dfrac {WG}{UG} \cdot \dfrac {UF}{VF} \cdot \dfrac {VB}{WB} \cdot \dfrac {WC}{UC} \cdot \dfrac {UI}{VI} = 1。$

经过重新排列，我们得到

$\dfrac {WD}{UD} \cdot \dfrac {UE}{VE} \cdot \dfrac {VA}{WA} \cdot \dfrac {UF}{VF} \cdot \dfrac {VB}{WB} \cdot \dfrac {WC}{UC} \cdot \dfrac {VH}{WH} \cdot \dfrac {WG}{UG} \cdot \dfrac {UI}{VI} = 1。$

注意，根据一个点的幂，我们有

$\begin{aligned} \dfrac {WD}{UD} \cdot \dfrac {UE}{VE} \cdot \dfrac {VA}{WA} \cdot \dfrac {UF}{VF} \cdot \dfrac {VB}{WB} \cdot \dfrac {VA \times VB}{VE \times VF} \cdot \dfrac {UE \times UF}{UC \times UD}\\\\ &= 1。结束\{对齐}$

因此，上面的乘积简化为

$\dfrac {VH}{WH} \cdot \dfrac {WG}{UG} \cdot \dfrac {UI}{VI} = 1。$

墨涅劳斯说， $G H,$而且 $我$共线。 $_ \广场$

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