垂心

这矫正者三角形是三角形三个的交叉点高度．它有几个重要的性质和与三角形的其他部分的关系，包括它诞生那庆祝者，区域等。

矫形器通常由字母表示 $H$．

正蹄蜂巢的位置取决于三角形的类型。如果三角形是尖锐的话，矫正者将在其中谎言。如果三角形是钝的，则矫正者将在它之外席位。最后，如果三角形是对的，则矫正器将是直角的顶点。

因为三个高度总是在单点交叉（在后面的一部分上的证明），可以通过确定其中任何两个的交叉来找到正常的。当使用坐标几何体时，这尤其有用，因为通过需要仅查找线（及其交叉路口）的两个方程式，计算是显着简化的。

三角形有顶点 $= (0, 0), B =(14日0)$, $C =(5、12)$．圆心的坐标是什么?

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找到最简单的高度是来自 $C$到 $ab$，因为这只是线路 $x = 5.$．下一个最容易找到的是其中一个 $B.$到 $AC.$， 自从 $AC.$可以计算为 $y = \压裂{12}{5}x$．垂直于 $AC.$是表格 $y = - \ frac {5} {12} x + b$， 对于一些 $B.$当这条线穿过时 $(0)$，高度的等式是 $y = - \ frac {5} {12} x + \ frac {35} {6}$．

最后，这条直线和这条直线的交点 $x = 5.$是 $\离开(5 \压裂{15}{4}\右)$，这是正常的位置。 $_\正方形$

最自然的证明是切瓦定理，声明 $广告,,CF$如果且仅当 $\压裂{AF} {FB} \ cdot \压裂{BD}{直流}\ cdot \压裂{CE} {EA} = 1,$在哪里 $D, E, F$是高度的脚。

注意 $\三角BFC \ SIM \三角BDA$类似地, $\三角形AEB \ SIM \三角形AFC，\三角CDA \ SIM \三角CEB$．所以，

$\ frac {bf} {bd} = \ frac {bc} {ba}，\ frac {ae} {af} = \ frac {ab} {ac}，\ frac {cd} {ce} = \ frac {ca}{公元前}。$

这三个方程相乘得到

$\ frac {bf} {bd} \ cdot \ cdot \ frac {ae} {af} \ cdot \ frac {cd} {cd} {cd} {cd} {cd} {cd \ frac {bc} {ba} \ cdot \ frac {ab} {ac} \ cdot \FRAC {CA} {BC} = 1。$

重新排列左侧给我们

$\ frac {af} {fb} \ cdot \ cdot \ frac {bd} {dc} \ cdot \ frac {cd} {ea} = 1。$

因此，三个高度在单点恰好，矫形器重合。

为了便于讨论一般性质，通常假定所讨论的原始三角形是锐角。同样的性质通常也适用于钝器，但可能需要稍微修改。

有趣的是，三个顶点和矫形器形成了一个正管系统：四个点中的任何一个是由其他三个形成的三角形的正常。

一个非常有用的性质是，在任意三条边上的同心圆反射在割礼的三角形的。有一种更可视的解释方法：从圆形纸开始，绘制纸上铭刻的三角形，并沿着三个边缘向内折叠纸张。三个弧在三角形的正交。[1]

这个结果有许多重要的推论。最直接的是在圆心处形成的角补充到顶点的角度:

$\ ABC+\ AHC = \ BCA+\ BHA = \ CAB+\ CHB = 180^{\circ}$

另一个是点：两个长度的产物矫正器将高度分成恒定。进一步来说，

$啊\ cdot hd = bh \ cdot he = ch \ cdot hf$

同样的,

$\begin{aligned} AD \cdot DH &= BD \cdot CD\\ BE \cdot EH &= AE \cdot CE\\ CF \cdot FH &= AF \cdot BF。结束\{对齐}$

将其应用于正确的三角形保证自己的注意事项：

如果从角度到斜边的顶点的海拔高度将斜边的斜面分成两个长度 $P.$和 $问：$，那么这个高度的长度是 $\ sqrt {pq}$．

另一种推论是割礼的由三角形的任何两个点形成的三角形，其正蹄蜂巢是一致的原始三角形的围绕。这是因为割轴 $BHC.$可以被视为轨迹的 $H$作为 $一种$沿着原来的圆周运动。

最后，这个过程（非常）可以逆转：如果任何矩阵上的点反映在三个方面，由此产生的三个点共同用，并且矫形器总是位于连接它们的线上。

在某种程度上不同的票据，三角形的正交者与之相关割礼的三角形的深度:这两点是等角的轭合物，意思是说，反射的高度在角平分线三角形相交诞生三角形的。

另一个重要的性质是，直角三角形任一边的中点上的同心圆反射位于圆上，且与对应边的对边顶点完全相反。

由三个高度的脚形成的三角形叫做orthic三角形．它有几个显著的特性。例如，三角形的圆心也是庆祝者它的典型三角形。等价地，原三角形的高度是角平分线矫形器三角形。

矫形三角形的侧面有长度 $a \ cos a，b \ cos b$, $c \ cos c$，使矫形三角形的周长 $a \ cos a + b \ cos b + c \ cos c$．在所有三角形中，矫形三角形都有最小的周边，可以在三角形铭刻 $ABC$．

正三角形的外圆包含原三角形边的中点，以及从顶点到正心点的中间点。这个圆更广为人知的名字是九个点圈一个三角形。

矫形三角形也是同性恋对于两个重要的三角形:由原三角形在顶点处与外圆的切线构成的三角形切向三角形)，以及延伸高度达到原三角形的外圆而形成的三角形。

• 庆祝者
• 诞生
• 封面

［1］矫形器好奇心．从http://untilnextstop.blogspot.com/2010/10/orthocenter-curosities.html中检索到1月23日