9分圆

的9分圆三角形是一个通过9个关键点的圆:

• 三角形两边的三个中点(下图中的蓝色部分)，
• 三角形的三英尺高度(下图黄色)，和
• 这三个中点从顶点到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/triangles-orthocenter/" class="wiki_link" title="垂心" target="_blank">垂心三角形(下图中的绿色部分)。

九点圆满足几个重要而有趣的性质，除了它存在这个令人惊讶的事实之外。

让中点 $AB$是 $M_c$的中点 $公元前$是 $M_a$的中点 $CA$是 $M_b$．同样，让脚的高度从 $一个$是 $A_h$，英尺的高度 $B$是 $B_h$，以及海拔的高度 $C$是 $C_h$．让交集 $A_h$， $B_h$, $C_h$最后，让中点 $啊$是 $D$的中点 $黑洞$是 $E$的中点 $CH$是 $F$．我们的目标就是要证明这一点 $M_a M_b M_c A_h B_h C_h D E$和 $F$它们都躺在一个圆上。

首先,自 $M_b$和 $M_c$的中点 $交流$和 $AB,$分别,段 $M_bM_c$与线段平行吗 $公元前$．此外, $E$和 $F$的中点 $黑洞$和 $CH,$分别，这是线段 $英孚$与线段平行吗 $公元前$也因此, $M_bM_c$和 $英孚$是平行的。

同样,自 $M_c$和 $E$的中点 $AB$和 $黑洞,$分别,段 $M_cE$与线段平行吗 $啊$．类似地, $M_bF$平行于 $啊$,所以 $M_cE$和 $M_bF$也是平行的。

因此 $M_cM_bFE$是一个平行四边形。但 $M_cE$平行于 $啊$，和 $AA_h$．此外, $AA_h$垂直于 $公元前$,自 $M_cM_b$平行于 $公元前$， $AA_h$垂直于 $M_cM_b$也因此, $M_cE$垂直于 $M_cM_b$,这意味着 $M_cM_bFE$是一个长方形。

类似的逻辑, $M_bM_aED$和 $M_aM_cDF$矩形也是吗 $M_c D M_b F M_a$, $E$它们都在同一个圆上。

让 $M_cF$和 $DM_a$相交于一点 $N$，也就是通过以上6个点的圆心 $（$自 $M_cDFM_a$是长方形的 $）．$因此, $N$中点是 $DM_a$．但 $\角DA_hM_a = 90 ^{\保监会}$,所以 $N$是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/triangles-circumcenter/" class="wiki_link" title="外心" target="_blank">外心三角形的 $DA_hM_a$．因此 $A_h$和上面六个点在同一个圆上，逻辑相同 $B_h$和 $C_h$．

因此,点 $M_a, M_b, M_c, A_h, B_h, C_h, D, E$和 $F$如你所愿，它们都躺在一个圆上。

9点圆的圆心，被称为9分中心 $N$，躺在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/euler-line/" class="wiki_link" title="欧拉线" target="_blank">欧拉线是欧拉线的中点<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/triangles-orthocenter/" class="wiki_link" title="垂心" target="_blank">垂心 $H$到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/triangles-circumcenter/" class="wiki_link" title="外心" target="_blank">外心 $O$．

9分中心 $N$是线段的中点吗 $哦$．也显示:质心 $G$

九点圆也是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/circumscribed-triangles/" class="wiki_link" title="外接圆" target="_blank">外接圆的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/triangles-orthocenter/" class="wiki_link" title="典型的三角形" target="_blank">典型的三角形和内侧三角(顶点为三个中点的三角形)。

此外，由于对称，我们有:

三角形的九点圆 $美国广播公司、ABH、BCH$和 $儿童和青少年卫生与发育司$都是一样的。

因此，这四个三角形的周长是相等的，因此，我们得到如下结论:

$NA ^ 2 + NB数控^ ^ 2 + 2 + NH ^ 2 = 3 r ^ 2$,在那里 $R$是三角形的外径。

同理，对于任意点 $P$在九点圆上，

$PA ^ 2 + PB ^ 2 + PC PH值^ ^ 2 + 2 = 4 r ^ 2。$

因此，九点圆的半径正好是三角形外圆半径的一半:

$r_N = \压裂{1}{2}R。$

值得注意的是,如果 $P$是哪个点呢 $A, B, C$, $P$不要形成一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/triangles-orthocenter/" class="wiki_link" title="垂心的系统" target="_blank">垂心的系统，然后是9点圆 $三角形ABC，三角形ABP，三角形BCP$, $\三角帽$所有的观点都一致。

类似地，9点圆与这三个圆都相切<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/incircles-and-excircles/" class="wiki_link" title="外圆" target="_blank">外圆，和三角形内部相切<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/inscribed-triangles/" class="wiki_link" title="内接圆" target="_blank">内接圆．9点圆与圆周相切的点称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/feuerbach-point/" class="wiki_link" title="费尔巴哈指出" target="_blank">费尔巴哈指出．

• 欧拉线
• 内接圆和外圆