我们的第一个问题可以通过构造相似三角形并进行角度追踪来解决。下面是由认识共循环点而得到的更直接的证明。gydF4y2Ba
三个半径相同的圆相交于一个半径是其两倍的大圆的中心。gydF4y2Ba
从两个小圆在大圆上相遇的交点处画出直线,这样它们就形成了一个三角形,如左上角所示。然后,通过从大圆的中心到小圆的交点(红色、蓝色和绿色区域)绘制直线,将三角形分为3个四边形。gydF4y2Ba
或者,通过简单地绘制从中心到顶点的直线,可以将三角形分为3个更小的三角形:右侧图表中的黄色、紫色和青色区域。gydF4y2Ba
假设红色区域的面积,深蓝色区域的面积,和绿色区域的面积之比为gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba1gydF4y2Ba:gydF4y2Ba1gydF4y2Ba2gydF4y2Ba:gydF4y2Ba1gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
那么,如果黄色区域的面积,紫色区域的面积,浅蓝色区域的面积之比为gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba:gydF4y2BabgydF4y2Ba:gydF4y2BacgydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba
ggydF4y2BacdgydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2BabgydF4y2Ba,gydF4y2BacgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,计算gydF4y2Ba
3.gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba+gydF4y2BabgydF4y2Ba+gydF4y2BacgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
两个圆gydF4y2Ba
ωgydF4y2Ba1gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
ωgydF4y2Ba2gydF4y2Ba相交点gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
BgydF4y2Ba.切线gydF4y2Ba
ωgydF4y2Ba1gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba相交gydF4y2Ba
ωgydF4y2Ba2gydF4y2Ba在gydF4y2Ba
XgydF4y2Ba.切线gydF4y2Ba
ωgydF4y2Ba2gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba相交gydF4y2Ba
ωgydF4y2Ba1gydF4y2Ba在gydF4y2Ba
YgydF4y2Ba.让gydF4y2Ba
OgydF4y2Ba成为…的中心gydF4y2Ba
△gydF4y2BaXgydF4y2Ba一个gydF4y2BaYgydF4y2Ba.那么度量是什么gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaOgydF4y2BaBgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba度吗?gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
米gydF4y2Ba做侧面的中点gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaCgydF4y2Ba锐角三角形gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaBgydF4y2BaCgydF4y2Ba与gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaBgydF4y2Ba>gydF4y2BaBgydF4y2BaCgydF4y2Ba,gydF4y2Ba,让gydF4y2Ba
ΩgydF4y2Ba的圆周gydF4y2Ba
△gydF4y2Ba一个gydF4y2BaBgydF4y2BaCgydF4y2Ba.切线是gydF4y2Ba
ΩgydF4y2Ba在点gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba见面gydF4y2Ba
PgydF4y2Ba,gydF4y2Ba
BgydF4y2BaPgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaCgydF4y2Ba相交于gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba.同时,让gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaDgydF4y2Ba的高度gydF4y2Ba
△gydF4y2Ba一个gydF4y2BaBgydF4y2BaPgydF4y2Ba,gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
ωgydF4y2Ba的圆周gydF4y2Ba
△gydF4y2BaCgydF4y2Ba年代gydF4y2BaDgydF4y2Ba.考虑到gydF4y2Ba
ωgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
ΩgydF4y2Ba相交于gydF4y2Ba
KgydF4y2BagydF4y2Ba=gydF4y2BaCgydF4y2Ba,gydF4y2Ba证明gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaCgydF4y2BaKgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
自gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaPgydF4y2Ba=gydF4y2BaCgydF4y2BaPgydF4y2Ba,我们有gydF4y2Ba
∠gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba米gydF4y2BaPgydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaDgydF4y2BaPgydF4y2Ba,gydF4y2Ba这意味着gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba,gydF4y2BaPgydF4y2Ba,gydF4y2BaDgydF4y2Ba,gydF4y2Ba米gydF4y2Baconcyclic。自gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba,gydF4y2BaKgydF4y2Ba,gydF4y2BaDgydF4y2Ba,gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba由交替段定理给出是共循环的gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaKgydF4y2Ba一个gydF4y2BaPgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaCgydF4y2BaKgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2BaKgydF4y2BaDgydF4y2BaPgydF4y2Ba⟹gydF4y2BaKgydF4y2Ba∈gydF4y2Ba⊙gydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2BaPgydF4y2BaDgydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.再次应用循环四边形的性质和交替段定理,我们有gydF4y2Ba
∠gydF4y2Ba米gydF4y2BaKgydF4y2BaPgydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba8gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∠gydF4y2BaCgydF4y2Ba一个gydF4y2BaPgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaKgydF4y2BaCgydF4y2Ba⟹gydF4y2Ba∠gydF4y2BaCgydF4y2BaKgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaKgydF4y2BaCgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaKgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba米gydF4y2BaKgydF4y2BaPgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaKgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaKgydF4y2BaPgydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba
信不信由你,很多IMO问题都可以简单地通过一些循环点的巧妙构造来解决。以下是2014年的一个例子:gydF4y2Ba
(2014年国际海事组织)gydF4y2Ba
凸四边形gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaBgydF4y2BaCgydF4y2BaDgydF4y2Ba有gydF4y2Ba
∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaBgydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2BaCgydF4y2BaDgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba.点gydF4y2Ba
HgydF4y2Ba脚是垂直的吗gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba来gydF4y2Ba
BgydF4y2BaDgydF4y2Ba.点gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
TgydF4y2Ba侧卧gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaBgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaDgydF4y2Ba,分别使gydF4y2Ba
HgydF4y2Ba谎言在gydF4y2Ba
△gydF4y2Ba年代gydF4y2BaCgydF4y2BaTgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaCgydF4y2BaHgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∠gydF4y2BaCgydF4y2Ba年代gydF4y2BaBgydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba,gydF4y2Ba∠gydF4y2BaTgydF4y2BaHgydF4y2BaCgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∠gydF4y2BaDgydF4y2BaTgydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
证明这条直线gydF4y2Ba
BgydF4y2BaDgydF4y2Ba的圆周相切吗gydF4y2Ba
△gydF4y2BaTgydF4y2Ba年代gydF4y2BaHgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
首先,积分gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba,gydF4y2BaTgydF4y2Ba都是以一种非常规的方式定义的,所以让我们先试着解决它们。重新排列角度等于gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaCgydF4y2BaHgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba0gydF4y2Ba+gydF4y2Ba∠gydF4y2BaCgydF4y2Ba年代gydF4y2BaBgydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba8gydF4y2Ba0gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba年代gydF4y2BaCgydF4y2BaBgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这让我们想起循环四边形的对角和gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba8gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba,gydF4y2Ba这足以激励我们去反思gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba在gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaBgydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2BaDgydF4y2Ba获得gydF4y2Ba
EgydF4y2Ba,gydF4y2BaFgydF4y2Ba与循环gydF4y2Ba
CgydF4y2BaHgydF4y2Ba年代gydF4y2BaEgydF4y2Ba,gydF4y2BaCgydF4y2BaHgydF4y2BaTgydF4y2BaFgydF4y2Ba,gydF4y2Ba分别。gydF4y2Ba
现在有几种方法来证明这个问题等价于证明gydF4y2Ba
CgydF4y2BaHgydF4y2Ba⊥gydF4y2Ba年代gydF4y2BaTgydF4y2Ba,其中一个将在最后展示。gydF4y2Ba
项目gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba到gydF4y2Ba
年代gydF4y2BaHgydF4y2Ba,gydF4y2BaTgydF4y2BaHgydF4y2Ba得到gydF4y2Ba
JgydF4y2Ba,gydF4y2BaKgydF4y2Ba,gydF4y2Ba分别。我们马上观察到循环gydF4y2Ba
CgydF4y2BaJgydF4y2Ba年代gydF4y2BaBgydF4y2Ba,gydF4y2BaCgydF4y2BaKgydF4y2BaTgydF4y2BaDgydF4y2Ba.请注意gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaCgydF4y2BaHgydF4y2BaKgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2BaTgydF4y2BaFgydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2BaTgydF4y2BaCgydF4y2BaFgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2BaTgydF4y2BaKgydF4y2BaDgydF4y2Ba,自从gydF4y2Ba
CgydF4y2BaKgydF4y2BaHgydF4y2Ba直角三角形的点是多少gydF4y2Ba
KgydF4y2Ba,gydF4y2Ba
KgydF4y2BaDgydF4y2Ba平分gydF4y2Ba
CgydF4y2BaHgydF4y2Ba.类似地,我们可以证明gydF4y2Ba
BgydF4y2BaJgydF4y2Ba平分gydF4y2Ba
CgydF4y2BaHgydF4y2Ba,这意味着gydF4y2Ba
BgydF4y2BaJgydF4y2Ba,gydF4y2BaDgydF4y2BaKgydF4y2Ba的中点上的交点gydF4y2Ba
HgydF4y2BaCgydF4y2Ba,表示为gydF4y2Ba
米gydF4y2Ba的圆周gydF4y2Ba
CgydF4y2BaJgydF4y2BaHgydF4y2BaKgydF4y2Ba.这是众所周知的反映gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba的垂直平分线gydF4y2Ba
BgydF4y2BaDgydF4y2Ba躺在gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaHgydF4y2Ba,因此gydF4y2Ba
米gydF4y2Ba的垂线gydF4y2Ba
BgydF4y2BaDgydF4y2Ba,这足以得出这样的结论gydF4y2Ba
BgydF4y2BaDgydF4y2BaJgydF4y2BaKgydF4y2Ba是等腰梯形,循环四边形。gydF4y2Ba
考虑的根轴gydF4y2Ba
⊙gydF4y2BaCgydF4y2BaJgydF4y2Ba年代gydF4y2BaBgydF4y2Ba,gydF4y2Ba⊙gydF4y2BaCgydF4y2BaKgydF4y2BaTgydF4y2BaDgydF4y2Ba,垂直于gydF4y2Ba
年代gydF4y2BaTgydF4y2Ba.gydF4y2Ba然后我们知道gydF4y2Ba
BgydF4y2BaJgydF4y2Ba∩gydF4y2BaDgydF4y2BaKgydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2Ba由根轴定理确定。因此线gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba米gydF4y2BaHgydF4y2Ba是根轴建立的吗gydF4y2Ba
CgydF4y2BaHgydF4y2Ba⊥gydF4y2Ba年代gydF4y2BaTgydF4y2Ba.因此gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaTgydF4y2Ba年代gydF4y2BaHgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba9gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∠gydF4y2BaJgydF4y2BaHgydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2BaHgydF4y2BaCgydF4y2BaJgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2BaHgydF4y2BaKgydF4y2BaJgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2BaTgydF4y2BaHgydF4y2BaDgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
由gydF4y2Ba交替段定理gydF4y2Ba,匡威gydF4y2Ba
BgydF4y2BaDgydF4y2Ba的圆周相切吗gydF4y2Ba
TgydF4y2Ba年代gydF4y2BaHgydF4y2Ba,gydF4y2Ba做完了。gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
在下一个示例中,将展示一个旨在创建循环图形的解决方案。该技术与上一节中证明示例中使用的技术非常相似。gydF4y2Ba
[2011 imo sl6]gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaBgydF4y2BaCgydF4y2Ba是一个三角形gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaBgydF4y2Ba=gydF4y2Ba一个gydF4y2BaCgydF4y2Ba,让gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba成为…的中点gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaCgydF4y2Ba.的角平分线gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaBgydF4y2Ba一个gydF4y2BaCgydF4y2Ba与圆相交gydF4y2Ba
DgydF4y2Ba,gydF4y2BaBgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba在这一点上gydF4y2Ba
EgydF4y2Ba三角形内部gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaBgydF4y2BaCgydF4y2Ba.这条线gydF4y2Ba
BgydF4y2BaDgydF4y2Ba与圆相交gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba,gydF4y2BaEgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
BgydF4y2Ba在两点上gydF4y2Ba
BgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba.行gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaFgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
BgydF4y2BaEgydF4y2Ba在某一点相遇gydF4y2Ba
我gydF4y2Ba,和线条gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba我gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
BgydF4y2BaDgydF4y2Ba在某一点相遇gydF4y2Ba
KgydF4y2Ba.表明,gydF4y2Ba
我gydF4y2Ba三角形的圆心是多少gydF4y2Ba
KgydF4y2Ba一个gydF4y2BaBgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
从循环和对称,我们可以证明gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaEgydF4y2BaBgydF4y2BaDgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2BaEgydF4y2BaCgydF4y2BaDgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaBgydF4y2BaEgydF4y2Ba,gydF4y2Ba这意味着gydF4y2Ba
BgydF4y2Ba我gydF4y2Ba平分gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaKgydF4y2BaBgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba.根据incenter的性质,gydF4y2Ba
我gydF4y2Ba中心在哪里gydF4y2Ba
KgydF4y2Ba一个gydF4y2BaBgydF4y2Ba⟺gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba我gydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaBgydF4y2Ba我gydF4y2Ba+gydF4y2Ba9gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba.请注意,gydF4y2Ba
∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaFgydF4y2BaDgydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba8gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∠gydF4y2BaBgydF4y2Ba一个gydF4y2BaEgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba∠gydF4y2BaBgydF4y2BaEgydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba∠gydF4y2BaBgydF4y2BaDgydF4y2BaCgydF4y2Ba,gydF4y2Ba
这意味着gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaDgydF4y2Ba一个gydF4y2BaFgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2BaBgydF4y2BaDgydF4y2BaCgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaFgydF4y2BaDgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaFgydF4y2BaDgydF4y2Ba⟹gydF4y2Ba一个gydF4y2BaDgydF4y2Ba=gydF4y2BaDgydF4y2BaFgydF4y2Ba=gydF4y2BaDgydF4y2BaCgydF4y2Ba⟹gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaFgydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这就足够了gydF4y2Ba
∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaBgydF4y2Ba我gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba我gydF4y2BaCgydF4y2Ba−gydF4y2Ba9gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba我gydF4y2BaCgydF4y2BaFgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
反映gydF4y2Ba
BgydF4y2Ba在gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaFgydF4y2Ba获得gydF4y2Ba
BgydF4y2Ba”gydF4y2Ba.现在gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba,gydF4y2BaBgydF4y2Ba”gydF4y2Ba在同一边gydF4y2Ba
我gydF4y2BaFgydF4y2Ba,所以我们只需要展示gydF4y2Ba
我gydF4y2Ba,gydF4y2BaCgydF4y2Ba,gydF4y2BaBgydF4y2Ba”gydF4y2Ba,gydF4y2BaFgydF4y2Ba都是圆的,哪个等于gydF4y2Ba
∠gydF4y2Ba我gydF4y2BaBgydF4y2Ba”gydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba我gydF4y2BaFgydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba.自gydF4y2Ba
我gydF4y2BaBgydF4y2Ba”gydF4y2Ba内部平分gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaFgydF4y2BaBgydF4y2Ba”gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba通过对称性,我们想证明gydF4y2Ba
BgydF4y2Ba”gydF4y2BaCgydF4y2Ba外部平分gydF4y2Ba
∠gydF4y2BaFgydF4y2BaBgydF4y2Ba”gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,或gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba8gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∠gydF4y2BaFgydF4y2BaBgydF4y2Ba”gydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaBgydF4y2Ba”gydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaCgydF4y2BaBgydF4y2Ba”gydF4y2Ba自gydF4y2Ba
一个gydF4y2BaBgydF4y2Ba”gydF4y2Ba=gydF4y2Ba一个gydF4y2BaBgydF4y2Ba=gydF4y2Ba一个gydF4y2BaCgydF4y2Ba.最后一个等价性相当于证明gydF4y2Ba
FgydF4y2BaBgydF4y2Ba”gydF4y2Ba∣gydF4y2Ba∣gydF4y2Ba一个gydF4y2BaCgydF4y2Ba,这是正确的gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba8gydF4y2Ba0gydF4y2Ba∘gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaFgydF4y2BaBgydF4y2Ba”gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2Ba一个gydF4y2BaFgydF4y2BaDgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∠gydF4y2BaCgydF4y2Ba一个gydF4y2BaFgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba