线性方程组

一个线性方程是一个代数方程，其在绘制时形成直线。每个术语是常数，或常量和单个变量的乘积。

一个线性方程可以有一个或多个因变量．例如，以下等式表达了购买的总成本 $一个$苹果每只0.5美元 $b$香蕉每只0.3美元。 $\text{Cost} = a \times \$0.50 + b \times \$0.30。$总成本是依赖的，如果 $一个$或 $b$改变了。

必须理解以下概念以操纵和使用线性方程：线性变化率，斜率，点和截距。一旦这些掌握，它们可以以各种方式使用，以便在缺少信息时定义一行。

一个线性变化率表示所讨论的值在给定的时间单位内以固定的数量变化。这意味着坡等式将是一个恒定的值，并且关系图将是一条直线。

当关系涉及线性变化率时，通常最简单地将它们表示为线性方程斜截式：

$Y = mx+ b。$

在这个公式中， $y$代表我们的最终金额， $米$是直线的变化率或斜率， $x$所经过的时间(单位是否相同 $米$), $b$是我们开始时的金额吗 $x = 0$．

汤姆使 $\ 9美元$每小时。汤姆在工作时赚多少钱 $20.$小时?

回答

解决方案1:
汤姆挣的钱可以用这个方程式来表示 $Y = 9x + 0。$斜率是 $9$和 $y$拦截是 $0$因为汤姆赚来 $\ 9美元$每小时并开始 $$ 0。$评估 $y$什么时候 $x = 20$产量 $y = 20 \ times 9 = 180。$因此,汤姆挣 $$ 180.$工作之后 $20.$个小时。 $_\正方形$

解决方案2:
汤姆赚以来 $\ 9美元$每小时工作 $20.$工时，我们可以看到他的工资是 $20 \ times \ $ 9 = \ $ 180。\ _ \ square$

图书馆每周丢失100本书。如果他们现在有1万本书，要过几周他们才会有8400本书?

回答

图书馆拥有的藏书数可以用这个方程表示 $Y = -100x + 10000。$要解决问题，价值 $x$对应于 $y = 8400$必须找到: $\ begin {对齐} 8400＆= -100x + 10000 \\ -1600＆= -100x \\ x＆= 16。\结束{对齐}$因此，答案是 $16$周。 $_\正方形$

的斜坡 - 拦截公式一条线是给出的 $y = mx + b，$在哪里 $米$和 $b$是固定的数字。满足该等方程的一组点描述了一条直线 $XY$飞机。

直线的斜率是 $y$以及 $x$．例如，对于一条直线上的两个不同点， $y_1 p_1 = (x_1)$和 $p_2 =（x_2，y_2）$，斜率等于比率 $\ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}$．这也被称为的变化率 $y$关于 $x$．

斜坡有时表示为在运行．那些忘记了哪个分量是分子的学生可能想把确定斜率看成是走一段楼梯。首先是竖直方向的变化(分子)，然后是水平方向的变化(分母)。

对于那条线 $y = mx + b$的变化率 $y$关于 $x$总是等于斜率吗 $米$对于线上的任何一对不同点，可以计算如下：

$\ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \ frac {（mx_2 + b） - （mx_1 + b）} {x_2 - x_1} = \ frac {m（x_2 - x_1）} {x_2 - x_1} =m。$

注意:这个规则的一个例外是:

• $x = K.$对于一些常数 $k$．在这种情况下，斜率未定义。
• $Y = K.$对于一些常数 $k$．在这种情况下，斜率是 $0.$

通过求解线的等式 $x = 0$,我们获得 $Y = m \cdot 0 + b，$所以 $(0, b)$是直线上的一点。因为这一点就在 $y$-轴，它是 $y$直线的截距。这就解释了它的名字斜坡拦截排队表格 $y = mx + b，$在哪里 $米$是斜坡和 $b$是 $y$-截距。

求斜率和 $y$直线的截距 $x = 2 y + 6。$

回答

快速看一下，你可能会说这条线的斜率是 $2.$然而，所给的方程不是斜截式。为了把方程转化为斜截式，使 $y$主题，给予 $Y = {x}{2} - 3$．因此，斜率是 $\ frac {1} {2}$和 $y$拦截是 $－3$． $_\正方形$

让 $（A-3）X-Y + B-5 = 0$是a的直线方程 $45 ^ \保监会$角度与正面的角度 $x$-轴。如果是 $y$拦截是 $-2，$是什么 $a - b吗?$

回答

重写等式给出：

$\ begin {对齐}（a-3）x-y + b-5＆= 0 \\ y＆=（a-3）x +（b-5）\\ a-3＆= tan 45 ^ \ cir，\ quad b-5 = -2 \\ a＆= 4，\ quad b = 3 \\ \ lightarrow a-b＆= 4-3 \\＆= 1。\ _ \ square \结束{对齐}$

如果我们想找到直线上的一点，我们只需将坐标代入方程，然后解出得到的线性方程。通常情况下，我们会得到 $x$协调,或 $y$- 科学，并要求找到另一个。我们也可以给出实际点的坐标，并要求确定斜坡或 $y$-截距。

如果这一点 $P = (a, 5)$岌岌可危 $Y = 3x + 2$，什么是价值 $一个$？

回答

将点的坐标代入直线， $5 = 3 \倍A + 2$,这意味着 $一个= 1$． $_\正方形$

如果这一点 $P = (1,3)$岌岌可危 $y = mx - 4$，什么是价值 $米$？

回答

将点的坐标代入直线， $3 = m乘以1 - 4$,这意味着 $m = 7$． $_\正方形$

的 $y$拦截这条线的交叉点是哪里 $y$-轴。自从以来 $y$-轴对应满足条件的点 $x = 0.$, $y$-intercept通过设置获取 $x = 0.$，它给出了标准形式 $Y = m乘以0 + b = b$．的 $y$拦截是 $(0, b)$．

的 $x$拦截这条线的交叉点是哪里 $x$-轴。自从以来 $x$-轴对应于满足条件的点 $y = 0$, $x$-intercept通过设置获取 $y = 0$，这给了我们 $0 = m \乘以x + b$,或 $X = - frac{b}{m}$．

注意:一个常见的错误是转换的定义 $x$- - - $y$拦截。画一些例子来确保定义清晰是有帮助的。

什么是 $x$和 $y$截取线 $2x + 3y = 12$？

回答

找到 $y$拦截,我们设置 $x = 0.$，它给我们 $2 * 0 + 3 * y = 12$,或 $y = 4$．因此，这是 $y$拦截是 $(0, 4)$．
找到 $x$-Intercept，集合 $y = 0$， 这使 $2 \ times x + 3 \ times 0 = 12$,或 $x = 6.$．因此，这是 $x$拦截是 $(0)$． $_\正方形$

逊尼派有 $300$墙上的砖头 $425$在他的墙壁上的砖星期四。如果他每天都以持续的速度工作，我们将希望他在星期天有多少块砖？

回答

如果逊尼派以恒定的速度工作，砖块的数量将线性增加。星期四和星期一的差是三天，而星期四和星期一的差是三天 $425$和 $300$是 $125年,$提高速度 $\ dfrac {125 \ text {bricks}} {3 \ text {days}}$．再过三天后，逊尼队将增加一个额外的 $125$砖，它制作 $425 + 125 = 550$砖块。

因此，答案是 $550$砖块。 $_\正方形$

亨利口袋里有125美元，但他每小时在游戏厅花20美元。如果他在两个半小时后离开，他还剩多少钱?

回答

亨利的钱可以用 $Y = -20x + 125$， 在哪里 $y$剩下的钱是多少 $x$是花在街机上的时间(以小时为单位)。这个问题需要计算这个表达式 $x = 2.5$， 这使

$Y = -20(2.5) + 125 = 125-50 = 75。$

亨利将会 $\ 75美元$他一走就走。 $_\正方形$

通过的线路的等式是什么样的 $(1、5)$并有一个 $y$-terncept $6？$

回答

从斜率开始 $(1、5)$和 $（0,6）$是 $m = \ dfrac {5-6} {1-0} = - 1$，而且 $y$截距是6，直线方程是

$Y = -X + 6。\ _ \ Square$

让 $大概{3}\ x + ay + b = 0$是通过该点的线的等式 $(1、3)$并形成A. $60 ^ \ circ$角度与正面的角度 $x$-轴。什么是 $a + b ?$

回答

重写已知的方程

$\ begin {对齐} \ sqrt {3} x + ay + b＆= 0 \\ y＆= - \ frac {\ sqrt {3}} {a} x-\ frac {b}} {a}} {a} \ qquad（1）\\ - \ frac {\ sqrt {3}} {a}＆= \ tan 60 ^ \ cirt \\＆= \ sqrt {3} \\ \ lightarrow a＆= - 1。\结束{对齐}$

然后 $（1）$就变成了 $y = \ sqrt {3} x + b。$现在，用坐标代替 $(1、3)$给了 $3 = \ sqrt {3} + b \ lightarrow b = 3- \ sqrt {3}。$所以，

$a + b = 1 + (3 - \ sqrt {3}) = 2 - \ sqrt{3}。\ _ \广场$

在第二象限中呈现的线段的长度是多少？ $XY$是通过这两点的直线的一部分 $（-3，-1）$和 $（4,6）？$

回答

通过这两点的直线方程 $（-3，-1）$和 $(4、6)$是

$\ begin {对齐} y - （ - 1）＆= \ frac {6 - （ - 1）} {4 - （ - 3）}（x - （ - 3））\\ \ lightarrow y＆= x + 2。\结束{对齐}$

现在 $x$-terplept的线是 $(2,0)。$类似地, $y$-terplept的线是 $（0,2）。$因此，第二象限的线段的长度就是这两点之间的长度，也就是

$\ sqrt {（0 + 2）^ 2 +（2-0）^ 2} = 2 \ sqrt {2}。\ _ \ square$

找到所有的值 $k$这样的三个点在直线上躺着：

$（2,0），\四（6，K-1），\ Quad（-3 + k，3）。$

回答

观察到线路的斜坡 $(2,0)$和 $(k - 1)$与通过的线的​​斜率相同 $(k - 1)$和 $(3 + k, 3)。$

$\ begin {对齐} \ frac {（k-1）-0} {6-2}＆= \ frac {3-（k-1）} {（ - 3 + k）-6} \\（k-1）（k-9）＆= 4（-k + 4）\\ k ^ 2-6k-7＆= 0 \\（k + 1）（k-7）＆= 0。\结束{对齐}$

然后是 $k$这样 $(2, 0)， (6, k-1)$和 $（-3 + k，3）$躺在一条直线上是 $k = -1$和 $k = 7。$ $_\正方形$