首选的公理GydF4y2Ba
这GydF4y2Ba公理的选择GydF4y2Ba是一个公理GydF4y2Ba设置理论GydF4y2Ba其后果影响广泛,有时甚至违反直觉。它指出,对于集合的任何集合,可以构造一个新集合,其中包含来自原始集合中的每个集合的元素。换句话说,可以从集合中的每个集合中选择一个元素。GydF4y2Ba
直观上,选择公理保证了由一系列选择得到的数学对象的存在性,因此它可以看作是有限过程(从箱子中选择对象)到无限设置的扩展。虽然这个扩展似乎是明显的和合理的,它也相当强大;承认它会导致一些意想不到的,也许看起来不自然的后果。GydF4y2Ba
20逻辑的发展GydF4y2Ba 世纪确立了选择公理独立于普遍接受的公理GydF4y2Ba设置理论GydF4y2Ba泽梅洛和弗伦克尔;即具有选择公理的泽梅洛-弗伦克尔集合理论(GydF4y2BaZFC.GydF4y2Ba)和Zermelo-Fraenkel设置理论没有选择的公理(ZFGydF4y2Ba C)都是逻辑上一致的理论。然而,大多数数学家普遍接受选择公理为真,并在必要时使用它。GydF4y2Ba
内容GydF4y2Ba
正式声明GydF4y2Ba
让GydF4y2Ba 是一套。一个集合GydF4y2Ba被GydF4y2Ba 是一组集合GydF4y2Ba 。换句话说,该系列包含每个元素的一个设置GydF4y2Ba 。GydF4y2Ba
一种GydF4y2Ba选择功能GydF4y2Ba是一个功能GydF4y2Ba 这样GydF4y2Ba 对所有人GydF4y2Ba 。选择的公理指出,对于任何索引的非空集合,存在选择功能。GydF4y2Ba
选择公理的另一个表述是GydF4y2Ba笛卡尔积GydF4y2Ba关于集合,选择公理是这样的陈述GydF4y2Ba非空集合的索引集合的笛卡尔积是非空的GydF4y2Ba:GydF4y2Ba
请注意,首选的公理只是索引集时的一个有趣的陈述GydF4y2Ba 是GydF4y2Ba无限的GydF4y2Ba:很容易表明非空置集的有限产品是非空的,而不使用首选的公理,例如,经过GydF4y2Ba感应GydF4y2Ba关于集合数。虽然选择的公理似乎是这种属性的直接概括,但它具有许多令人惊讶的后果,其中一些令人惊讶的后果,其中一些在接下来的两个部分中列出。GydF4y2Ba
订购定理和锯齿的引理GydF4y2Ba
最初由Zermelo引入首选的公理,以证明以下定理:GydF4y2Ba
良序定理GydF4y2Ba
每个集合都可以是有序的:也就是说,有一个GydF4y2Ba总序GydF4y2Ba在该集合中,使得每个非空的子集具有最小的元素。GydF4y2Ba
这个订单可能不是最明显的顺序。例如,由于许多子集,因此没有常规订单的实际数字集合GydF4y2Ba (包含GydF4y2Ba 本身)没有一个最小的元素。另一方面,GydF4y2Ba 常规订单是有序的;这是内容GydF4y2Ba顺序原则GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
结果证明,良好排序定理在逻辑上等价于选择公理——也就是说,每一个定理只使用ZF集合理论就隐含了另一个定理。下面是另一个常用于证明的等价命题:GydF4y2Ba
Zorn的lemma.GydF4y2Ba
让GydF4y2Ba 是一个GydF4y2Ba半序集GydF4y2Ba随着每一个的财产GydF4y2Ba链GydF4y2Ba在GydF4y2Ba 有一个上限GydF4y2Ba 然后GydF4y2Ba 包含最大元素。GydF4y2Ba
回想一下,链是一组元素GydF4y2Ba 这一切都彼此相当,一个GydF4y2Ba上界GydF4y2Ba链的元素是与链上所有元素相比较且大于链上所有元素的元素,而最大元素是一个元素GydF4y2Ba 这样没有GydF4y2Ba 和GydF4y2Ba
总结:GydF4y2Ba
在ZF集合理论中,GydF4y2Ba
其他等价的GydF4y2Ba
这里有一些其他的陈述,来自数学的其他领域,它们在逻辑上等价于选择公理。值得注意的是,它们中的许多都是在没有给出计算方法的情况下就断言一个物体的存在,就像选择公理本身一样。直观地说,这些非构造的存在结果正是选择公理有用的地方。GydF4y2Ba
每一个GydF4y2Ba矢量空间GydF4y2Ba有一个GydF4y2Ba基础GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
每一个重要的GydF4y2Ba戒指GydF4y2Ba有一个GydF4y2Ba最大的理想GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
笛卡尔产品(任意许多)GydF4y2Ba紧凑的GydF4y2Ba拓扑空间GydF4y2Ba紧凑(GydF4y2BaTychonoff定理GydF4y2Ba).GydF4y2Ba
任意两组都有相同的GydF4y2Ba基数GydF4y2Ba或者其中一个的基数比另一个小。GydF4y2Ba
每一个GydF4y2Ba连接图形GydF4y2Ba有一个GydF4y2Ba生成树GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
每一个GydF4y2Ba满射GydF4y2Ba函数GydF4y2Ba 有一个右逆,也就是函数GydF4y2Ba 这样GydF4y2Ba 对所有人GydF4y2Ba
首选的公理暗示的陈述GydF4y2Ba
有很多陈述比选择的公理较弱 - 所以首选的公理可用于证明它们,但反向含义不是真的。GydF4y2Ba
许多人的结合GydF4y2Ba可数GydF4y2Ba集是可数的。GydF4y2Ba
每一个GydF4y2Ba场GydF4y2Ba具有代数闭包;也就是说,如果GydF4y2Ba 是域,还是扩展GydF4y2Ba 的GydF4y2Ba 通过毗邻获得GydF4y2Ba代数GydF4y2Ba元素,使得每个多项式中都有系数GydF4y2Ba 根源于GydF4y2Ba
每一个GydF4y2Ba希尔伯特空间GydF4y2Ba有一个标准正交基。GydF4y2Ba
这GydF4y2BaBanach-Tarski悖论GydF4y2Ba:一个三维的球可以被分解成有限多个不相交的子集,这些子集可以重新组装成球的两个副本。GydF4y2Ba 虽然这违背了体积的概念,但这些概念并不适用于所有的子集GydF4y2Ba 需要选择公理来构造分解中的“不可测量”子集。GydF4y2Ba
独立性和争议GydF4y2Ba
一个常见的笑话[1]是这样的:“选择公理显然是正确的;有序[定理]显然是错误的;谁能说出佐恩的引理呢?”当然,这三种说法在逻辑上是等价的;关键在于,某些形式的选择公理在直觉上比其他形式更可信。GydF4y2Ba
Gödel证明了1938年ZFC在逻辑上是一致的,Paul Cohen证明了ZFGydF4y2Ba C在1962年逻辑上是一致的。这项工作的结果是,没有办法用ZF公理来解决选择公理的真伪问题。是否假定选择公理或其否定的问题或多或少是一个“品味”的问题,而数学社区的共识是,ZFC宇宙似乎比ZF更自然GydF4y2Ba C Universe。GydF4y2Ba
然而,有些数学家要么不“相信”选择公理,要么对在他们的集合理论中不允许这个公理的逻辑反响感兴趣。例如,一些被认定为“构造主义者”的数学家认为,数学对象只有在能够被明确构造时才存在,因此选择公理及其非构造性是不可接受的。大多数(非逻辑学家)数学家认为,接受选择公理至少在一定程度上是为了方便;选择公理所提供的理论工具允许在它适用的许多情况下更丰富的理论。例如,知道每个向量空间都有一组基对证明和其他构造都是有帮助的,即使不能构造出显式的基。GydF4y2Ba
它是数学家的标准,以跟踪哪些结果需要首选的公理,并且没有它可以证明哪些结果。The rest of the axioms of ZF set theory are essentially universally accepted, so it is helpful to be precise about exactly when the axiom of choice is unavoidable.GydF4y2Ba
选定的证明GydF4y2Ba
这里有一个证明,证明良好排序定理隐含了选择公理。(反过来就更复杂了。)GydF4y2Ba
让GydF4y2Ba 是一系列索引的非空集合GydF4y2Ba 然后是联盟GydF4y2Ba 可以由有序定理得到有序。所以并集的每个子集都有一个最小的元素;所以每GydF4y2Ba 元素最少GydF4y2Ba 定义GydF4y2Ba 经过GydF4y2Ba 然后GydF4y2Ba 是一种选择功能。GydF4y2Ba
关键是通过顺序定理免费对我们提供必要的选择。GydF4y2Ba
下面是一个典型的例子,它使用了佐恩引理来证明每个向量空间都有一个基:GydF4y2Ba
让GydF4y2Ba 是一个向量空间GydF4y2Ba 是的GydF4y2Ba线性独立GydF4y2Ba的子集GydF4y2Ba 通过包含部分排序。假设我们是一系列线性独立的子集。然后链中子集的联盟是一个上限,它是线性的独立:假设GydF4y2Ba 对于一些GydF4y2Ba 在工会中GydF4y2Ba 在常量领域。自从各自GydF4y2Ba 在链的一个子集中,链中必须有一些包含它们的子集。该子集是线性的独立性,所以所有的GydF4y2Ba 必须GydF4y2Ba
因此,由Zorn的雷姆玛,GydF4y2Ba 有一个最大的元素;称它为GydF4y2Ba 因为GydF4y2Ba 是最大的,这意味着GydF4y2Ba 是线性相关的GydF4y2Ba 由此得到的依赖关系可以简化为GydF4y2Ba 作为元素的线性组合GydF4y2Ba :GydF4y2Ba
关键是GydF4y2Ba 因为否则存在依赖关系GydF4y2Ba 这是不可能的GydF4y2Ba 是线性独立的。所以GydF4y2Ba 是在跨越的GydF4y2Ba 这对所有人都是正确的GydF4y2Ba 所以GydF4y2Ba 跨越GydF4y2Ba 所以GydF4y2Ba 是一个基础。GydF4y2Ba
同样,这绝不是显而易见的结果。例如,GydF4y2Ba 向量空间在哪里GydF4y2Ba 选择公理意味着它有一个基础(而且不难证明这样一个基础一定是不可数的);但找到一个明确的基础基本上是不可能的。GydF4y2Ba
以下(困难的)问题探讨了选择公理的其他一些后果:GydF4y2Ba
无数是无限的数学家已被劫持。它们被正整数索引(每个Mathematician都知道他们的整数)并站在一条线上,以便数学家GydF4y2Ba 可以看到每一位数学家GydF4y2Ba 为了GydF4y2Ba 。GydF4y2Ba
每个数学家都有一顶红色或蓝色的帽子;他们看不见自己的。从后面开始(数学家1),每个数学家猜自己帽子的颜色GydF4y2Ba(一次一个)GydF4y2Ba。他们可以听到以前的所有答案。所有猜测正确的数学家可能会在轮到后离开。数学家不允许传达除了猜测之外的额外信息(例如,通过打手势或改变死亡痛苦的语气)到所有参与者 - 他们必须简单地猜测。GydF4y2Ba
事先,数学家已经同意了战略来最小化可能猜测错误的数学家数量。忽略有限的视觉或有限内存容量等问题GydF4y2Ba假设选择公理成立GydF4y2Ba,猜错的数学家最多可能有多少?GydF4y2Ba
这个问题是原创的,但基于着名的红色/蓝帽子拼图。如果你被困,首先尝试这个问题。GydF4y2Ba
参考文献GydF4y2Ba
[1]这要归功于Jerry Bona,引用自:Schechter, Eric。GydF4y2Ba分析手册及其基础GydF4y2Ba。学术出版社,1997,p。145。GydF4y2Ba