希尔伯特空间GyD.F4.y2Ba

一种GyD.F4.y2Ba希尔伯特空间GyD.F4.y2Ba是一个GyD.F4.y2Ba矢量空间GyD.F4.y2Ba $V.GyD.F4.y2Ba$配备A.GyD.F4.y2Ba内部产品GyD.F4.y2Ba，这可以看作是GyD.F4.y2Ba点产品GyD.F4.y2Ba在欧几里德空间，具有额外的财产GyD.F4.y2Ba米制的GyD.F4.y2Ba来自内部的产品制造GyD.F4.y2Ba $V.GyD.F4.y2Ba$成一个GyD.F4.y2Ba完备度量空间GyD.F4.y2Ba．希尔伯特空间的基本示例是GyD.F4.y2Ba ${\ mathbb r} ^ nGyD.F4.y2Ba$ $\大（GyD.F4.y2Ba$或者GyD.F4.y2Ba ${\ mathbb c} ^ n \ big）GyD.F4.y2Ba$使用标准点产品，但许多其他问题和物理学中的其他问题以及其他类型的Hilbert空间最佳描述，最重要的是某些类型的功能的空间。GyD.F4.y2Ba

一个GyD.F4.y2Ba内部产品GyD.F4.y2Ba关于向量空间GyD.F4.y2Ba $V.GyD.F4.y2Ba$田野上空GyD.F4.y2Ba $F={\mathbb R}GyD.F4.y2Ba$或者GyD.F4.y2Ba $\ Mathbb C.GyD.F4.y2Ba$是一个函数GyD.F4.y2Ba $\langle\cdot\cdot\rangle\colon V\times V\to FGyD.F4.y2Ba$满足以下属性：GyD.F4.y2Ba

（1）GyD.F4.y2Ba $\langle x，y\rangle={\overline{\langle y，x\rangle}GyD.F4.y2Ba$总的来说GyD.F4.y2Ba $x、 y \在V中。GyD.F4.y2Ba$
（2）它是第一个参数中的线性：GyD.F4.y2Ba $\语言ax_1+bx_2，y\rangle=a\langle x_1，y\rangle+b\langle x_2，y\rangleGyD.F4.y2Ba$总的来说GyD.F4.y2Ba $a，b \在f，x_1，x_2，y \中的y \GyD.F4.y2Ba$
（3） 为了GyD.F4.y2Ba $x \在v，GyD.F4.y2Ba$内部产品GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$它本身是正定的：GyD.F4.y2Ba $\ langle x，x \ rangle \ ge 0，GyD.F4.y2Ba$只有当且仅当GyD.F4.y2Ba $x = 0。GyD.F4.y2Ba$

笔记GyD.F4.y2Ba：GyD.F4.y2Ba

• （1）意味着GyD.F4.y2Ba $\ langle x，x \ rangle = \ overline {\ langle x，x \ rangle}，GyD.F4.y2Ba$所以GyD.F4.y2Ba $\语言x，x\r语言GyD.F4.y2Ba$是一个实数，所以（3）中的不等式是有道理的。GyD.F4.y2Ba
• （1）和（2）暗示内部产品是GyD.F4.y2Ba反线性GyD.F4.y2Ba在第二个论点中：GyD.F4.y2Ba $\langle x，ay_1+by_2\rangle={\overline{a}}\langle x，y_1\rangle+{\overline{b}}\langle x，y_2\rangle。GyD.F4.y2Ba$

具有内积的向量空间称为GyD.F4.y2Ba内部产品空间GyD.F4.y2Ba．GyD.F4.y2Ba

这GyD.F4.y2Ba标准GyD.F4.y2Ba内积空间中向量的GyD.F4.y2Ba $\ |x \ |= \ sqrt {\ langle x，x \ rangle}。GyD.F4.y2Ba$这GyD.F4.y2Ba距离GyD.F4.y2Ba在两个元素之间GyD.F4.y2Ba $X，Y.GyD.F4.y2Ba$在内部产品空间中定义为GyD.F4.y2Ba $\ |x-y \ |。GyD.F4.y2Ba$

本节的目的是说明任何内部产品空间都是GyD.F4.y2Ba公制空间GyD.F4.y2Ba.证明将使用以下基本定理：GyD.F4.y2Ba

（GyD.F4.y2BaCauchy-Schwarz不平等GyD.F4.y2Ba）：GyD.F4.y2Ba $|\langle x，y\rangle\le\\x\\124; y\\124;，GyD.F4.y2Ba$只有当且仅当GyD.F4.y2Ba $X，Y.GyD.F4.y2Ba$是GyD.F4.y2Ba线性相关GyD.F4.y2Ba．GyD.F4.y2Ba

证明跟踪了与GyD.F4.y2Ba证明GyD.F4.y2Ba ${\ mathbb r} ^ nGyD.F4.y2Ba$．首先注意定理是微不足道的GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$或者GyD.F4.y2Ba $y = 0。GyD.F4.y2Ba$所以假设GyD.F4.y2Ba $x，y \ ne 0。GyD.F4.y2Ba$现在让我们GyD.F4.y2Ba $t = \ frac {| \ langle x，y \ rangle |} {\ langle x，y \ rangle}。GyD.F4.y2Ba$让GyD.F4.y2Ba $u = \ frac {x} {\ | x \ |}，v = \ frac {y} {\ | y \ |}。GyD.F4.y2Ba$注意GyD.F4.y2Ba $你GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $V.GyD.F4.y2Ba$是单位向量（它们的范数都是GyD.F4.y2Ba $1GyD.F4.y2Ba$）， 和GyD.F4.y2Ba $|t |=1。GyD.F4.y2Ba$然后GyD.F4.y2Ba $\开始{对齐}GyD.F4.y2Ba$但是GyD.F4.y2Ba $\ langle u，v \ rangle = \ dfrac {\ langle x，y \ rangle} {\ | x \ | \ | y \ |}，GyD.F4.y2Ba$这就变成了GyD.F4.y2Ba $0 \ Le 2-2 \ text {re} \ left（\ frac {| \ langle x，y \ rangle |} {\ | x \ | \ | y \ |} \右）GyD.F4.y2Ba$由于括号中的数量是真实的，因此我们可以放弃GyD.F4.y2Ba $\ text {re}GyD.F4.y2Ba$：GyD.F4.y2Ba $\ begin {seconaled} 0＆\ le 2-2 \ frac {| \ langle x，y \ rangle |} {\ | x \ |} {x \ | \ | y \ |} \\ \ \ frac {| \ langle x，y \ rangle|}}} {\ | x \ | \ | y \ |}＆\ le 1 \\ | \ langle x，y \ rangle |＆\ le \ | x \ | \ | y \ |。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$平等暂停如果且仅当GyD.F4.y2Ba $你= v,GyD.F4.y2Ba$这当然意味着GyD.F4.y2Ba $X，Y.GyD.F4.y2Ba$线性依赖;但很容易检查那个平等是否存在GyD.F4.y2Ba $X，Y.GyD.F4.y2Ba$是依赖的。GyD.F4.y2Ba $_\方格GyD.F4.y2Ba$

距离功能GyD.F4.y2Ba $d（x，y）=\| x-y\|GyD.F4.y2Ba$是一个GyD.F4.y2Ba米制的GyD.F4.y2Ba．GyD.F4.y2Ba

第一，GyD.F4.y2Ba $d（x，y）=\| x-y\|GyD.F4.y2Ba$根据范数的定义是非负的GyD.F4.y2Ba $（GyD.F4.y2Ba$这是有道理的GyD.F4.y2Ba $\ langle x-y，x-y \ rangleGyD.F4.y2Ba$是非负面的GyD.F4.y2Ba $）。GyD.F4.y2Ba$的确如此GyD.F4.y2Ba $0.GyD.F4.y2Ba$当且仅当GyD.F4.y2Ba $\langle x-y，x-y\rangle=0，GyD.F4.y2Ba$如果且仅当GyD.F4.y2Ba $x-y=0，GyD.F4.y2Ba$或者GyD.F4.y2Ba $x = y，GyD.F4.y2Ba$根据内积的性质（1）。GyD.F4.y2Ba

第二GyD.F4.y2Ba $D（x，y）= d（y，x）GyD.F4.y2Ba$立即清楚；大体上GyD.F4.y2Ba $\ |TU \ |= | T |\ | U \ |GyD.F4.y2Ba$为了GyD.F4.y2Ba $在fGyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $u \在v，GyD.F4.y2Ba$所以GyD.F4.y2Ba $\ | X-Y \ |= \ |（-1）（y-x）\ |= | -1 |\ | y-x \ |= \ | Y-X \ |。GyD.F4.y2Ba$

三角不等式就是柯西-施瓦兹的用武之地：让GyD.F4.y2Ba $u = x-y，GyD.F4.y2Ba$ $v = y-z。GyD.F4.y2Ba$然后GyD.F4.y2Ba $u + v = x-z。GyD.F4.y2Ba$现在GyD.F4.y2Ba $\（124）u+u+v（1244）^2 124；u+v（1244）^2 124；u+v（1244）^2 124；u^12 |你们们（1245）可能会开始（对齐）开始（对齐）开始（对齐）开始（有可能）可能（本本州）可能（除除除除除除除除除除除除除除除除除除除除除除你以外以外以外）以外的任何一个（除除除除除除除除上述）外）外）外，除除除除除除除除除除除除除除除除上述上述外以外以外以外以外以外以外以外以外以外以外以外以外的其他任何其他任何其他任何其他外，除除除除除除除除除除除除除除上述上述上述外外外外外，除除除除除除上述上述上述外，其他外，除除除除除除除除除除上述上述上述上述外外外外外，除除除除上述上述上述上述上述\rangle）\\&=2\big（\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\text{Re}（\langle u，v\rangle）\big）\&\ge 0\end{aligned}GyD.F4.y2Ba$请注意，对于非零，等式成立GyD.F4.y2Ba $紫外线GyD.F4.y2Ba$当且仅当GyD.F4.y2Ba $你GyD.F4.y2Ba$是的正实数倍GyD.F4.y2Ba $vGyD.F4.y2Ba$

所以GyD.F4.y2Ba $\|u\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\；GyD.F4.y2Ba$然后代回给GyD.F4.y2Ba $D（x，y）+ d（y，z）\ ge d（x，z）。GyD.F4.y2Ba$ $_\方格GyD.F4.y2Ba$

让GyD.F4.y2Ba $l ^ 2（{\ mathbb r}）GyD.F4.y2Ba$是一组功能GyD.F4.y2Ba $f\colon{\mathbb R}\到{\mathbb C}GyD.F4.y2Ba$以致GyD.F4.y2Ba $\int{-\infty}^{\infty}f（x）^2，dxGyD.F4.y2Ba$存在并且是有限的。然后在上定义了一个内积GyD.F4.y2Ba $l ^ 2（{\ mathbb r}）GyD.F4.y2Ba$经过GyD.F4.y2Ba $\ langle f，g \ rangle = \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} f（x）{\ overline {g（x）}} \，dx。GyD.F4.y2Ba$ $\大（GyD.F4.y2Ba$所以GyD.F4.y2Ba $l ^ 2.GyD.F4.y2Ba$要求正是这样GyD.F4.y2Ba $\|f\|GyD.F4.y2Ba$是有限的。GyD.F4.y2Ba $\大）GyD.F4.y2Ba$结果表明，如果积分是GyD.F4.y2BaLebesgue积分GyD.F4.y2Ba然后，“足够的”功能是可集成的，以便Cauchy功能序列将会收敛。所以这是如此GyD.F4.y2Ba $l ^ 2（{\ mathbb r}）GyD.F4.y2Ba$进入希尔伯特空间。GyD.F4.y2Ba

相似地，GyD.F4.y2Ba $l ^ 2 \ big（[0,1] \大）GyD.F4.y2Ba$是希尔伯特空间，这里的定义是一样的除了函数和积分是在区间内取的GyD.F4.y2Ba $[0,1].GyD.F4.y2Ba$

警报阅读器将在上述讨论中注意到明显的不准确性;非零函数是可能的GyD.F4.y2Ba $FGyD.F4.y2Ba$具有GyD.F4.y2Ba $l ^ 2.GyD.F4.y2Ba$-范数等于0，即如果GyD.F4.y2Ba $FGyD.F4.y2Ba$零“几乎无处不在”，除了在一组GyD.F4.y2Ba零度GyD.F4.y2Ba. 解决办法是让GyD.F4.y2Ba $L^2（X）GyD.F4.y2Ba$由函数的等价类组成，而不是函数，其中有两个函数GyD.F4.y2Ba $FGyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $GGyD.F4.y2Ba$被认为是等同的GyD.F4.y2Ba $F-G.GyD.F4.y2Ba$几乎所有地方都是零。这是一个需要记住的重要细节，特别是因为（不幸的）在讨论希尔伯特空间时，为了方便起见，它经常被抑制。GyD.F4.y2Ba

上一个示例的离散版本如下：defineGyD.F4.y2Ba $\厄尔^2GyD.F4.y2Ba$是序列的集合GyD.F4.y2Ba $（z_1，z_2，\ ldots）GyD.F4.y2Ba$复杂的数字这样GyD.F4.y2Ba $\ sum_ {n = 1} ^ \ idty | z_n | ^ 2GyD.F4.y2Ba$存在并且是有限的。然后有内部产品GyD.F4.y2Ba $\厄尔^2GyD.F4.y2Ba$给予GyD.F4.y2Ba $\big\langle（z_n），（w_n）\big\rangle=\sum_{n=1}^\infty z_n{\ overline{w_n}。GyD.F4.y2Ba$这是证明这一点的标准练习GyD.F4.y2Ba $\厄尔^2GyD.F4.y2Ba$实际上是一个希尔伯特空间（也就是说，它对于内积导出的度量是完全的）。GyD.F4.y2Ba

在Hilbert空间中GyD.F4.y2Ba $\呃^2，GyD.F4.y2Ba$让GyD.F4.y2Ba ${\bf e_k}GyD.F4.y2Ba$是所有的序列GyD.F4.y2Ba $0.GyD.F4.y2Ba$除了一个GyD.F4.y2Ba $1GyD.F4.y2Ba$在GyD.F4.y2Ba $k^\text{th}GyD.F4.y2Ba$学期。然后是任何序列GyD.F4.y2Ba ${\bf z}=z_nGyD.F4.y2Ba$可以写成无穷和GyD.F4.y2Ba ${\ bf z} = \ sum_ {n = 1} ^ \ idty z_n {\ bf e_n}。GyD.F4.y2Ba$也就是说，右边的无限总和会聚到GyD.F4.y2Ba ${\ bf z}，GyD.F4.y2Ba$使用由此定义的度量标准GyD.F4.y2Ba $\厄尔^2GyD.F4.y2Ba$-norm在前一节中给出。注意，这种表示是唯一的。GyD.F4.y2Ba

有一个很明显的类比GyD.F4.y2Ba基础GyD.F4.y2Ba向量空间的一组元素，使得每个元素都可以作为GyD.F4.y2Ba有限的很多人GyD.F4.y2Ba基础的成员。例如，相同的构造给出了基础GyD.F4.y2Ba ${\bf e_1}、\ldots、{\bf e_n}GyD.F4.y2Ba$的GyD.F4.y2Ba ${\ mathbb c} ^ n。GyD.F4.y2Ba$

由于希尔伯特空间是矢量空间，他们有常规矢量空间基础（由GyD.F4.y2Ba首选的公理GyD.F4.y2Ba）。为了避免歧义，这些通常被称为GyD.F4.y2Ba哈梅尔基地。GyD.F4.y2BaHilbert空间的Hamel基通常对计算没有用处，并且很难构造，除非它们是有限的GyD.F4.y2Ba $\ big（\ text {e.g。} v = {\ mathbb c} ^ n \ big）。GyD.F4.y2Ba$对于“更大”的希尔伯特空间，更自然的概念是GyD.F4.y2Ba正交基GyD.F4.y2Ba，概括了上面给出的示例。GyD.F4.y2Ba

一套GyD.F4.y2Ba $（y_n）GyD.F4.y2Ba$Hilbert空间中向量的个数是GyD.F4.y2Ba正交的GyD.F4.y2Ba如果GyD.F4.y2Ba

$\langle y_i，y_j\rangle=\begin{cases}1&\text{if}i=j\\0&\text{if}i\ne j\end{cases}GyD.F4.y2Ba$

这是一个GyD.F4.y2Ba正交基GyD.F4.y2Ba如果另外，唯一的矢量GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$满意GyD.F4.y2Ba $\ langle x，y_n \ rangle = 0GyD.F4.y2Ba$总的来说GyD.F4.y2Ba $NGyD.F4.y2Ba$是零向量。（相当于GyD.F4.y2Ba $尤伊GyD.F4.y2Ba$是GyD.F4.y2Ba稠密的GyD.F4.y2Ba。）GyD.F4.y2Ba

请注意，正常的基础不一定是哈梅尔的基础。例如，正常的基础GyD.F4.y2Ba $（{\ bf e_n}）GyD.F4.y2Ba$的GyD.F4.y2Ba $\厄尔^2GyD.F4.y2Ba$不是Hamel基，因为表示GyD.F4.y2Ba $\厄尔^2GyD.F4.y2Ba$作为基础载体的线性组合需要无限（收敛）总和。GyD.F4.y2Ba

就像激励的例子一样，GyD.F4.y2Ba可数的GyD.F4.y2Ba正式基础具有各种漂亮的特性。GyD.F4.y2Ba

让GyD.F4.y2Ba $（x_n）_ {n \ in {\ mathbb n}}GyD.F4.y2Ba$是希尔伯特空间的正交基GyD.F4.y2Ba $十,。GyD.F4.y2Ba$然后GyD.F4.y2Ba

（1）GyD.F4.y2Ba $x=\sum\limits{n=1}^\infty\langle x，x\n\rangle x\nGyD.F4.y2Ba$总的来说GyD.F4.y2Ba $x\in xGyD.F4.y2Ba$;特别是，每一个GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$具有独特的表示作为（可能是无限）的线性组合GyD.F4.y2Ba $x_nGyD.F4.y2Ba$，由该公式给出的系数。GyD.F4.y2Ba

（2）GyD.F4.y2Ba $\ |x \ | ^ 2 = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty | \ langle x，x_n \ rangle | ^ 2GyD.F4.y2Ba$（GyD.F4.y2Ba帕塞瓦尔的身份GyD.F4.y2Ba）GyD.F4.y2Ba

（3）GyD.F4.y2Ba $\langle x，y\rangle=\sum{n=1}^\infty\langle x，x\u n\rangle{\overline{\langle y，x\u n\rangle}。GyD.F4.y2Ba$

空间GyD.F4.y2Ba $l ^ 2 \ big（[0,1] \大）GyD.F4.y2Ba$具有由函数组成的正交基GyD.F4.y2Ba $e ^ {2 \ pi i n \ theta}，GyD.F4.y2Ba$对于所有整数GyD.F4.y2Ba $ñ。GyD.F4.y2Ba$总和中的系数GyD.F4.y2Ba $f（\ theta）= \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ idty a_n e ^ {2 \ pi i n \ theta}GyD.F4.y2Ba$被称为“GyD.F4.y2Ba傅里叶系数GyD.F4.y2Ba的GyD.F4.y2Ba $F。GyD.F4.y2Ba$

这GyD.F4.y2Ba首选的公理GyD.F4.y2Ba每个希尔伯特空间都有一个标准正交基。GyD.F4.y2Ba

如前一节所述GyD.F4.y2Ba $l ^ 2.GyD.F4.y2Ba$空间是设置的设置GyD.F4.y2Ba傅里叶变换GyD.F4.y2Ba和GyD.F4.y2Ba傅里叶系列GyD.F4.y2Ba．希尔伯特空间也自然而然地出现在GyD.F4.y2Ba量子力学GyD.F4.y2Ba，其中一组可能的粒子的状态是一个称为的复杂的希尔伯特空间GyD.F4.y2Ba状态空间GyD.F4.y2Ba．GyD.F4.y2Ba

数学中希尔伯特空间的其他例子包括GyD.F4.y2Basobolev spacesGyD.F4.y2Ba，这是中的计算设置GyD.F4.y2Ba偏微分方程GyD.F4.y2Ba和GyD.F4.y2Ba变化微积分GyD.F4.y2Ba．GyD.F4.y2Ba