巴拿赫塔斯基悖论

的Banach-Tarski悖论是几何定理吗集理论即a $3.$一个多维度的球可以被分解成有限多个小块，然后这些小块又可以重新组合，得到原来那个球的两个副本。

巴纳赫-塔尔斯基指出，一个球可以被拆卸和重新组装，以产生两个相同的球。

这被认为是一个悖论，因为它与几何直觉相反，一个物体的体积可以通过将其切割成碎片并严格地重新排列这些碎片来翻倍。事实上，球被分解成的碎片并没有明确的体积。这样的存在不可测欧几里得空间的子集取决于选择公理．

而不是分解固体 $3.$-维球，本文将给出一个分解的 $2$球 $S ^ 2$哪个可以重新排列成两份 $S ^ 2$．回想一下, $S²= \{(x,y,z) \，: \， x²+ y²+ z²= 1\}$．从这里，可以得到所需的分解 $3.$通过从球的中心取光线的组合来绘制 $3.$球向其边界处的碎片移动 $S ^ 2$已经分解了。

证明的思想是代数的。一个人与集团旋转的 $S ^ 2$，这篇文章指的是 $G \ mathbf {}$．的一个子组 $G \ mathbf {}$被分解成自相似的子集，并且这个子组被允许作用于 $S ^ 2$．的轨道这个动作将会是想要的片段 $S ^ 2$．

让 $F \ mathbf {} _2$表示两个生成器上的自由群 $一个$而且 $b$．也就是说, $F \ mathbf {} _2$由字母组成的单词 $一个$而且 $b$，连接为组操作。例如，的一些元素 $F \ mathbf {} _2$是 $阿坝^ ^ b {1} {1}$而且 $B a^2 B ^{-1}$；这些元素的连接是 $Aba ^{-1} b^{-1} ba^ 2 b^{-1} = abab^{-1}$．

让 $(一)$表示的元素 $F \ mathbf {} _2$开始 $一个$，并类似地定义 $年代(b)$， $大S \(^{1} \大)$, $年代\大(b ^{1} \大)$．然后 $F \ mathbf{} _2 = \{1 \} \杯S (a) \杯(b) \杯年代\大(^{1}\大)\杯年代\大(b ^{1} \大),$在哪里 $1$的单位元素 $F \ mathbf {} ^ 2$．然而，一个人也有 $\mathbf{F}_2 = a S\big(a^{-1}\big) \cup S(a)$自 $大S \(^{1} \大)$究竟是什么元素 $F \ mathbf {} _2$开始 $一个^ {1}$， $b$,或 $b ^ {1}$．同样的, $\mathbf{F}_2 = b S\big(b^{-1}\big) \cup S(b)$．因此，我们可以分解 $F \ mathbf {} _2$将其中两个“翻译”成四个片段(其中一个将组乘法视为一种翻译)，然后重新组装这四个片段以获得两个副本 $F \ mathbf {} _2$．

现在，我们找到一个子群 $\mathbf{H} \le \mathbf{G}$同构, $F \ mathbf {} _2$．让 $\theta = \arccos\big(\frac13\big)$,让 $一个$由 $\θ$关于 $x$-axis, let $B$由 $\θ$关于 $z$设在。一个人可以展示群体 $\mathbf{H} = \rangle A, B \rangle$同构于 $F \ mathbf {} _2$．轨道 $\ mathbf {H}$作用于 $S ^ 2$然后证明给出所需的悖论分解 $S ^ 2$！